Chapitre III Fonctions hyperboliques A Fonctions hyperboliques directes A. Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique A.. Définition On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R R, x sh x ex e x. On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R R, x ch x ex + e x. A.. Remarques La fonction sh est impaire et la fonction ch est paire. En effet, elles sont définies sur R et, pour tout x R, on a sh( x) e x e ( x) e x + e x sh x et ch( x) e x + e ( x) e x + e x ch x. Le graphe de la fonction sh admet donc l origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a sh. Le graphe de la fonction ch admet donc l axe des ordonnées pour axe de symétrie. Pour tout x R, on a ch x sh x. En effet, pour tout x R, on a ( e ch x sh x + e x ) ( e x e x ) ( e x ) + e x e x + ( e x) ( e x ) e x e x + ( e x) x 4 4 d où ch x sh x 4ex e x Pour tout x R, on a ch x. En effet, soit x R, on a e x > et e x > donc ch x >. D autre part, la relation ch x + sh x donne ch x donc ch x ou ch x. Comme ch x >, c est donc que ch x. 4.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques A..3 La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch. La fonction ch est dérivable sur R et sa dérivée est sh. Démonstration La fonction exponentielle est dérivable sur R, de même que la fonction x e x, donc les fonction ch et sh sont dérivables sur R (ce sont des sommes de fonctions dérivables). Pour tout x R, on a [ e sh x e x ] e x ( e x) x i.e. sh ch. De même, pour tout x R, on a i.e. ch sh. [ e ch x + e x ] e x + ( e x) x ex + e x ex e x ch x sh x Passons à l étude des variations de ces deux fonctions. Pour la fonction sh, il suffit de l étudier sur [, [ puisqu il s agit d une fonction impaire. La dérivée de sh est ch et on a vu que ch x > pour tout x R donc sh est strictement croissante sur R. On a ch donc le graphe de sh admet la droite d équation y x pour tangente en. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d étudier le signe de la fonction f(x) sh x x, cette fonction est dérivable, de dérivée f (x) ch x. La fonction f est donc croissante sur R or f() donc f(x) pour tout x i.e. le graphe de sh est situé au-dessus de la droite pour x et en-dessous de pour x. En ce qui concerne les limites, on a e x et e x donc sh x maintenant si le graphe admet une asymptote en ; pour tout x >, on a. Cherchons sh x x ex e x x e x }{{} x e x }{{} x. Il n y a donc pas d asymptote en. On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe. x sh x chx + + shx
A - Fonctions hyperboliques directes 3 Pour la fonction ch, il suffit là aussi de l étudier sur [, [ puisqu il s agit d une fonction paire. La dérivée de ch est sh et on a vu que sh x > pour x > donc ch est strictement croissante sur ], [. On a sh donc le graphe de sh admet la droite d équation y pour tangente en. Comme ch x pour tout x, le graphe de ch est situé au-desus de. En ce qui concerne les limites, on a e x et e x que pour la fonction sh, le graphe de ch n admet pas d asymptote en. donc ch x On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.. De même x ch x shx + chx A. Tangente hyperbolique Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s annule pas permet d introduire la fonction suivante : A.. Définition On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction th : R R, x th x sh x ch x ex e x e x + e x. A.. Remarques La fonction th est impaire (puisque sh est impaire et ch est paire). Son graphe admet donc l origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a th. Pour tout x R, on a th x ch x. En effet, on peut écrire : th x sh x ch x ch x sh x ch x ch x. A..3 La fonction th est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par : th (x) th x ch x.
4 Chapitre III - Fonctions hyperboliques Démonstration Les fonctions sh et ch sont dérivables sur R et la fonction ch est définie sur tout R donc le quotient th sh ch définit bien une fonction dérivable sur R. Pour tout x R, on a th x [ sh x ] sh x ch x sh x ch x ch x ch ch x sh x x ch x ch x. Passons à l étude des variations. Il suffit d étudier th sur [, [ puisqu il s agit d une fonction impaire. La dérivée de th est ( ch) donc th est strictement croissante sur R. On a ch donc le graphe de th admet la droite d équation y x pour tangente en. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d étudier le signe de la fonction g(x) th x x, cette fonction est dérivable, de dérivée g (x) ( th x). La fonction g est donc décroissante sur R or g() donc g(x) pour tout x i.e. le graphe de th est situé en-dessous de la droite pour x et au-dessus de pour x. En ce qui concerne les limites, on a : mais e x vers. Donc lim th x ex e x ex e x e x e x + e x e x + e x + e x donc le numérateur et le dénominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux th x. Il s ensuit que le graphe de th admet la droite d équation y pour asymptote en (donc, par imparité, il admet la droite d équation y pour asymptote en ). On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe. x th x ch x + + thx B Fonctions hyperboliques réciproques B. Réciproque de la fonction sinus hyperbolique La fonction sh est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque. B.. Définition On appelle fonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh : R R, x Argsh x, l application réciproque de la fonction sinus hyperbolique. Pour tout x R, on a sh ( Argsh x ) x et Argsh ( sh x ) x.
B - Fonctions hyperboliques réciproques 5 Les variations de la fonction Argsh sur R sont les mêmes que celles de la fonction sh sur R. x Argsh x B.. La fonction Argsh est dérivable sur R et pour tout x R, Argsh (x) + x. B. Réciproque de la fonction cosinus hyperbolique La fonction ch est continue et strictement croissante sur [, [, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image [, [ et on peut définir son application réciproque. B.. Définition On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, et on note Argch : [, [ [, [, x Argch x, l application réciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique à l intervalle [, [. B.. Remarques Pour tout x, on a ch ( Argch x ) x. Pour tout x, on a Argch ( ch x ) x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l expression Argch ( ch x ) est définie pour tout x R mais ne vaut exactement x que lorsque x. Les variations de la fonction Argch sur [, [ sont les mêmes que celles de la fonction ch sur [, [. x Argch x
6 Chapitre III - Fonctions hyperboliques B..3 La fonction Argch est dérivable sur ], [ et pour tout x R, Argch (x) x. B.3 Réciproque de la fonction tangente hyperbolique La fonction th est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image ], [ et on peut définir son application réciproque. B.3. Définition On appelle fonction argument tangente hyperbolique, et on note Argth :], [ R, x Argth x, l application réciproque de la fonction tangente hyperbolique. B.3. Remarques Pour tout x ], [, on a th ( Argth x ) x. Pour tout x R, on a Argth ( th x ) x. Les variations de la fonction Argth sur ], [ sont les mêmes que celles de la fonction th sur R. x Argth x B.3.3 La fonction Argth est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, Argth (x) x.