Polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK Rappels de Première année Table des matières 1 L algèbre IK[X] 2 1.1 Définition....................................... 2 1.2 Lois internes dans IK[X].............................. 2 1.2.1 Addition de polynômes........................... 2 1.2.2 Multiplication de polynôme......................... 2 1.2.3 Multiplication d un polynôme par un scalaire............... 3 1.3 Composition dans IK[X].............................. 3 1.4 Degré d un polynôme................................ 4 1.5 Dérivation dans IK[X]................................ 4 2 Divisibilité dans IK[X] 5 2.1 Division euclidienne dans IK[X].......................... 5 2.2 Polynômes irréductibles............................... 5 3 Racines d un polynôme 6 3.1 Fonction polynômiale................................ 6 3.2 Racine d un polynôme................................ 6 3.3 Polynômes scindés sur IK.............................. 7 3.4 Polynômes irréductibles de CI[X].......................... 8 3.5 Polynômes irréductibles de IR[X].......................... 9 1
1 L algèbre IK[X] 1.1 Définition Définition 1 : On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans IK, toute suite (a n ) n IN d éléments de IK presque nulle, c est à dire nulle à partir d un certain rang : N IN, n > N, a n = 0 IK Pour n fixé, a n est appelé le n ième coefficient du polynôme. Par définition donc, un polynôme P est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. De même, deux polynômes P = (a n ) n IN et Q = (b n ) n IN sont égaux ssi (a n ) n IN = (b n ) n IN c est à dire plus simplement n IN, a n = b n. Notation : L ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK est noté IK[X]. On note par X le polynôme (0, 1, 0, 0, 0, ) ie défini par la suite : 1.2 Lois internes dans IK[X] 1.2.1 Addition de polynômes a 0 = 0, a 1 = 1, n 2, a n = 0 Définition 2 : Soient P = (a n ) n IN et Q = (b n ) n IN deux polynômes de IK[X]. On définit par P + Q, le polynôme (a n + b n ) n IN. On définit ainsi une loi de composition interne de IK[X]. Propriété 1 : (IK[X], +) est un groupe abélien. 1.2.2 Multiplication de polynôme Attention, cette multiplication n est pas du tout celle des suites. Définition 3 : Soient P = (a n ) n IN et Q = (b n ) n IN deux polynômes de IK[X]. On pose P Q = (c n ) n IN où n c n = a i b n i On démontre que P Q est un polynôme dont les coeffs sont : n (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,, a i b n i, ) Ainsi, on a défini une deuxième loi interne appelée multiplication des polynômes. Propriété 2 : (IK[X], +, ) est un anneau commutatif. Remarques : 1) L élément neutre pour est le polynôme (1, 0, 0, ) plus communément noté 1. 2) On montre que l application : Θ : IK IK[X] λ (λ, 0, 0, ) est un morphisme d anneau injectif. Ainsi Θ(IK) est isomorphe à IK : c est pourquoi, on fait souvent la confusion entre le scalaire λ et le polynôme (λ, 0, 0, ) appelé plus communément le polynôme constant λ. 2
1.2.3 Multiplication d un polynôme par un scalaire Définition 4 : Soit λ IK et P = (a n ) n IN IK[X]. On définit λ P = (λ a n ) n IN. λ P est un polynôme. On définit ainsi une loi externe appelée multiplication par un scalaire. Propriété 3 : (IK[X], +,, ) est une IK-algèbre commutative, c est à dire un IK espace vectoriel et un anneau commutatif. Propriété 4 : est un morphisme de IK-algèbres injectif. Θ : IK IK[X] λ (λ, 0, 0, ) Notation définitive pour un polynôme : On note X = (0, 1, 0, ) appelée l indéterminée. On pose X 0 = (1, 0, 0, ) = 1 et pour tout n IN, X n+1 = X n X. Une récurrence immédiate montre que : Soit P = (a n ) n IN un polynôme. Il existe N IN, n > N, a n = 0. Alors n IN, X n = (0, 0, 0,, 1 (n+1) ième coeff, 0, 0, 0, ) P = (a 0, a 1, a 2,, a i,, a N, 0, 0, ) = a 0 (1, 0, 0, ) + a 1 (0, 1, 0, ) + + a i (0, 0, 0, 0,, 1, 0, ) + (i+1) ième coeff +a N (0, 0, 0, 0,, 1, 0, ) (N+1) ième coeff = a 0 X 0 + a 1 X + a 2 X 2 + + a i X i + + a N X N N = a i X i Nous adopterons désormais cette notation pour un polynôme. 1.3 Composition dans IK[X] Définition 5 : Soient P = N a i X i IK[X] et un autre polynôme de IK[X]. On définit le polynôme composé noté P Q ou P (Q) par : Applications courantes : P (Q) = a 0 + a 1 Q + a 2 Q 2 + + a N Q N 1) On prend Q = X + a, a IK. Ainsi P (Q) = P (X + a) = N a i (X + a) i. 2) On prend Q = X. Ainsi P (Q) = P ( X) = N a i ( X) i = N a i ( 1) i X i. 3
1.4 Degré d un polynôme Définition 6 : Soit P IK[X], (a n ) n IN la suite de ses coefficients. 1) Si P 0, on appelle degré de P, qu on note deg P le plus grand entier n tel que a n 0. L élément a degp est appelé coefficient dominant de P. On dit que P est unitaire (ou normalisé) lorsque P 0 et a degp = 1. 2) Si P = 0, on pose deg(0) =. Propriété 5 : Soient (P, Q) IK[X] 2 et λ IK. 1) deg(p + Q) Sup(degP,degQ). (on convient que n IN, n). Si degp degq, alors deg(p + Q)=Sup(degP,degQ). 2) deg(p Q)=degP +degq. 3) deg(λ P )=degp. Corollaire 1 : 1) Les polynômes inversibles (pour la multiplication interne) dans IK[X] sont les polynômes de degré 0 ie les éléments de IK. 2) (P Q = 0 P = 0 ou Q = 0) : On dit que IK[X] est intègre. Corollaire 2 : Soit n IN. On note IK n [X] = {P IK[X]/deqP n}. IK n [X] est un IK-e.v. 1.5 Dérivation dans IK[X] Définition 7 : Pour tout polynôme P = degp P, qu on note P le polynôme défini par : a i X i IK[X], on appelle polynôme dérivé de degp P = i a i X i 1 On note P (0) = P, P (1) = P, k 1, P (k) = ( P (k 1)). Propriété 6 : 1) P IK[X], { degp 1 si degp 1 degp = si degp 0 2) n IN, degp n P (n+1) = 0. 3) D : IK[X] IK[X] P P est un endomorphisme. 4) (P, Q) IK[X] 2, (P Q) = P Q + P Q. 5) (P, Q) IK[X] 2, (P Q) = Q (P Q). 6) Formule de Leibniz : (P, Q) IK[X] 2, k IN, (P Q) (k) = k CkP i (i) Q (k i) En bref, il semble que les calculs sur les dérivées des polynômes sont identiques à ceux des fonctions dérivables, alors que la dérivée a été définie différemment. 4
2 Divisibilité dans IK[X] Définition 8 : Soient (A, P ) IK[X] 2. 1) On dit que A est un diviseur de P ou que A divise P ou que P est un multiple de A si : Q IK[X], P = A Q On note A\P. 2) On dit que A et P sont associés si : λ IK, P = λa. Propriété 7 : 1) A IK[X], A\A, A\0, (0\A A = 0). 2) (A, B) IK[X] 2, (A\B et B\A) (A et B sont des polynômes associés). 3) (A, B, C) IK[X] 3, A\B et B\C = A\C A\B = A\BC A\B et A\C = A\B + C A\B = n IN, A n \B n 2.1 Division euclidienne dans IK[X] Théorème : Soient (A, B) IK[X] 2 tels que B 0. Il existe un unique couple (Q, P ) IK[X] 2 tel que : { A = B Q + R degr < degb Le polynôme Q (resp : R) est appelé quotient (resp : reste) de la division euclidienne de A par B. Algorithme de la division euclidienne : Soient (A, B) IK[X] 2 tels que B 0. Si dega < degb alors Q = 0, R = A. Sinon, on diminue le degré de A en faisant l opération A Q 0 B avec Q 0 = an b p X n p où n = dega, p = degb. - si deg(a Q 0 B) < degb alors Q = Q 0 et R = A Q 0 B. - sinon on recommence l opération avec (A Q 0 B, B). 2.2 Polynômes irréductibles Définition 9 : Un polynôme P de IK[X] est dit irréductible sur IK si : degp 1 Et P n admet comme diviseur dans IK[X] que les polynômes constants non nuls et les polynômes associés à P. Remarques : 1) Les polynômes irréductibles de IK[X] ont un rôle analogue aux nombres premiers dans Z. 2) La notion d irréductibilité dépend de IK : Exemple : X 2 + 1 est irréductible sur IR mais pas sur CI. 3) Par contre, P irréductible sur CI = P irréductible sur IR. 5
Propriété 8 Tout polynôme P de degré 1 de IK[X] admet dans IK[X] un diviseur irréductible sur IK[X]. Théorème de décomposition en produit de facteurs irréductibles : Tout polynôme P de degré 1 de IK[X] s écrit de manière unique à l ordre près des facteurs comme produit de facteurs irréductibles : P = λ Π r P α i i où : λ est le coefficient dominant de P r IN (P i ) 1 i r sont des polynômes irréductibles unitaires α i IN i j = P i P j. 3 Racines d un polynôme 3.1 Fonction polynômiale Définition 10 : A un polynôme P = N a i X i IK[X], on associe une application de IK dans IK définie par : i= P : IK IK x N a i x i P est appelée fonction polynômiale associée à P. Théorème de Taylor pour les polynômes : Soit P IK[X], a IK, N = degp. On a c est à dire aussi 3.2 Racine d un polynôme P (X) = N k=0 P (X + a) = Définition 11 : Soit P IK[X], a IK. i= P (k) k! N k=0 (X a) k P (k) On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P (a) = 0. Propriété 9 : 1) a est racine de P (X a)\p. 2) Soient n IN, (x 1, x 2,, x n ) IK n deux à deux distincts. k! X k Si (x 1, x 2,, x n ) sont racines de P alors n Π (X x i )/P 6
Corollaire 1) Soit P IK[X], n IN. Si degp < n et si P admet n racines deux à deux distinctes alors P = 0. 2) L application Ψ IK[X] F(IR, IR) est un morphisme de IK-algèbres injectif P P Ψ nous permet de dire que Im(Ψ) est isomorphe à IK[X]. Or, Im(Ψ) est l algèbre des fonctons polynômiales. Cet isomorphisme justifie qu on confonde dans la pratique un polynôme et sa fonction polynômiale. Ainsi, au lieu d écrire P (x) où x IK, on voit écrit P (x). Définition 12 : Soit P IK[X] et a une racine de P dans IK. On appelle ordre de multiplicité de a le plus grand entier naturel m tel que (X a) m divise P. L ordre de multiplicité de a dans P est donc l entier naturel m tel que : Q IK[X], P = (X a) m Q, avec Q(a) 0. Si m = 1, on parle de racine simple. Si m = 2, on parle de racine double. Si m = 3, on parle de racine triple. Remarque : On a m degp. Propriété 10 : Caractérisation de l ordre de multiplicité d un zéro. a est un zéro d ordre de multiplicité m dans P ssi 0 k m 1, 3.3 Polynômes scindés sur IK P (m) (a) 0 P (k) (a) = 0 Définition 13 : Un polynôme P IK[X] est dit scindé sur IK si : λ IK, n IN, (x 1, x 2,, x n ) IK n, P (X) = λ n Π (X x i ) Remarsques : 1) Dans la définition, - les x i ne sont pas forcément distincts et ce sont les racines de P - λ est le coefficient dominant de P - n = degp. 2) On peut aussi écrire P (X) = λ r Π (X x i ) m i avec (x 1, x 2,, x r ) deux à deux distincts, m i l ordre de multiplicité de x i et degp = m 1 + m 2 + m 3 + + m r. Exemple : X 2 + 1 est scindé sur CI mais pas sur IR. 7
Définition 14 : Soient n IN, (x 1, x 2,, x n ) IK n On appelle fonctions symétriques élémentaires de (x 1, x 2,, x n ), les expressions suivantes : σ 1 = x 1 + x 2 + + x n σ 2 = x i1 x i2 = (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + + x 1 x n ) + (x 2 x 3 + x 2 x 4 + + x 2 x n ). σ k = 1 i 1 <i 2 n x 1 i 1 <i 2 <i 3 < <i k n i1 σ n = x 1 x 2 x 3 x n + + (x n 2 x n 1 + x n 2 x n ) + (x n 1 x n ) x i2 x i3 x ik Remarques : σ k contient C k n termes. Exemples : Les fonctions symétriques élémentaires de : 1) (x 1, x 2 ) : 2) (x 1, x 2, x 3 ) : 3) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) : Propriété 11 :Relations entre coefficients et racines d un polynôme. Soient n IN, (a 0, a 1, a 2,, a n ) IK n+1 tel que a n 0. On suppose que le polynôme P = n a i X i est scindé sur IK et on note (x 1, x 2, x 3,, x n ) n tels que : P (X) = a n Π (X x i ). Alors : 1 k n, σ k = ( 1) k a n k a n où σ k est la k ième fonction symétrique élémentaire de (x 1, x 2,, x n ). C est à dire P (X) = a n (X n σ 1 X n 1 + σ 2 X n 2 σ 3 X n 3 + + ( 1) k σ k X n k + + ( 1) n σ n ) 3.4 Polynômes irréductibles de CI[X] Théorème de D Alembert Gauss : Tout polynôme non constant de CI[X] admet au moins un zéro dans CI. On dit que le corps CI est algébriquement clos. Corollaire 1 : 8
Tout polynôme non constant de CI[X] est scindé sur CI. Corollaire 2 : Les polynômes irréductibles de CI[X] sont les polynômes de degré 1. 3.5 Polynômes irréductibles de IR[X] Propriété 12 : Soit P CI[X]. On a P IR[X] z CI, P (z) = P (z) Propriété 13 : Soient P IR[X], a CI, m IN. Pour que a soit zéro d ordre m au moins (resp : exactement) de P, il faut et il suffit que a soit zéro d ordre m au moins (resp : exactement) de P. Propriété 14 : Les polynômes irréductibles de IR[X] sont : 1) les polynômes de degré 1. 2) les polynômes de degré 2 à discriminant < 0. Corollaire : La décomposition d un polynôme P de IR[X] est donc de la forme : P = λ N Π (X x i ) r i N Π j=1 (X2 + p j X + q j ) s j où : λ IR. (N, N ) IN 2. (r 1, r 2,, r N, s 1, s 2,, s N ) (IN ) N+N. (x 1, x 2,, x N ) IR N deux à deux distincts. (p 1, q 1 ), (p 2, q 2 ),, (p N, q N ) (IR 2 ) N deux à deux distincts. j {1,, N }, p 2 j 4q j < 0. 9