Première S Chapitre I : Second degré Année scolaire 01/013 I) Fonction polynôme du second degré : 1) Définition : Soient a, et c trois réels (avec a 0) La fonction f définie sur R par f(x) = ax + x + c est appelée fonction polynôme de degré (ou du second degré) (a, et c sont ses coefficients) Exemples : - L'aire d'un disque de rayon r en fonction de r est donnée par : A(r) = πr - En mécanique classique, l'energie cinétique d'un ojet de masse m en fonction de sa vitesse est donnée par : E c (v) = 1 mv - Pour un corps en chute lire : En supposant que le corps n'est soumis qu'à la pesanteur, si un corps ponctuel est lâché d'un point de cote z 0 sans vitesse initiale et si l'axe des z est orienté vers le haut, alors on a : z = - 1 gt + z 0 où g est l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre. Remarque : On dit aussi que f est un trinôme du second degré. (car il y a trois termes) ) Représentation graphique et variations : Propriété : Toute fonction polynôme de degré se représente graphiquement par une paraole ( ) Experimentation Geogera Deux cas sont à distinguer : - Si a > 0 : - Si a < 0 ( ) est orientée «vers le haut» - Le sommet S de la paraole a pour coordonnées (- ; f(- ) ) x / + Variations de f f( /) ( ) est orientée «vers le as» - Le sommet S de la paraole a pour coordonnées (- ; f(- ) ) x / + Variations de f f( /)
II) Equations du second degré : 1) Rappel de seconde : forme canonique : Propriété : Toute fonction trinôme du second degré peut se mettre sous forme canonique. C'est-à-dire : Si f(x) = ax + x + c avec a 0, alors f peut s'écrire sous la forme : f(x) = a(x α) + β avec α = Soient a,,c trois réels avec a 0 f(x) = ax + x + c = a( x + a x + c a ) (On peut diviser par a, car a 0) Dans l'écriture x + a x, on reconnaît le déut de (x + ) En effet, (x + D'où : f(x) = a((x + = a(x + = a(x + = a(x + En posant α = ) = x + a x+ ) - + c a ) ) - + c ) - + c ) - 4ac et β = - 4ac f(x) = a(x α) + β Remarque : f(- ) = a x (- ) + x(- ) + c = a x - + c = - + c = - 4ac = β C'est-à-dire : Le sommet de la paraole représentant f a pour coordonnées (α;β) ) Résolution de l'équation ax + x + c = 0 avec a 0 a) Méthode graphique : (Rappel de seconde) Exemple : On considère l'équation x + x + = 0 (E) On pose f(x) = x + x + Résoudre (E) revient à résoudre f(x) = 0
C'est-à-dire : déterminer les ascisses des points d'intersection de la paraole représentant f avec l'axe des ascisses. Par lecture graphique, on trouve deux solutions : -1 et ) Méthode algérique : On souhaite résoudre l'équation ax + x + c = 0 avec a 0 On va suivre l'algorithme de résolution suivant : - On commence par calculer le discriminant du trinôme dont l'expression en fonction des coefficients est donnée par : = 4ac 3 cas vont se présenter : - Soit < 0, alors l'équation n'a pas de solution réelle (on notera S = ) - Soit = 0, alors l'équation a une seule solution x 0 = doule)(on notera S = { }) - Soit > 0, alors l'équation a deux solutions : x 1 = + et x = On sait déjà que ax + x + c = a(x + ) - 4ac On pose = 4ac (le discriminant) ax + x + c = 0 a(x + a(x + (x + 3 cas se présentent : - Ou ien < 0 : alors ) - ) = ) = = 0 < 0 d'où : (x + ) < 0 ce qui est impossile pour x R donc S = - Ou ien = 0 : d'où : (x + ) = 0 c'est-à-dire x + = 0 Cette équation n'a qu'une seule solution : (On notera S = { + (appelée solution ; })
Donc x = - S = {- - Ou ien > 0 : Alors : (x + ) = } (x + ) - (x + (on reconnaît a = (a+)(a-) ) D'où : (x + + )(x + C'est une équation-produit : Si AxB = 0, alors A = 0 ou B = 0 D'où : x + C'est-à-dire : x= + ou = 0 ) - ( ) ( ) = 0 - ) = 0 = 0 ou x + x = + - = 0 Donc S = { ; + } Exemples : 1) Résoudre l'équation : x 4x + = 0 On calcule le discriminant : = 4ac = (-4) 4xx = 16 16 = 0 D'où l'équation a une seule solution x 0 = ( 4) = = 1 Donc : S = {1} ) Résoudre l'équation x + x 6 = 0 On calcule le discriminant : = 4ac = 1 4x1x(-6) = 1 + 4 = 5 > 0 D'où l'équation a deux solutions : x 1 = et x = + = 1 5 1 = 1+ 5 1 = 1 5 = 1+5 = - 3 = Donc : S = {- 3 ; } c) Factorisation : On considère une équation du second degré (E) : ax + x + c = 0 (avec a 0) - Si (E) n'a pas de solution, on ne peut pas factoriser ax + x + c - Si (E) a une seule solution x 0 (solution doule), alors ax + x + c = a(x - x 0 ) - Si (E) a deux solutions x 1 et x, alors ax + x + c = a(x - x 1 )(x - x ) Facile en passant par la forme canonique Exemples : x 4x + = (x 1) et x + x 6 = (x )(x + 3)
III) Signe d'un trinôme du second degré : 1) Exemples : découverte graphique a) f(x) = x + x 6 Par lecture graphique : f(x) 0 pour x ] - ; -3] [ ; + [ (autrement dit «à l'extérieur des racines») f(x) < 0 pour x ] -3 ; [ (autrement dit «entre les racines») ) g(x) = - x + x + Par lecture graphique : g(x) 0 pour x [- 1 ; ] (autrement dit «entre les racines») g(x)< 0 pour x ] - ; -1[ ] ; + [ (autrement dit «à l'extérieur des racines») Remarque : Le coefficient de x est positif pour la fonction f et négatif pour g ) Propriété : Soit ax + x + c avec a 0 et son discriminant. Trois cas sont à envisager : a) Soit < 0, alors le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x ) Soit = 0, alors le trinôme est du signe de a et s'annule en x = c) Soit > 0, alors le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de a à l'intérieur. a) On sait que : ax + x + c = a[(x α) - ] (forme canonique)
Or, < 0, d'où : - > 0 C'est-à-dire : (x α) - > 0 Donc : le trinôme est ien du signe de a pour toutes les valeurs de x ) Comme = 0, ax + x + c = a(x x 0 ) vec x 0 racine doule du trinôme. Or, (x x 0 ) 0 Donc : le trinôme est ien du signe de a pour toutes les valeurs de x et s'annule en x 0 c) Comme > 0 : ax + x + c = a(x x 1 )((x x ) où x 1 et x sont les deux racines du trinôme. Supposons x 1 < x Taleau de signes : x - x 1 x + x- x 1 - + + x - x - - + (x- x 1 )(x - x ) + - + a(x- x 1 )(x - x ) Signe de a Signe de - a Signe de a Donc : le trinôme est ien du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de a à l'intérieur. Exemples : a) Etude du signe de x + 3x 4 : On calcule le discriminant : = 4ac = 9 + 16 = 5 > 0 donc le trinôme admet deux racines : x 1 = + = 1 et x = = - 4 Le trinôme sera du signe de a (c'est-à-dire positif ici) à l'extérieur des racines et du signe de a à l'intérieur. D'où le taleau de signes suivant : = 3+5 = 3 5 x 4 1 + x^ + 3x 4 + 0 0 + Autrement dit : x + 3x 4 0 pour x ] - ; - 4] [1 ; + [ et x + 3x 4 < 0 pour x ] - 4 ; 1[ ) Résoudre l'inéquation suivante : 3x 9x 30 < 0 = 4ac = 81 + 4x90 = 441 = 1 > 0 donc le trinôme a deux racines : x 1 = + = 9+1 = 5 et x = = 9 1 = - 6 6 or, a = 3 > 0. Le trinôme est du signe de a à l'intérieur des racines : S = ] - ; 5 [