orrigé fiche 1 géométrie 1. On trace la droite (). vec l équerre, on trace une perpendiculaire (µ) à () passant par. Puis une autre perpendiculaire à (µ) passant par. 2. onstruction : cf. cours. La médiatrice est l ensemble des points tels que M=M. Les points M tels que M<M est le demi-plan délimité par la médiatrice de [] et contenant le point. 3. On trace la droite (). vec le compas, on trace le symétrique de M par rapport à (). Rappel : pour tracer ce symétrique, on trace un cercle de centre de M qui coupe () en deux points et. On appelera r son rayon. On trace ensuite le cercle de centre de rayon r, et le cercle de centre de rayon r. Ils se coupent en M et M. M est le symétrique de M par rapport à (). La droite (MM ) est alors orthogonale à (), leur point d intersection est le projeté orthogonal de M sur (). 4. Si n appartient pas à (d) : idem exercice 3, c.à.d. on trace le symétrique de par rapport à (d). La droite ( ) est bien la perpendiculaire à (d) passant par. Si appartient à (d) : on trace un cercle de rayon r>0 quelconque centré en. Il coupe (d) en deux points et, tels que soit le milieu du segment []. vec le compas, on trace la médiatrice de [] : elle est perpendiculaire à (d) et passe bien par (qui est le milieu de []). 4bis. On choisit deux points distincts et sur (d). On cherche alors le point D tel que D soit un parallélogramme. lors on aura bien ()//(D). Pour trouver D : on trace un arc de cercle centré en de rayon, et un arc centré en de rayon. es arcs se coupent en D. 5. On trace un triangle équilatéral, et on aura un angle de 60 (cf. cours pour la construction). On trace ensuite la bissectrice d un de ces angles pour avoir deux angles de 30. On trace ensuite un autre triangle équilatéral D de coté mais différent du triangle. L angle ÂD mesure 2*60 =120. 6. On prend trois points distincts, et sur le cercle. omme [] et [] sont des cordes du cercle, leurs médiatrices passent par le centre du cercle. On les trace, et leur intersection est le centre du cercle. 7. vec la règle graduée, on trace un segment [] de 5cm. vec le compas, on trace la médiatrice de []. Elle coupe [] en son milieu M. On trace ensuite le cercle () de centre M de rayon M. Il coupe la médiatrice de [] en deux points et : les triangles et sont respectivement rectangles isocèles en et. Justification : puisque est sur la médiatrice de [], =, donc est isocèle en. Dans le cercle (), l angle au centre M ˆ intercepte le même arc que l angle inscrit ˆ, donc ˆ = M ˆ / 2 = 180/2 = 90. Donc est rectangle en. 8. parallélogramme : on trace un segment, et un point n appartenant pas à (). La suite de la construction est présentée question 4bis. Trapèze : on trace deux droites parallèles à la règle et au compas (cf. cours). On choisit deux points sur chaque droite et on les relie. arré : un trace un segment [] et sa médatrice. Ils se coupent en M. On trace le cercle de centre M de rayon M : il coupe la médiatrice de [] en deux points et D : le quadrilatère D est un carré (en effet, ses diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont la même longueur). Rectangle : On trace un segment [] et sa médiatrice. Ils se coupent en M. On trace le cercle de centre M de rayon M, et une droite quelconque (d) passant par M (différente de
()). Le cercle et (d) se coupent en et D tels que D soit un rectangle (en effet, ses diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu). Losange : Idem carré, sauf qu on choisit un cercle de centre M de rayon quelconque. 9. a) Il s agit de l ensemble des points situés à l extérieur des deux disques. b) Il s agit de l ensemble des points hachurés en rose. 10. Soit un cercle de centre O. Triangle équilatéral : tracer un diamètre [] du cercle. Tracer un cercle de centre de rayon [O], il coupe le cercle initial en deux points et D. Le triangle D est équilatéral (essayez de le prouver). Hexagone régulier : on trace la médiatrice de chaque coté du triangle D. Ses points d intersection avec le cercle sont les sommets de l hexagone.
11. On trace un segment [H] de longueur 4cm, où H sera le pied de la hauteur issue de. u compas on trace la perpendiculaire (d) à (H) passant par H, et le cercle de centre de rayon 5,5cm. Soit un point d intersection du cercle avec (d). On trace ensuite un cercle de rayon 5cm centré en ; il coupe (d) en. 12. (d') H (d) On trace la droite (d), et on place les points et comme indiqué dans l énoncé. On trace la droite (d ) perpendiculaire à (d) passant par ; elle coupe (d) en H, pied de la hauteur issue de. Il suffit alors de placer sur (d ) tel que H soit le milieu de [] (autrement dit est le symétrique de par rapport à H). En effet, (d) est alors une droite perpendiculaire à [] en son milieu H : c est la médiatrice de []. Par conséquent le point, qui appartient à (d), est à égale distance de et de, et le triangle est isocèle. La droite (d), hauteur relative à [], est alors aussi la bissectrice de l angle Â. 13. H I 1) Tracer la droite (d) perpendiculaire à (d 1 ) passant par. On note H son point d intersection avec (d 1 ), et I son point d intersection avec (d 2 ). 2) onstruire le symétrique de par rapport à I. Le noter. 3) Tracer le triangle. 14. 1. onstruire la droite parallèle à la droite (IT) passant par le point M (*). Elle coupe [RT] en E. 2. onstruire la droite perpendiculaire à la droite (IT) passant par le point M (*). Elle coupe [IT] en. 3. Placer le point sur le segment [IT] tel M=E. 4. Tracer le rectangle ME. (*) ttention : ces deux constructions sont à faire à la règle et au compas. ien laisser les traits de construction apparents!
15. orrigé en classe E 16. D omme les triangles D et DE sont rectangles isocèles respectivement en et D, on a ÂE=DÂE=45. Donc ÂE=ÂD+DÂE=90, c.à.d. les droites (E) et () sont perpendiculaires. Donc les deux droites (E) et (D) sont perpendiculaires à la même droite () : elles sont parallèles. 17. 1. Le triangle est un triangle rectangle en car il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son côté []. 2. Le triangle O est un triangle équilatéral car ses trois côtés sont de même longueur. En effet, et sont deux points du cercle () de centre O et de diamètre 8 cm. Donc O=O=4cm. De plus, par construction, =4cm. Donc O=O=. 3. Dans le triangle D, le point O est le milieu du côté [] et le point est le milieu du côté [D]. D après le théorème des milieux, la droite (O) est donc parallèle au troisième côté (D). 4. =8cm par hypothèse. est le milieu du segment [D] et = 4 cm, donc D = 8cm. Dans le triangle D, le point O est le milieu du côté [] et le point est le milieu du côté D [D]. En appliquant le théorème des milieux, on obtient que O=. Or O=4cm. Donc D = 2 8cm. Les trois côtés ayant même mesure, D est équilatéral. 5. est le milieu du côté [D] dans le triangle D. Donc la droite () est la médiane issue de ; mais on sait que le triangle D est équilatéral. La droite () est donc aussi la médiatrice du segment [D]. 6. Par construction, est le milieu de [OE] et est le milieu de [D]. Le quadrilatère ODE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c est donc un parallélogramme. Or les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles deux à deux. Donc [O] est parallèle à [ED]. appartenant à la droite (O), on a également [] parallèle à [ED]. Le quadrilatère DE est un trapèze. 18.
(d'') F (d) E G Il semble que les droites (F), (E) et (G) sont concourantes. Prouvons-le. (d)//( ) (d'')//( ) donc (F)//(). De même, donc ()//(F). (d),f (d) F (d''), (d'') insi, le quadrilatère F a ses côtés opposés parallèles : F est donc un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : on en déduit que la droite (F) coupe le segment [] en son milieu, et donc que dans le triangle, la droite (F) est la médiane issue de. De la même manière, on peut montrer que E et G sont des parallélogrammes, et que dans le triangle, (E) est la médiane issue de, et (G) est la médiane issue de. Par conséquent, les droites (F), (E) et (G) sont les trois médianes du triangle. Or on sait que dans un triangle, les médianes sont concourantes (au centre de gravité) : ceci prouve que les droites (F), (E) et (G) sont concourantes. (d')