CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. PLAN D ÉTUDE D UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE On considère un repère orthogonal ( Oi,, j). Déterminer le domaine de déinition D de la onction.. Recherche d une éventuelle période T (T> le plus petit possible). On étudie la onction x E = α, α+ T D, avec α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de pour [ ] la onction. 3. Parité ou imparité Si la onction est paire ou impaire, on prend en général T T T E =, D et l on réduit l étude à l intervalle E = D T α= et donc l intervalle Remarque On peut aussi prendre α= et dans certains cas d autres valeurs de α sont préérables. 4. Centre de symétrie. Axe de symétrie On peut aussi réduire l intervalle d étude dans le cas où la onction admet un centre de symétrie I ( ab, ) (autre que l origine) ou un axe de symétrie x = a (autre que x = ) 5. Etude de la onction dérivée. Limites aux bornes du domaine de déinition. Tableau de variation. 6. Représentation graphique de la onction. Gérard Hirsch Maths54
Remarque Certaines étapes comme le (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire. Etude de la onction sinus Soit la onction : x sinx La onction sinus est déinie sur D = La onction sinus est périodique de période T = En eet x D, x+ D et sin( x+ ) = sinx Il suit donc d étudier la onction sur E = [, ] La onction sinus est impaire En eet x D, x D et sin( x) = sinx On réduit l étude de la onction à E = [ ] La courbe représentative de la onction sinus admet la droite d équation symétrie En eet + x D x D et sin( + x) = sin( x) x D On réduit (encore) l étude de la onction à E3 = x = pour axe de La onction sinus est dérivable sur D = et (sin x) ' = cos x avec cos x pour x E 3 = Tableau de variation : x + Gérard Hirsch Maths54
Courbe représentative : Pour x E3 = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de Pour x E = [ ] : on passe de l arc générateur obtenu pour x E3 = x E = [ ] en eectuant la symétrie par rapport à la droite d équation à l arc obtenu pour x = 3 Pour x E = [, ] : on passe de l arc obtenu pour x E = [ ] à l arc obtenu pour x E [, ] eectuant la symétrie par rapport à l origine O du repère = en Gérard Hirsch Maths54 3
-3 - - 3 - Pour x D = R : on passe de l arc obtenu pour x E = [, ] à l arc obtenu pour x D = R en eectuant les translations ki, k Z -5 5-3. Etude de la onction cosinus Soit la onction : x cosx La onction cosinus est déinie sur D = La onction cosinus est périodique de période T = En eet x D, x+ D et cos( x+ ) = cos x Il suit donc d étudier la onction sur E = [, ] La onction cosinus est paire Gérard Hirsch Maths54 4
En eet x D, x D et cos( x) = cosx On réduit l étude de la onction à E = [ ] La courbe représentative de la onction cosinus admet le point I = (, ) pour centre de symétrie En eet + x D x D et cos( + x) + cos( x) = sin x+ sin x= x D On réduit (encore) l étude de la onction à E3 = La onction cossinus est dérivable sur D = et (cos x)' = sin x avec sin x pour x E3 = Tableau de variation : x - Courbe représentative : Pour x E3 = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de Pour x E = [ ] : Gérard Hirsch Maths54 5
on passe de l arc générateur obtenu pour x E3 = = en eectuant la symétrie par rapport au point I = (, ) x E [ ] à l arc obtenu pour 3 - Pour x E = [, ] : on passe de l arc obtenu pour x E = [ ] à l arc obtenu pour x E [, ] eectuant la symétrie par rapport à l axe Oy = en -3 - - 3 - Pour x D = R : on passe de l arc obtenu pour x E = [, ] à l arc obtenu pour x D = R en eectuant les translations ki, k Z Gérard Hirsch Maths54 6
-5 5-4. Etude de la onction tangente Soit la onction : x tanx sin x La onction tangente est déinie par tan x = sur cos x La onction tangente est périodique de période T = D = + k k Z k Z En eet sin( x+) sinx x D, x+ D et tan( x+ ) = = = tanx cos( x+) cos x Il suit donc d étudier la onction sur E =, La onction tangente est impaire sin( x) sin x En eet x D, x D et tan( x) = = = tanx cos( x) cos x On réduit l étude de la onction à E = La onction tangente est dérivable sur D = + k k Z k Z et avec sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)' cos x+ sin x (tan x)' = = = = + tan cos x cos x cos x ' = = + > pour x E = cos x (tan x)' tan x Limite aux bornes du domaine de déinition : x Gérard Hirsch Maths54 7
Puisque limsin x= sin( ) = et lim cos x= lim cos( ) = x x x x< x< x< + alors lim tan x =+ x x< La droite d équation x = est asymptote à la courbe Tableau de variation : x + + Courbe représentative : Pour x E = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de 3 Pour x E =, : Gérard Hirsch Maths54 8
on passe de l arc générateur obtenu pour x E = à l arc obtenu pour x E =, en eectuant la symétrie par rapport au l origine O du repère. 3 - - - -3 Pour x D = + k k Z k Z : on passe de l arc obtenu pour x E =, à l arc obtenu pour D = + k k Z k Z en eectuant les translations 3-5 5 - - -3 Gérard Hirsch Maths54 9