ollège Jules Ferry Session 010 iplôme National du revet lanc n 1 preuve de Mathématiques urée heures L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n 99 18 du 1 Novembre 1999 publiée au.o. n 4 du 5 Novembre 1999) n plus des points prévus pour chacune des trois parties de l épreuve, la présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points. Le candidat traitera obligatoirement l ensemble des exercices sur les copies mises à sa disposition. Activités numériques (1 points) xercice 1 (4 points) : et exercice est un questionnaire à choix multiple (QM). Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées. Une seule est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. (exemple d écriture de réponse : 5 ) ) Aucune justification n est demandée. haque réponse exacte rapporte 1 point. haque réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l exercice est ramenée à 0. Questions Réponses A 1 ) La solution de l équation x + = 8 x 9 est : 5 ) La solution de l équation 1 x + 1 5 = 11 0 est : 1 1 1 ) Une solution de l équation ( 4 x + ) ² = 5 est : 1 4 4 ) Une solution de l équation 4 x ² 4 x = est : xercice ( points) : alculer A et en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. A = 8 5 : 0 1 = 9 5 5 4 xercice ( points) : Soit = ( x 1 ) ² ( x 1 ) ( x 5 ) a ) évelopper et réduire b ) Factoriser c ) Résoudre l équation : ( x 1 ) ( 4 x ) = 0 xercice 4 ( points) : Voici deux programmes de calcul : PROGRAMM A hoisir un nombre Lui ajouter 4 Multiplier le résultat par le nombre choisi Ajouter 4 hoisir un nombre Lui ajouter alculer le carré du résultat précédent a ) ffectuer chacun de ces programmes de calcul avec les nombres et 5. Que remarque t-on? b ) Prouver que les programmes A et calculent la même chose. 1
Activités Géométriques (1 points) xercice 1 (4 points) : a ) onstruire en vraie grandeur le triangle A rectangle en A tel que A = cm et = 9 cm. b ) alculer la mesure de l angle A arrondie au degré près. c ) éduire de la question précédente la mesure de l angle A arrondie au degré près. d ) alculer A à 0,1 cm près. xercice (4 points) : On considère la figure suivante qui n est pas faite en vraie grandeur. 9 5 8 On sait que : les points, O, F et A sont alignés ainsi que les points, O, et. les droites (A) et (F) sont parallèles O = 9 cm, O = 8 cm, O = 5cm, OF = cm et FA = 1,5 cm a ) alculer A et. b ) Les droites () et (F) sont-elles parallèles? xercice (4 points) : On considère la figure ci-dessous qui n est pas faite en vraie grandeur. On sait que : les points A,, sont alignés. les points,, sont alignés. [A] est un diamètre du cercle. A = 15 cm, = 10 cm, = 8 cm et = cm O F 1,5 A A 15 cm 10 cm 8 cm cm a ) Prouver que le triangle A est rectangle. b ) Prouver que le triangle est rectangle. c ) éduire des questions précédentes que les droites (A) et () sont parallèles. d ) alculer A.
Problème (1 points) Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle A de largeur A = 9 cm et de longueur = 1 cm. est un point du segment [A] tel que A = 4 cm. Première partie ans cette première partie, F est un point du segment [] tel que F = cm. La figure ci-dessous n est pas faite en vraies grandeurs. a) alculer l aire du triangle A et l aire du triangle F. b) n déduire l aire du quadrilatère AF. c) alculer A. d) Prouver que le droites (F) et (A) sont parallèles. e) alculer la mesure de l angle F arrondie au degré près. euxième partie ans cette deuxième partie, F est un point qui «bouge» sur le segment []. On pose F = x. (x est donc compris entre 0 et 9). La figure ci-dessous n est pas faite en vraies grandeurs. a) Montrer que l aire du triangle F est 4 x. b) Pour quelle valeur de x l aire du triangle F est-elle égale 1 cm²? c) xprimer l aire du quadrilatère AF en fonction de x. Troisième partie Sachant que la largeur réelle du terrain rectangulaire est 7 m : a) éterminer l échelle de la reproduction A. b) alculer l aire du terrain rectangulaire (en m²).
ORRTION U PRMIR RVT LAN Activités numériques xercice 1 : (4 points) Question 1 : réponse Question : réponse A Question : réponse Question 4 : réponse 1 ) On peut essayer les 4 valeurs proposées ou résoudre ) On peut essayer les 4 valeurs proposées ou résoudre l équation x + = 8 x 9 l équation 1 x + + 9 = 8 x 9 + 9 x + 1 5 = 11 0 x + 15 = 8 x 1 x + 15 x = 8 x x x = 11 0 1 5 donc 1 x = 11 0 0 donc 1 x = 5 0 15 = 5x onc x = ) Si on remplace x par 1 dans le membre de gauche : ( 4 1 + )² = ( 4 + )² = ( 1)² = 1 1 5 donc 1 n est pas solution. Avec x =, on trouve ( 8 + )² = 5. Une solution de l équation est. xercice ( points) : A = 8 5 : 0 1 A = 8 5 1 0 A = 8 5 7 4 5 A = 8 7 4 A = 1 1 1 A = 11 1 xercice ( points) : Soit = ( x 1 )² ( x 1 ) ( x 5 ) a ) On développe. = x² x + 1 [x² 5x x + 5] = x² x + 1 [x² 7x + 5] = x² x + 1 x² + 7x 5 = x² + 5 x 4 c ) Résoudre l équation : ( x 1 ) ( 4 x ) = 0 Si un produit est nul alors au moins un des facteurs est nul x 1 = 0 ou 4 x = 0 x = 1 ou 4 = x Les solutions de l équation sont 1 et 4. xercice 4 ( points) : a) Si le nombre choisi est : PROGRAMM A + 4 = 7 7 = 1 1 + 4 = 5 Le résultat est 5. Si le nombre choisi est 5 : PROGRAMM A 5 5 + 4 = 9 9 5 = 45 45 + 4 = 5 Le résultat est 49. donc 1 x = 1 donc 1 x = 1 donc x = 1 4 ) On procède comme dans la question ) Si on remplace x par dans le membre de gauche : 4 ² 4 = 4 9 7 = 7 = Une solution de l équation est. = 9 5 5 4 = 9 5 5 4 = 9 5 5 8 = 9 8 5 8 5 5 8 5 = 7 40 5 40 = 47 40 b) On factorise. = ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 5 ) = ( x 1 ) [( x 1 ) ( x 5 )] = ( x 1 ) [ x 1 x + 5 ] = ( x 1 ) ( x + 4 ) + = 5 5² = 5 Le résultat est 5. 5 5 + = 7 7² = 49 Le résultat est 49. On remarque que les deux programmes semblent donner le même résultat si on choisit le même nombre au départ. 4
b ) Si le nombre choisi est x : PROGRAMM A x x + 4 (x + 4) x = x² + 4x x² + 4x + 4 Le résultat est x² + 4x + 4. x x + (x + )² = x² + x + ² = x² + 4 x + 4 Le résultat est x² + 4x + 4. Les programmes A et calculent bien la même chose. Activités Géométriques xercice 1 (4 points : 1 point par question) : a) b ) ans le triangle A rectangle en A on a : sin( A A ) = sin( A ) = 9. A = sin -1 9 A 4 c ) La somme des mesures des angles d un triangle fait 180 donc A + A + A = 180. A 180 (90 + 4) A 180 1 A 48 d ) J utilise le théorème de Pythagore dans le triangle A rectangle en A pour calculer A. ² = A² + A² onc A² = ² A² = 9² ² = 45 onc A = 45 A,7 cm. xercice (4 points : points par question) : 9 5 O 8 F 1,5 A a ) On sait que les droites (F) et (A) sont parallèles, les points O, et sont alignés ainsi que les points O, F et A, donc d après le théorème de Thalès on a : O O = OF OA = F A. 5 Avec les valeurs numériques, on a : O = 7,5 = A. 5
La règle du produit en croix donne : O = 5 7,5 =,5 cm et A = 7,5 =,75 cm omme = O O, on a =,5 5 = 1,5 cm. b ) Les droites () et (F) sont-elles parallèles? Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité? Petit triangle O = 5 cm OF = cm Grand triangle O = 8 cm O = 9 cm Les produits en croix donnent 5 9 = 45 et 8 = 48. 45 48 donc le tableau n est pas un tableau de proportionnalité donc, d après le théorème de Thalès, les droites () et (F) ne sont pas parallèles. xercice (4 points : 1 point par question) : A 15 cm 10 cm 8 cm cm a ) est un point du cercle de diamètre [A] donc le triangle A est rectangle en. ² = 10² = 100 b ) Le plus grand côté est [] : ² + ² = 8² + ² = 4 + = 100 On a donc ² = ² + ². après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. c ) Les droites (A) et () sont perpendiculaires à la même droite (), elles sont donc parallèles. d ) On sait que les droites (A) et () sont parallèles, les points, et sont alignés ainsi que les points A, et, donc d après le théorème de Thalès on a : A = = A n particulier, on a : A = 15 15 donc A = = 9 cm. 10 10
Problème (1 points) Première partie (,5 points : a) points b) 1 point c) 1,5 points d) 1 point e) 1 point) ans cette première partie, F est un point du segment [] tel que F = cm. a) A et F sont deux triangles rectangles en. L aire d un triangle rectangle est : (longueur largeur) : A A(A) = = 1 9 = 54 cm² F A(F) = = 8 = 4 cm² b) L aire du quadrilatère AF (partie grisée) est : A (AF) = A(A) A(F) A (AF) = 54 4 = 0 cm² c) Les angles du rectangle A sont droits. Pour calculer A, j utilise le théorème de Pythagore dans le triangle A rectangle en (ou A rectangle en ) : A² = A² + ² donc A² = 9² + 1² = 5. donc A = 5= 15 cm d) Les points A,, et, F, sont alignés dans le même ordre. Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité? Petit triangle = 8 cm F = cm Grand triangle A = 1 cm = 9 cm Les produits en croix donnent 8 9 = 7 et 1 = 7. Ils sont égaux. Le tableau est un tableau de proportionnalité donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (A) et (F) sont parallèles. e) ans le triangle F rectangle en on a tan( F F ) = donc tan( F ) = 8. F = tan -1 8 donc F 7. euxième partie (,5 points : a) 1,5 points b) 1 point c) 1 point ) F a) A(F) =. On sait que = 8 et F = 9 x 8 (9 x) donc A(F) = = 4 (9 x) = 4x b) A(F) = 1 signifie que 4x = 1 On résout cette équation 1 = 4x donc 4 = 4x c est-à-dire x = L aire du triangle F est-elle égale à 1 cm², pour x = cm. c) A (AF) = A(A) A(F) donc A (AF) = 54 ( 4x) = 54 + 4x = 18 + 4x Troisième partie ( points : a) 1 point b) 1 point ) a) La largeur A est de 9 cm sur la figure et la largeur réelle est de 7 m. Sur la figure 9 cm 1 cm Sur le terrain réel 7 m = 700 cm? 1 cm sur la figure correspond donc à 700 : 9 = 00 cm sur le terrain. L échelle est donc b) La largeur réelle est 7 m et la longueur réelle est 00 1 = 00 cm = m. L aire du terrain rectangulaire est 7 = 97 m² 1 00. 7