Angles orientés de vecteurs Trigonométrie

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés........................... 1. Angles orientés de vecteurs unitaires.................................. 4 1. Angles orientés de vecteurs Cas général............................... 5 Trigonométrie 6.1 Cosinus et sinus.............................................. 6. Quelques relations............................................ 7. Angles associés.............................................. 8 Propriétés des angles orientés 10.1 Angles orientés et colinéarité...................................... 10. Relation de Chasles........................................... 11 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/.0/fr/ 1

TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX Table des figures 1 Le cercle trigonométrique........................................ Exemples de mesures d arcs orientés.................................. Angles orientés de vecteurs unitaires.................................. 4 4 Angle orienté de vecteurs cas général................................. 5 5 Cosinus et sinus.............................................. 6 6 Angles remarquables........................................... 7 7 Cosinus et sinus de x.......................................... 8 8 Cosinus et sinus de x........................................ 8 9 Cosinus et sinus de + x........................................ 9 10 Cosinus et sinus de x........................................ 9 11 Cosinus et sinus de + x........................................ 10 1 Quelques cas particuliers......................................... 11 Liste des tableaux 1 Conversion degrés-radians........................................ 4 Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente.......................... 7

1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS Activité 1 (fp : Arcs orientés sur un cercle 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés Définition : On appelle cercle trigonométrique un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (voir figure 1. Figure 1 Le cercle trigonométrique L arc orienté ÃB a une infinité de mesures :,, 5... Elles sont toutes définies au nombre de «tours» près. Toute mesure de l arc orienté ÃB est donc de la forme + k, où k Z. Plus généralement : Propriété : Soit A et M deux points du cercle trigonométrique. Si l est une mesure de l arc orienté ĀM, alors toutes les mesures de cet arc sont de la forme l + k, où k Z. On note alors : ĀM = l + k (k Z ou ĀM = l []. La deuxième notation se lit : «l modulo». Exemples : A l aide des propriétés géométriques de la figure, on a : Figure Exemples de mesures d arcs orientés ÃE = [] ; ÃF = 4 [] ; ÃG = 6 [] ; ÃH = 5 6 [] ; ĀK = [] et ÂL = 4 [] Exercices : 0, page 05 et 7 page 06 1 [TransMath] 1. Utilisation du cercle trigonométrique.

1. Angles orientés de vecteurs unitaires 1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1. Angles orientés de vecteurs unitaires Définition : Soit u et v deux vecteurs unitaires ( u = v = 1. Il existe deux points M et N du cercle trigonométrique tels que OM = u et ON = v (voir figure. On appelle mesure de l angle orienté de vecteurs ( u, v toute mesure de l arc orienté MN. On utilisera donc les mêmes notations. L unité de mesure est le radian (noté rad. Figure Angles orientés de vecteurs unitaires Remarque : rad correspond à 180. Un tableau de proportionnalité permet donc de passer facilement des degrés aux radians (et réciproquement, voir tableau 1. Mesure de l angle en radians 0 6 4 Mesure de l angle en degré 0 0 45 60 90 180 Table 1 Conversion degrés-radians On passe de la première à la deuxième ligne en multipliant par 180. Exemples : On se reportera à la figure. 1. Ä ä OA, OE = [] (exemples de mesure : ; + = 7 ; = 5, 1 + 4 =. Ä ä OA, OG = 6 [] (exemples de mesure : 6 ; 11 6 + = 6. Ä OF, OL ä = [] (exemples de mesure : ; ; ; 5 4. Ä OE, OK ä = [] Définition : Une seule mesure de l angle orienté ( u, v appartient à l intervalle ] ; ]. Cette mesure est appelée mesure principale de l angle ( u, v. 4

1 MESURES D ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1. Angles orientés de vecteurs Cas général Exercice : Trouver la mesure principale de l angle 17. On sait que la mesure principale est de la forme 17 + k (avec k Z et qu elle doit être dans l intervalle ] ; ]. On a donc : 17 < + k 17 1 < + k 1 (en divisant par 1 17 < k 1 17 0 < k 14 10 < k 7 De plus, on sait que k Z. Or, le seul entier relatif vérifiant l encadrement précédent est k = 9 =. La mesure principale de l angle est donc : 17 17 17 18 + ( = 6 = =. Exercices : 1 page 05 et 6 page 06 4 page 05 5 page 05 4 [TransMath] 1. Angles orientés de vecteurs Cas général Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls. On note C le cercle trigonométrique de centre O. On se référera à la figure 4. On pose u = OM et v = ON. les demi-droites [OM et [ON coupent respectivement le cercle trigonométrique C en A et B. Les vecteurs OA et OB sont unitaires et respectivement de même direction et de même sens que u et v. On appelle alors mesure de l angle orienté ( u, v, toute mesure de l angle orienté Ä ä OA, OB. Figure 4 Angle orienté de vecteurs cas général Exercices : 9, page 05 et 8, 40, 4 page 06 5 4 page 06 6 [TransMath]. Angles orientés de vecteurs unitaires.. Mesure principale. 4. Algorithmique. 5. Angles orientés de vecteurs. 6. Ensemble de points. 5

TRIGONOMÉTRIE Trigonométrie.1 Cosinus et sinus Définition 1 : On dit qu un repère (O ; ı ; j du plan orienté est orthonormal direct si : ı = j = 1 et ( ı ; j = + [] Définition : Soit C le cercle trigonométrique de centre O et A, B deux points du cercle C tels que le repère Ä O ; ä OA ; OB soit orthonormal direct (voir figure 5. Soit x un réel. Il existe un unique point M du cercle trigonométrique C tel que Ä OA ; OM ä = x []. On Ä appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x les coordonnées du point M dans le repère ä O ; OA ; OB. cos x : abscisse du point M sin x : ordonnée du point M. Figure 5 Cosinus et sinus Remarques : 1. Si k Z, x + k est une autre mesure de l angle orienté Ä OA ; OM ä. On a donc : cos (x + k = cos x sin (x + k = sin x. A (1 ; 0 donc : cos (0 = 1 et sin (0 = 0. B (0 ; 1 donc : cos ( ( = 0 et sin = 1. A ( 1 ; 0 donc : cos ( = 1 et sin ( = 0. B (0 ; 1 donc : cos ( ( = 0 et sin = 1.. Le triangle OHM est rectangle en H donc, d après le théorème de Pythagore : OH + HM = OM Or, OM = 1, OH = (cos x et HM = (sin x. On a donc : (cos x + (sin x = 1 Dans toute la suite, on notera : cos x = (cos x et sin x = (sin x. La relation précédente devient alors : cos x + sin x = 1 6

TRIGONOMÉTRIE. Quelques relations. Quelques relations On a déjà les relations suivantes : Propriété : Pour tout x Ret tout k Z : cos (x + k = cos x sin (x + k = sin x cos x + sin x = 1 1 cos x 1 1 sin x 1 On rappelle de plus que, si cos x 0, tan x = sin x cos x. Les cosinus, sinus et tangente des angles remarquables sont données dans le tableau. x 0 6 cos x 1 1 sin x 0 tan x 0 4 1 1 0 1 1 0 0 Table Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente Remarque : Pour retenir tous les résultats du tableau, on peut s aider du cercle trigonométrique (voir figure 6. Figure 6 Angles remarquables Exercice : Calculer sin α et cos β sachant que : cos α = 0, 6 et < α < 0 sin β = 0, 8 et < β < Exercices : 59, 60, 61 page 08 7 44 page 06 et 89 page 11 8 [TransMath] 7. Lignes trigonométriques. 8. Repérage polaire. 7

. Angles associés TRIGONOMÉTRIE. Angles associés Dans toute cette section, x désigne un réel et M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique suivant la définition du.1. Cosinus et sinus de x : voir figure 7. Figure 7 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M 1 (cos ( x ; sin ( x. Comme M et M 1 sont symétriques par rapport à l axe des abscisses, on en déduit que : Cosinus et sinus de x Cosinus et sinus de x : voir figure 8. cos ( x = cos x sin ( x = sin x Figure 8 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M (cos ( x ; sin ( x. Comme M et M sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées, on en déduit que : Cosinus et sinus de x cos ( x = cos x sin ( x = sin x 8

TRIGONOMÉTRIE. Angles associés Cosinus et sinus de + x : voir figure 9. Figure 9 Cosinus et sinus de + x M (cos x ; sin x et M (cos ( + x ; sin ( + x. Comme M et M sont symétriques par rapport à l origine du repère, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x cos ( + x = cos x sin ( + x = sin x Cosinus et sinus de x : voir figure 10. Figure 10 Cosinus et sinus de x M (cos x ; sin x et M 4 ( cos ( x ; sin ( x. Comme M et M 4 sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x ( cos x ( sin x = sin x = cos x 9

PROPRIÉTÉS DES ANGLES ORIENTÉS Figure 11 Cosinus et sinus de + x Cosinus et sinus de + x : voir figure 11. ( ( M (cos x ; sin x et M 5 cos + x ; sin ( + x. Comme M 4 et M 5 sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées, on en déduit que : Cosinus et sinus de + x ( cos + x ( sin + x = sin x = cos x Remarque : Pour retenir ces relations, il est vivement conseillé de se référer au cercle trigonométrique. Exemples : 1. cos (. cos ( 7 6 ( ( = cos = cos = 1. ( ( = cos + 6 = cos 6 =.. sin ( 4 = sin ( 4 =. Exercices : 1,, page 197 et 6 page 08 9 4, 5 page 08 et 1 page 0 10 page 0 11 5, 6, 7, 8 page 198 et 68, 69 page 08 1 70 page 08 et 71, 7 page 09 1 8, 8, 84, 85 page 10 14 [TransMath] Propriétés des angles orientés.1 Angles orientés et colinéarité Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls. Les vecteurs u et v sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( u, v = 0 []. Les vecteurs u et v sont colinéaires et sens contraires si et seulement si ( u, v = []. Remarque : On peut donc utiliser les angles orientés pour prouver un parallélisme ou un alignement. 9. Angles associés. 10. Lignes trigonométriques d angles associés. 11. Utilisation d angles orientés pour démontrer. 1. Équations trigonométriques. 1. Avec la calculatrice. 14. Équations plus difficiles. 10

RÉFÉRENCES. Relation de Chasles. Relation de Chasles Théorème : Relation de Chasles (admis Soit u, v et w trois vecteurs non nuls. Alors : ( u, v + ( v, w = ( u, w [] Quelques conséquences : Ces égalités sont illustrées sur la figure 1. 1. ( v, u = ( u, v []. ( u, v = ( u, v + [] et ( u, v = ( u, v + []. ( u, v = ( u, v [] Figure 1 Quelques cas particuliers Exercices : 46 page 07 15 1, 1, 15 page 00 ; 0 page 0 et 49, 50, 51, 54, 55, 56 page 07 16 79, 80 page 10 et 90 page 11 17 [TransMath] Références [TransMath] transmath 1 re S, édition 011 (Nathan, 5, 7, 10, 11 15. Angles particuliers. 16. Démontrer en utilisant la relation de Chasles. 17. Plus difficiles. 11