Filtrage linéaire II. Signaux périodiques. Décomposition en série de Fourier Soit () un signal périodique, ne présentant par période qu un nombre fini de discontinuités, de période T =. La fonction () est développable en série de Fourier : ()= +... +.. = +... + et sont les coefficients de la série de Fourier est la valeur moyenne de () = + ( )= Le signal () est décomposé en un signal constant et un nombre infini de signaux sinusoïdaux. Le signal sinusoïdal de fréquence est le fondamental, les autres signaux sont les harmoniques de fréquences.,3., Si () est une fonction paire les coefficients sont nuls, si la fonction () est impaire les coefficients sont nuls. Aux points de discontinuité de () la somme de la série est égale à la demi somme des limites à gauche et à droite de ().. Exemples de décomposition en série de Fourier de signaux périodiques cas un signal rectangulaire Rabeux Michel Page
=0 = =. pour impair et. =0 pour pair ()= 4.. + 4 3. 3.. + 4 5. 5.. + Amplitude des harmoniques N 3.N 5.N 7.N cas un signal triangulaire () ()= 8.. 8 3. 3.. + 8 5. 5.. + =. pour impair et. =0 pour pair 3. Valeur moyenne et valeur efficace d un signal périodique la valeur moyenne d un signal périodique est : () = = ( ). la valeur efficace d un signal périodique est : = ( ). pour un signal sinusoïdal =0 pour un signal triangulaire =0 pour un signal rectangulaire =0 = = = les oscilloscopes numériques et les multimètres ( TRMS ) mesurent les valeurs efficaces Rabeux Michel Page
III. Fonction de transfert, diagramme de Bode. Fonction de transfert harmonique d un quadripôle Un quadripôle est une portion de circuit comportant 4 bornes ( bornes d entrée et bornes de sortie ). Souvent une des bornes d entrée et une des bornes de sortie sont reliées entre elles ( et à la masse ). Un quadripôle est dit passif lorsqu'il ne comporte pas de source auxiliaire de puissance, dans le cas contraire il est actif ( présence d A.O., transistors... ). Les quadripôles étudiés seront linéaires ( ils sont constitués de dipôles linéaires ) source quadripôle charge dans le cas du schéma, la convention récepteur est utilisée pour l'entrée et la sortie du quadripôle La fonction de transfert du quadripôle est définie par le rapport d une grandeur électrique de sortie et d une grandeur électrique d entrée = Dans la suite les grandeurs électriques seront des tensions = Les grandeurs électriques d entrée et de sortie seront sinusoïdales ( ou décomposables en somme de fonctions sinusoïdales ). ()=..(.+ ) ()=..(.+ ) =.( ) Le module de la fonction de transfert est = L argument de la fonction de transfert est = La présence d'une charge modifie la fonction de transfert. est un rapport des deux polynômes en. l ordre du filtre est l exposant le plus élevé des polynômes.. Gain en db =0.() avec = 3. Diagramme de Bode Le gain statique est obtenu pour =0 C'est l'ensemble des deux courbes () et (). Les deux courbes sont tracées sur papier semi-log. Une décade est l'intervalle compris entre et 0. Rabeux Michel Page 3
IIII. Les divers filtres, gabarit d un filtre. Les divers filtres Le filtre passe bas qui laisse passer les basses fréquences et qui atténuent les hautes fréquences. Le filtre passe haut qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténuent les basses fréquences. Le filtre passe bande qui atténuent les basses et les hautes fréquences et qui laisse passer les fréquences intermédiaires. Le filtre coupe bande ( ou réjecteur de bande ) qui laisse passer les basses et les hautes fréquences et qui atténuent les hautes intermédiaires.. Gabarit d un filtre Le gabarit est un ensemble de conditions qui définit le cahier des charges d un filtre. Sur le diagramme de Bode ( en gain ) il fait apparaître les zones conservées et les zones rejetées. Les parties rejetées sont grisées. Dans un gabarit apparaissent des valeurs de fréquences et de gain en db. gabarit d un filtre passe bas > < < > gabarit d un filtre passe haut < < > > Rabeux Michel Page 4
gabarit d un filtre passe bande < < > > >> gabarit d un filtre coupe bande > < > < >> 3. Fréquence de coupure à 3 db La bande passante à 3 est l'ensemble des fréquences tel que () () 3 ou = (0) pour un passe-bas = ( ) pour un passe-haut = ( )= pour un passe-bande = (0)= ( ) pour un coupe-bande Un filtre passe-bas possède une bande passante [ 0 ; ] Un filtre passe-haut possède une bande passante [ ; [ Un filtre passe-bande possède une bande passante [ ; ] Un filtre réjecteur de bande possède une bande coupée [ ; ] Rabeux Michel Page 5
IIV. Etude qualitative de l action d un filtre sur un signal. Action d un filtre passe bas sur un signal Soit un signal d entrée ayant le spectre suivant ( l amplitude des diverses composantes est notée () ). () N 0 Le diagramme de Bode est le suivant N Les fréquences inférieures à sont légèrement atténuées, les fréquences supérieures à sont plus fortement atténuées et d autant plus atténuée que la fréquence augmente. Le spectre du signal de sortie sera le suivant () N 0 N Rabeux Michel Page 6
. Action d un filtre passe haut sur un signal Soit un signal d entrée ayant le spectre suivant ( l amplitude des diverses composantes est notée () ). () N 0 N Le diagramme de Bode est le suivant Les fréquences inférieures à sont fortement atténuées, l atténuation est d autant plus importante que la fréquence est faible. Les fréquences supérieures à sont plus faiblement atténuées Le spectre du signal de sortie sera le suivant () N 0 N Rabeux Michel Page 7
3. Action d un filtre passe bande sur un signal Soit un signal d entrée ayant le spectre suivant ( l amplitude des diverses composantes est notée () ). () N 0 Le diagramme de Bode est le suivant N Les fréquences inférieures à ou supérieures à sont atténuées d autant plus que l on s écarte de. () N 0 N 4. Remarque L étude qualitative du spectre du signal de sortie peut se faire aussi avec le gabarit. Rabeux Michel Page 8
IV. Etude de l action d une fonction de transfert sur un signal. Fonction de transfert d un filtre passe bas d ordre La fonction de transfert d un filtre passe bas d ordre est la suivante (.)= ()= =( ) action du filtre sur un signal sinusoïdal ()=.cos(...+ ) =. + Exemple : =000 = =5,00 () 00 800 000 00 000 5000 () 4,90 3,90 3,53 3,0,4 0,99. Fonction de transfert d un filtre passe bas d ordre La fonction de transfert d un filtre passe bas d ordre est la suivante (.)= =. ()= =( ) + action du filtre sur un signal sinusoïdal ()=.cos(...+ ). = + Exemple : =000 = = =5,00 () 00 800 000 00 000 5000 () 5,0 5,70 5,00 3,9,39 0,0 3. Fonction de transfert d un filtre passe haut d ordre La fonction de transfert d un filtre passe haut d ordre est la suivante (.)= ()= =( )+ Rabeux Michel Page 9
action du filtre sur un signal sinusoïdal ()=.cos(...+ ) = + Exemple : =000 = =5,00 () 00 800 000 00 000 5000 (),04, 3,53 3,84 4,47 4,90 4. Fonction de transfert d un filtre passe haut d ordre La fonction de transfert d un filtre passe haut d ordre est la suivante (.)=. = ()= =( )+ + action du filtre sur un signal sinusoïdal ()=.cos(...+ ).. = + Exemple : =000 = = =5,00 () 00 800 000 00 000 5000 () 0,0 3,65 5,00 5,63 5,55 5,0 5. Fonction de transfert d un filtre passe bande d ordre La fonction de transfert d un filtre passe bande d ordre est la suivante (.)= =... ()=. =( ). Rabeux Michel Page 0
action du filtre sur un signal sinusoïdal ()=.cos(...+ ). = +. Exemple : =000 = =5 =5,00 () 00 800 000 00 000 5000 (),04 0, 5,0 3,3,04 IVI. Etude de quelques filtres simples. Filtre passe bas d ordre R v e C v s vs j.c. H( j ) = = = H = v e R + + j.r.c. + (R.C. )² j.c. = = er H( j ) avec x = et C filtre du ordre + j.x C R.C l'écriture avec x est l'écriture canonique H diminue lorsque la pulsation augmente. pour = 0 H(0) = = H maxi ( G maxi = 0 db ) si > H > 0 H = = = = = C = + (R.C. )² R.C maxi H R.C. H = H = = avec x= + j x² + C + C C C si < H Hmax i = GdB 0 0 C si > 0. C H GdB = 0.log C 0.log = 0.log x er filtre du ordre pente -0 db/décade Rabeux Michel Page
ϕ = arg(h) = arctan(r.c. ) = arctan = arctan(x) C π π ϕ ϕ C ϕ = 4 cos(ϕ) > 0 et sin(ϕ) < 0 - si 0 0 si - si = G(x) -3 db log(x) direction asymptotique ( - 0 db / décade ) phase de v s / v e - 0 log(x) - π / 4 - π / En remplaçant C par R et R par L on obtient le même type de filtre. Rabeux Michel Page
. Filtre passe haut d ordre R v e L v s si j.l. L. vs j.l. R H R v j.l. e R j.l. L. H(j ) = = = = + + R + R j.x R H(j ) = avec x = et C = + j.x C L augmente H augmente Hmax i si 0 H 0 si H =Hmaxi H( C) = x π H = ϕ = arctan(x) sin ( ϕ ) > 0 et cos( ϕ ) > 0 + x² si > 0. C H G 0 ϕ > 0 + si < 0. C G = 0 log - 0 log C = 0.log(x) pente +0 db/ décade ϕ > π si = C ϕ = + π 4 G(x) - 3 db log(x) direction asymptotique ( + 0 db par décade ) Rabeux Michel Page 3
phase de v s / v e π / π / 4-0 En remplaçant L par R et R par C on obtient le même type de filtre. log(x) 3. Filtre passe bas d ordre R L v e C v s j.c. H(j ) = = filtre du second ordre ( L.C. ²) + j.r.c. R + j. L C L. 0 H( ) = posons 0 ² = et Q = = L.C. ² + (R.C. )² L.C R R.C. 0 ( ) H( ) = en posant x = H(j.x) = ² ² 0 + (j.x) + (j.x) + Q 0 ² Q² 0 ² Q H(x) = x² + Q².( x²)² π L.C. π ϕ = + tan = + tan Q x R.C. x G(x) = 0.log(H(x)) si x 0 G(x) 0 ϕ 0 si x G(x) -40.log(x) ϕ - π π H() = Q GdB ( ) = 0.log ( Q) ϕ ( ) = Rabeux Michel Page 4
G(x) Q = Q = log(x) Q = 0, direction asymptotique - 40 db / décade ϕ(x) Q = Q = 0, Q = - π / log(x) - π Rabeux Michel Page 5
4. Filtre passe haut d ordre R C v e L v s j.l. L. H(j ) = H( ) = R + j L. C. R² + L. C. 0 posons 0 ²= Q x H( j.x) L.C R R.C. 0 0 ( j.x ) L. = = = = + j.x + j.x Q ( ) Q.x π L.C. π H(x) = ϕ = + tan = + tan Q x R.C. x + Q² x x 5. Filtre passe bande d ordre L C v e R v s R R H( j ) = H( ) = R + j L. C. R² + L. C. L. 0 Posons 0 ²= Q = x = H(x) = L.C R 0 + Q² x x G est maxi pour x = ( = 0 ) G maxi = 0 ( H maxi = ) bande passante à 3 db H( x) = =. Q + +. Q² =. Q + + 0 0 4 4. Q² = o Q. = ( moyenne géométrique ) 0 Rabeux Michel Page 6
G(x) - 3 db log(x) Q = Q = 5 ϕ(x) π / log(x) - π / Rabeux Michel Page 7