Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1

Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1 I. Conseils pour mieux réussir Le devoir 1 porte sur les notions des chapitres I, II, III, IV et V. EXERCICE 1 Voir la division euclidienne. Il peut être utile d utiliser des inconnues pour mettre en équation les données de l exercice. EXERCICE 2 On trace généralement un angle dont la mesure est 120 degrés (ou 60 degrés) avec un rapporteur ; il s agit ici d utiliser les propriétés géométriques des triangles équilatéraux. Les constructions classiques décrites dans le chapitre II sont à revoir et à travailler. La suite de l exercice illustre des propriétés de parallélogrammes particuliers. EXERCICE 3 Pour les réponses à ce type d exercice, reportez-vous si nécessaire aux exercices corrigés, présents dans le cours. EXERCICE 4 Revoir les critères de divisibilité et traduire le texte de l exercice. Attention, il peut y avoir plusieurs solutions. EXERCICE On «trace» souvent les tangentes mentalement (c est d ailleurs ce que suggère l énoncé). Il faut ici ajouter à la figure proposée, les tangentes pour pouvoir raisonner sur des propriétés de triangles rectangles. De nombreux exercices imposent de compléter judicieusement la figure donnée afin de comprendre ce qui ce passe ; il s agit d une étape psychologiquement troublante qui arrête nombre d étudiants. 1

II. Énoncé du devoir EXERCICE 1 (3 points) 1. Démontrer que le PGCD de 217 et de 46 vaut 31. 2. Le directeur d un centre aéré décide d organiser un jeu auquel participent 217 garçons et 46 filles. Pour ce faire, il décide de constituer des groupes tels que : - le nombre de filles est identique dans tous les groupes, - le nombre de garçons est identique dans tous les groupes, - chaque enfant appartient à un unique groupe. a) Quel nombre maximal de groupes le directeur peut constituer? b) Combien y aura-t-il alors de filles et de garçons dans chaque groupe? 3. Un collègue du directeur arrive soudainement avec de nouveaux enfants. Déterminer le nombre de ces enfants nouvellement arrivés sachant que : - le nombre total des enfants est au final strictement inférieur à 696, - la division du nombre total d enfants par 40 fournit un reste de 1. EXERCICE 2 (6 points) Dans cet exercice, seul l usage de la règle non graduée et du compas est autorisé. 1. Considérons une droite D du plan. Comment construire une droite D du plan telle que D et D déterminent un secteur angulaire dont la mesure en degrés est de 120? Détailler le programme de construction d une telle droite D et effectuer une figure. 2. Les droites D et D se coupent en O. Soient A et B deux points distincts de la bissectrice d un des deux angles défini par D et D qui mesure 120 degrés avec A et B distincts de O et A [OB]. On appelle I le milieu du segment [AB]. a) Comment construire un point M de la droite D de telle façon que le triangle AMB soit isocèle en M? b) Comment construire un point N de la droite D de telle façon que le triangle ANB soit isocèle en N? En laissant apparents les traits de construction, effectuer une figure sur laquelle apparaissent les constructions des questions 2a) et 2b). c) Démontrer que le quadrilatère AMBN est un parallélogramme. 3. Quelle est la nature du parallélogramme AMBN? Justifier la réponse par une démonstration. EXERCICE 3 ( points) Considérons l expression suivante : E = 2(3x 1) 2 (2x +)(1 3x)+ 6x 2. 1. Développer puis réduire l expression E. 2. Calculer la valeur exacte de E lorsque : a) x = 0, 2 b) x =, c) x = 3. 3. Factoriser E en un produit de facteurs du premier degré. 4. Résoudre l inéquation suivante : 2(3x 1) 2 (2x +)(1 3x)+ 6x 2 0. EXERCICE 4 (2 points) On considère un nombre N qui s écrit 2 xyx en base dix. Déterminer les chiffres x et y pour que 3 divise le nombre N sachant que N est un multiple de. 2

EXERCICE (4 points) Un enfant lit dans un article d un magazine qu il est «simple de réaliser la figure suivante» : L auteur de l article spécifie qu il s agit d une «frise obtenue, en utilisant une transformation géométrique bien connue, à partir de deux cercles distincts C (O ; R) et C (O ; R) de même rayon R > 0, sécants en deux points distincts M et N tels que la tangente à C (O ; R) en M est perpendiculaire à la tangente à C (O ; R) en M». 1. Etant donné un nombre réel R > 0, donner le programme de construction de deux cercles distincts C (O ; R) et C (O ; R) de même rayon R, sécants en deux points distincts M et N tels que la tangente à C (O ; R) en M est perpendiculaire à la tangente à C (O ; R) en M. 2. Comment obtenir la «frise» ci-dessus à partir de la construction établie à la question 1, en utilisant une transformation géométrique classique. L attribution des points de votre devoir prendra en compte l orthographe et la qualité de la rédaction. 3

DUEDAWB0110 CORRIGÉ DU DEVOIR N 1 EXERCICE 1 Les savoirs engagés : - Déterminer un PGCD en utilisant l algorithme d Euclide, - Mettre en équation un problème avec un nombre variable d inconnues ; résoudre ces équations, - Effectuer la division euclidienne d un nombre entier N par un nombre entier non nul b, c est trouver le couple d entiers (q ; r) tels que N = bq + r avec 0 r < b. Ici, on a N = 40q +1 avec N < 696 ; il s agit donc de résoudre une inéquation à solution entière. 1. En utilisant l algorithme d Euclide, on a : PGCD(46, 217) = PGCD(217, 31) car PGCD(217, 31) = 31(dernier reste non nul) car Ainsi, PGCD(46, 217) = 31. Dividende Diviseur Quotient Reste 46 217 2 31 217 31 7 0 2. a) Soit x le nombre maximal de groupes que le directeur peut constituer. Soit f le nombre de filles dans un groupe. 217 = x g Soit g le nombre de garçons dans un groupe. On a :. Ainsi, x est un diviseur commun de 46 46 = x f et de 217 et il s agit du plus grand puisque le directeur veut réaliser le maximum de groupes. Ainsi, le directeur peut réaliser au maximum x = PGCD(46, 217) = 31 groupes. b) Avec les notations de la question 2.a), on a : il y aura donc 7 garçons et 1 filles. 217 g = = 7 et 31 46 f = = 1. Dans chacun des 31 groupes, 31 3. Soit N le nombre total des enfants après l arrivée du collègue du directeur. Soit n le nombre d enfants que le collègue du directeur vient d amener ; on a : N = 46 + 217 + n = 682 + n 682.

On sait qu il existe un entier naturel q tel que N = 40q + 1 avec N < 696. Il s ensuit que : N = 40q + 1 < 696 40q < 696 1 40q < 681 q < 681 17,02 40 =. Puisque q est un entier naturel, q est inférieur ou égal à 17. Or, si q 16 alors N = 40q + 1 6 ce qui est impossible car N 682 > 6 donc q = 17. On vérifie que N = 40 17 + 1 = 69 682. Ainsi, n = N 682 = 69 682 = 13. Donc, il y a 13 enfants nouvellement arrivés. EXERCICE 2 Les savoirs engagés : - Tous les angles d un triangle équilatéral sont égaux et ont une mesure de 60 degrés. - Savoir construire à la règle non graduée et au compas la médiatrice d un segment et la bissectrice d un angle. - La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par le milieu de [AB] ; un point M appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB. - Un quadrilatère AMBN est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu (c est alors l unique centre de symétrie du quadrilatère). - Un quadrilatère AMBN est un losange si et seulement si AMBN est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. 1. Analyse de la figure : Supposons que nous ayons réalisé la figure demandée (par exemple sur le cahier de brouillon). Les droites D et D sont sécantes en O. Nous constatons que D et D définissent un angle saillant dont la mesure en degrés est de 60 (= 180 120). Soit R un point de D, distinct de O, tel que [OR) soit un côté du secteur angulaire dont la mesure en degrés vaut 60. Traçons le cercle C(O ; OR) ; ce cercle coupe la droite D en S et T. Désignons par S le point de D tel que ROS ait une mesure de 60 degrés. Puisque les angles de la base du triangle isocèle ROS sont égaux et puisque la somme des mesures des angles d un triangle vaut 180 degrés, le triangle ROS est équilatéral. Soit R le symétrique de R par rapport à O : la mesure de l angle R'OS vaut alors 120 degrés. Nous allons utiliser le fait que ROS est équilatéral pour construire la droite D. Programme de construction : Considérer un point O quelconque de la droite D. Placer un point R de D qui est distinct de O. Tracer le cercle C(O ; OR) de centre O et de rayon OR. Tracer le cercle C (R ; OR) de centre R et de rayon OR. Les cercles C(O ; OR) et C (R ; OR) se coupent en S et S (puisque OR = RS = SO, le triangle ROS est équilatéral). Tracer la droite (OS). Les droites D et (OS) définissent un angle saillant dont la mesure en degrés vaut 60 et un angle saillant, supplémentaire, dont la mesure en degrés vaut 120 (= 180 60) degrés. Ainsi, la droite (OS) définit la droite D. 6

2. a) Le triangle AMB est isocèle en M si et seulement si MA = MB donc si et seulement si M est un point de la médiatrice de [AB]. Puisque les droites D et D sont distinctes (c est-à-dire puisque D et D ne définissent pas un angle plat), la médiatrice de [AB] n est pas parallèle à D ; il existe donc un unique point d intersection entre D et la médiatrice de [AB] que nous notons M. Par construction, AMB est un triangle isocèle en M et le point M appartient à D. b) On itère le raisonnement de la question 2 a) en faisant jouer à M le rôle de N et à la droite D le rôle de la droite D (voir figure à la fin de la correction de cet exercice). c) D une part, la médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par le milieu I de [AB]. D autre part, la bissectrice [OA) de l angle défini par D et D qui mesure 120 degrés et qui contient le point A, est axe de symétrie de cet angle. Le point I appartient à [OA). Puisque le point M est le point d intersection de D et de la perpendiculaire à (OA) passant par I, le symétrique de M par rapport à [OA) est le point d intersection de D et de la perpendiculaire à (OA) passant par I donc le symétrique de M par rapport à [OA) est le point N. On en déduit que I est le milieu du segment [MN]. Comme le point I est le milieu de [AB], le quadrilatère AMBN a ses diagonales qui se coupent en leur milieu I donc AMBN est un parallélogramme. 3. Puisque (MN) est la médiatrice de [AB] (cf. question 2), le parallélogramme AMBN a ses diagonales (MN) et (AB) perpendiculaire en I donc AMBN est un losange. 7

EXERCICE 3 Les savoirs engagés : - Savoir utiliser la formule (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd à partir de laquelle on peut démontrer les identités remarquables (notamment (a b)² = a² 2ab + b²). - Utiliser un tableau de signes afin de déterminer le signe d un produit de facteurs. 1. On a : E = 2((3x) 2 2 3x 1+ 1 2 ) (2x 1 2x 3x + 1 3x) + 6x 2 = 2(9x 2 6x + 1) ( 6x 2 13x + ) + 6x 2 = 18x 2 12x + 2 + 6x 2 + 13x + 6x 2 = 24x 2 + 7x 2. Pour les trois calculs à effectuer, on peut soit utiliser l expression de E donnée par l énoncé, soit utiliser celle exhibée à la question 1 (la dernière expression est ici plus commode). a) Si x = 0 alors E =. 2 b) Si x = alors E = 24 ( 2 )2 + 7 ( 2 ) = 24 4 2 14 = 99 2. c) Si x = 3 alors E = 24 ( 3) 2 + 7 3 = 24 3 + 7 3 = 67 + 7 3. 3. On a : E = 2(3x (3x 1) (2x + ) (1 3 x) + 2 (3x E = 2(3x (3x + (2x + ) (3x + 2 (3x E = (2(3x + (2x + ) + 2) (3x E = (6x 2 + 2x + + 2)(3x E = (8x + )(3x 4. D après la question 3, il suffit de résoudre l inéquation E = (8x + )(3x 1) 0. On a : 8x + < 0 x < et 8 8x + = 0 x = 8 8x + > 0 x > 8 1 3x 1 < 0 x < 3 1 3x 1 = 0 x = 3 1 3x 1 > 0 x >, d où le tableau de signes ci-dessous : 3 x 1 8 3 Signe de 8x + 0 + + Signe de 3x 1 0 + Signe de (8x + )(3x + 0 0 + + Finalement, l ensemble des solutions de l inéquation E = (8x + )(3x 1) 0 est la réunion de deux intervalles (fermés) de R : ], 8 ] [ 1 3,+ [. EXERCICE 4 Les savoirs engagés : - Écrire un nombre décimal en base dix. Ici, nous avons : 4 3 2 1 0 N = 2xyx = 2 10 + 10 + x 10 + y 10 + x 10. - Connaître les critères de divisibilité. - 3 divise N si et seulement si 3 divise la somme des chiffres de N donc si et seulement si 3 divise 7 + 2x + y. - N est un multiple de si et seulement si divise N donc si et seulement si x = 0 ou x =. 8

1 er cas : Si x = 0 alors 3 doit diviser 7 + y donc y vaut soit 2, soit, soit 8. 2 e cas : Si x = alors 3 doit diviser 17 + y donc y vaut soit 1, soit 4, soit 7. Finalement, il y a six nombres N possibles : N 1 = 2 020, N 2 = 2 00, N 3 = 2 080, N 4 = 2 1, N = 2 4 ou N 6 = 2 7. EXERCICE Les savoirs engagés : - Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si ABC est inscriptible dans un cercle dont un diamètre est [BC]. - Une translation est une transformation géométrique qui conserve les longueurs, les mesures des angles, et qui transforme un cercle en un cercle de même rayon, une droite en une droite parallèle, 1. Analyse de la figure : Le rayon [OM] du cercle C(O ; R) est perpendiculaire à la tangente, notée D, au cercle C(O ; R) en M. De même, le rayon [O M] du cercle C (O ; R) est perpendiculaire à la tangente, notée D, à C (O ; R) en M. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles donc, puisque par hypothèse D et D sont perpendiculaires, (OM) est parallèle à D. Si deux droites sont parallèles entre elles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre donc, (OM) est perpendiculaire à (O M). Par conséquent le triangle OMO est rectangle en M. Il s ensuit que le triangle OMO est inscrit dans un cercle dont un des diamètres est [OO ] (notons que, puisque OMO est rectangle en M et OM = MO = R, on a, d après le théorème de Pythagore, OO = R 2 ). Nous allons exploiter ce dernier fait pour réaliser la construction. Programme de construction : (On ne pourra utiliser que le compas et la règle non graduée) Soit O un point du plan. Tracer le cercle C(O ; R) de centre O et de rayon R. Placer un point M sur le cercle C(O ; R). Dessiner le symétrique P du point O par rapport à M puis en utilisant le compas, tracer la médiatrice du segment [OP] (il s agit de la droite perpendiculaire à (OM) qui passe par M). Tracer le cercle C (M ; R) de centre M et de rayon R ; le cercle C (M ; R) coupe la médiatrice de [OP] en O et O. Tracer le cercle C (O ; R) de centre O et de rayon R. Notons que la tangente à C(O ; R) en M est la droite (O M) et que la tangente à C (O ; R) en M est la droite (OM). 9

2. Puisqu une translation conserve la mesure des angles (donc l orthogonalité) et puisque l image par une translation du cercle de centre O et de rayon R est un cercle dont le centre est l image de O et de rayon R, il suffit d appliquer une infinité de translations dans la direction de (OO ), vers la gauche ou vers la droite, selon un multiple de la longueur OO (par exemple, la translation t OO transforme le cercle C(O ; R) en le cercle C (O ; R) et transforme la tangente à C(O ; R) en M en la tangente à C (O ; R) en t OO (M) ; l image de C (O ; R) par t OO est un cercle C (t OO (O ) ; R) dont la tangente en t OO (M) est perpendiculaire à la tangente à C (O ; R) en t OO (M)). 10

PROPOSITION DE BARÈME EXERCICE 1 1. 0. point 2. a) 0. point b) 0. point 3. 1. points EXERCICE 2 1. 3 points 2. a) 0. point b) 1. points c) 0. point 3. 0. point EXERCICE 3 1. 1. points 2. 1. points 3. 1. points 4. 0. point EXERCICE 4 2 points EXERCICE 1. 3 points 2. 1 point 11