Dossier 17 Thème : Géométrie métrique Ce dossier porte sur le thème de la géométrie métrique, plus particulièrement il s'agit d'un problème géométrique de calculs de grandeurs (longueur, angle, aire, volume). Ce thème intervient tout au long de la scolarité ; dès le collège, les élèves apprennent diverses formules et autres méthodes de calculs de longueur, comme les théorèmes de Pythagore et Thalès ; Ou encore, le calcul d'aire et de volume de figures usuelles. Au lycée, ils voient entre autre la formule d'al Kashi pour le calcul des longueurs, et la formule permettant de calculer la longueur d'un segment en connaissant les coordonnées des deux points d'extrémités de ce segment. Ils voient aussi le calcul d'intégrales en Terminale, pour calculer l'aire sous une courbe par exemple. Bref, les formules et méthodes de calcul sont nombreuses. Le but de l'exercice est de calculer l'aire d'un quadrilatère défini par certaines conditions. Le quadrilatère n'est pas usuel, on va le découper en deux figures (des triangles rectangles) dont on saura calculer l'aire, puis utiliser la propriété d'additivité des aires. Cet exercice est bien en accord avec le thème du dossier. Question 1- Préciser les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l'exercice. Compétences : Traduire l'énoncé en une figure Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique Déterminer des points homologues Méthodes : Montrer la cocyclicité de points à l'aide cercle circonscrit à un triangle rectangle Déterminer la longueur d'un segment en utilisant la formule d'al Kashi et le théorème de Pythagore Déterminer la mesure d'un angle à l'aide des théorèmes de l'angle inscrit, de l'angle au centre Montrer la proportionnalité des côtés à l'aide de triangles semblables Savoirs : Propriété (Cercle circonscrit à un triangle rectangle) : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre interceptant le même arc Formule d'al Kashi Caractérisations des triangles semblables Théorème de Pythagore et sa réciproque Angles opposés à un sommet Propriétés d'un triangle isocèle 1/5
Question - Dans quelle(s) classe(s) peut-on proposer cet exercice? Il peut être proposé en classe de Terminale S Spécialité (car on utilise la notion de triangles semblables, en lien avec les similitudes). Question 3- Détailler les résolutions des questions et 4 de l'exercice. On en fera la résolution complète. 1. Illustration de l'énoncé à l'aide de Geogebra :. Le triangle ABC est rectangle en B : A, B, C sont sur le cercle de diamètre [ AC ] Le triangle ADC est rectangle en D : A, B, C sont sur le cercle de diamètre [ AC ] A, B, C et D sont sur le cercle de diamètre [ AC ] i.e. A, B,C, D sont cocycliques. Notons O le centre de ce cercle Γ et R son rayon. On a : R=OA=OB=OC=OD. (Al Kashi) Dans le triangle OBD : BD =OB + OD OB.OD. cos BOD soit (BI + ID) =R + R R.cos BOD ) (Théorème angle au centre) Or : BOD= ÂBD= x 60 =10 d'où 3 =R + R car cos10 =-0,5. Et donc R 3 =3 soit R= 3 hm. 3. I [ AC] Corde 3= BD< AC= 3 3,46 [ BD ] n'est pas un diamètre donc I ]OA[ ou I ]OC [ Comme BAD aigu (donc BOD ) saillant I ]OC [ /5
4. Montrons que les triangles IBC et IDA sont semblables. - BIC =ÂID (angles opposés par le sommet) - ĈBI =ĈBD et DAI = DAC ĈBI = DAI (théorème de l'angle inscrit) Points homologues : I I, B A, C D. IB IA = IC ID IB ID=IA IC Remarque : puissance d'un point par rapport à un cercle 5. 1 =IB ID= IA IC =(AO+ OI )(OC OI )=( R+ OI )( R OI )=R OI OI =( 3) =3 =1 OI =1 Dans le triangle IOD : OI + OD =1+ 3=4 et ID = =4. IOD est rectangle en O. 6. - Le triangle ADC est isocèle rectangle en D. Méthode 1 : (OD) ( AC ) et O=m [ AC ] Méthode : Théorème médiane dans triangle rectangle ĈAD= ÂCD=45 ÂDC=90 Dans le triangle ABC : BAC= BAD ĈAD=60 45 =15, ÂBC=90, BCA= BCD ÂCD=10 45 =75. - Le triangle COD est rectangle en O : OD + OC =DC, soit DC = R = 3=6 DC= 6. DC= AD= 6 Remarque : le triangle ABC rectangle en B : BC = AC cos 75 = 3 cos 75 et AB= AC sin 75 BOC= BOD ĈOD=10 90 =30 d'où (Al Kashi) dans le triangle rectangle BOC : BC =BO + OC OB.OC.cos30 BC = 3 3 3 =6 3 3 BC = 6 3 3. BIC =60 ÂIB= 360 60 =10 AB = AI + IB AI.IB.cos ÂIB AB =( 3+ 1) + 1 ( 3+ 1).1.cos10 AB =3+ 3+ 1+ 1+ 3+ 1=6+ 3 3 AB= 6+ 3 3 Aire=Aire( ABC)+ Aire(ADC )= AB BC + Conclusion : Aire=4,5 hm. DC AD = 36 7 + 6 = 3 + 6 = 9 3/5
Question 4- Proposer plusieurs exercices de calculs de grandeurs métriques (longueurs, angles, distances, aires, volumes,...) dans des configurations géométriques du plan ou de l'espace. Exercice 1 (niveau 3ème) : Pour la pyramide SABCD ci-dessous : La base est le rectangle ABCD de centre O. AB = 3 cm et BD = 5 cm. 1. Montrer que AD = 4 cm.. Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm 3. 3. Soit O' le milieu de [SO]. On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base. a. Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue? b. La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction. c. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'. Résolution : 1. ABCD rectangle : ainsi le triangle ABD est rectangle en A. D'où par le théorème de Pythagore, AD =BD AB =5 3 =16 AD=4cm. ( AB AD) SO. V 1 = = (3 4) 6 =4 cm 3. 3 3 3. a. Le plan coupant la pyramide et passant par O' est parallèle à la base, le rectangle ABCD donc la section A'B'C'D' est un rectangle. 4/5
b. Elle est égale à SO ' SO = 1 car O' = m[so]. c. V =( 1 ) 3 V 1 = 1 8 4=3cm 3. Exercice (Niveau 1ère S) : Un géomètre souhaite connaître la distance CD sur un terrain inaccessible car séparé de lui par un précipice. En choisissant deux points A et B à sa guise, il a fait cinq relevés : les quatres angles BAD, DAC, DBC, ĈBA et la distance AB. Déterminer la distance entre C et D avec les relevés suivants : DBC = 95, ĈBA = 30, BAD = 5, DAC = 50 et AB = 0 m. 1. Calculer AD en utilisant la formule des sinus dans le triangle ABD.. Calculer AC en utilisant une nouvelle fois la formule des sinus dans le triangle ABC. 3. En déduire une valeur approchée de CD (on pourra, pour cela, se placer dans le triangle ACD). Résolution : 1. Remarque : les 4 angles relevés nous donnent les mesures de tous les autres angles. Par déduction, ÂBO=30, ÂDB=30, et ÂBC =30. sin (ÂBD ) (15 ) AD=AB sin (ÂDB)=0 sin sin(30 ) 3,8m. sin (ÂBC ) sin (30 ). AC =AB sin( ÂCB)=0 sin (75 ) 10,4m. 3. (Al Kashi) CD =CA + AD.CA.AD.cos(ĈAD) 744,7. Finalement, CD 7,3 m. 5/5