éométrie dans l espace XTIT U.. PÉIL 6 U 28 ÛT 2008 onnaissances apacités ommentaires. éométrie.2 onfigura on dans l espace Problèmes de sections planes de solides phère, centre, rayon ections planes d une sphère [Thèmes de convergence] onnaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. onnaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. onnaître et utiliser les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. onnaître la nature de la section d une sphère par un plan. alculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. eprésenter la shère et certains de ces grands cercles. L utilisation de logiciels de géométrie dans l espace permet de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes. est aussi l occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d objets à dimensions, ainsi qu à celle de la représentation en vraie grandeur d une partie de ces objets dans un plan (par exemple : section plane, polygone déterminé par des points de l objet...). Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence. Le fait que le centre du cercle d intersection est l intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis. Le cas perticulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié. ucune difficulté n est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l aide des méridiens et des parallèles. ote : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. ertains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. uverture Le loben n est pas tangent au sol. Il est enterré sur une profondeur de 25 m, la hauteur de l arène à l intérieur n est donc que de 85 m. n peut obtenir une sphère en faisant tourner un demi-cercle autour d un de ses diamètres. n peut obtenir une boule en faisant tourner un demi-disque autour d un de ses diamètres. Je prends un bon départ Q 1 2 4 5 6 7 1. a., b. et c. L 2. [], [L] et () // (L), donc d après le théorème de Thalès : L L = =. oit : 5 = 9 6 = 7. = 0 cm, soit :, cm. 9 = 42 cm, soit : 4,7 cm. 9 8 a. est rectangle en. b. est rectangle en. c. est rectangle en. d. est rectangle en. e. est rectangle en. 9 1. Le triangle est rectangle en. 6 cm 6 cm 4 cm hapitre 14 éométrie dans l espace 17 Éditions elin, 2012.
2. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle, on a : 2 = 2 2. 2 = 6 2 4 2 = 20, d où : = 20 cm. est le milieu de [], d où : = 2 = 2 20 cm, soit : 8,9 cm. 10 1. = cm et = 7 cm. 2. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2. 2 = 7 2 2 = 40, d où : = 40 cm, soit : 6, cm. 174 ctivités 1 bjectif onnaître la nature de la section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou parallèle à une arête.. 1. a. Le plan passant par les points, et L est parallèle aux faces et. b. UT À PTPI (X 1) L 2. a., b. et c. UT À PTPI (X 2) P Q L I La section de par le plan passant par P et parallèle à la face est le quadrilatère PJKI. La section de par le plan passant par et parallèle à la face est le quadrilatère TQ.. La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face semble être un rectangle de même dimension que cette face.. 1. a. Le plan (L) est parallèle aux arêtes [], [], [] et []. b. UT À PTPI (X ) J T K L 2. a. Le plan (TU) est parallèle aux arêtes [], [], [] et []. Le plan (IJK) est parallèle aux arêtes [], [], [] et []. b. ig. 1 UT À PTPI (X 4) V ig. 2 UT À PTPI (X 5) I J K. La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête semble être un rectangle dont une dimension est égale à la longueur de cette arête. 2 bjectifs onnaître la nature de la section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l axe ou parallèle à l axe. avoir déterminer les dimensions de ces sections. 1. a. La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l axe semble être un disque de même rayon que les bases. b. La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à l axe semble être un rectangle dont une dimension est égale à la hauteur du cylindre. 2. a. cm T 2 cm b. Le triangle est isocèle en, car = = cm. Le triangle est rectangle en car est la distance de au plan. c. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 2 2 2 = 5, d où : = 5 cm. Le triangle est isocèle en, donc est aussi le milieu de [], d où : = 2 = 2 5 cm, soit : 4,5 cm. d. 4,5 cm U L 4 cm Éditions elin, 2012.
. a. Lorsque d = 0, la section est un rectangle dont les dimensions sont la hauteur et le diamètre du cylindre. b. Lorsque d = r, la section se réduit à un segment de longueur égale à la hauteur du cylindre. c. Lorsque d > r, le plan ne coupe pas le cylindre. 2. 4 cm 6 cm bjectifs onnaître la nature de la section d une pyramide par un plan parallèle à la base. avoir que cette section est une réduction de la base et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses dimensions. 1. Le plan () étant parallèle à la base, les droites () et () sont parallèles, ainsi que les droites () et (), les droites (T) et () et les droites (T) et (). 2. a. n appliquant le théorème de Thalès au triangle, on obtient : = =. n appliquant le théorème de Thalès au triangle, on obtient : = =. n appliquant le théorème de Thalès au triangle T T, on obtient : = =. n appliquant le théorème de Thalès au triangle T T, on obtient : = =. T T b. n obtient ainsi : = = =. Toutes les longueurs de la section T sont proportionnelles à celle de la base, donc la section T est une réduction de la base. c. on obtient de même : T T T = = = = = = =. Toutes les longueurs des pyramides T et sont proportionnelles, donc la pyramide T est une réduction de la pyramide.. k = = 8. 4 bjectifs onnaître la nature de la section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base. avoir que cette section est une réduction de la base et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses dimensions. 1. 2,5 cm. [], [] et ( ) // (), donc d après le théorème de Thalès appliqué au triangle, on a : = =. Les longueurs des côtés des triangles et sont proportionnelles, donc le triangle est une réduction du triangle de rapport : 4 2 k = = = 6. 4. La section du cône par le plan est le disque de 2 centre et de rayon r = 2,5, soit : r = 5 cm. Le petit cône obtenu lors de la section du cône par le plan est une réduction du cône de rapport 2. 5 bjectif écouvrir le vocabulaire associé à la sphère et à la boule. 1. a. Lorsque l on fait tourner le rectangle autour de la droite (), on obtient un cylindre de révolution de rayon et de hauteur. b. Lorsque l on fait tourner le triangle KL rectangle en K autour de la droite (KL), on obtient un cône de révolution de rayon K et de hauteur KL. c. Lorsque l on fait tourner le demi-cercle de centre autour d un de ses diamètres, on obtient une sphère de centre. d. Lorsque l on fait tourner le demi-disque de centre autour d un de ses diamètres, on obtient une boule de centre. 2. a. Le cercle de centre et de rayon cm est constitué de tous les points du plan situés à cm de. Le disque de centre et de rayon cm est constitué de tous les points du plan situés à une distance de inférieure ou égale à cm. b. Pour obtenir les définitions d une sphère et d une boule de centre et de rayon cm, il suffit de remplacer «tous les points du plan» par «tous les points de l espace» dans les définitions précédentes.. Les points,, appartiennent à un grand cercle de la sphère, donc ils sont situés à une distance de égale à. Par conséquent, ils appartiennent-ils à la sphère. b. n ne peut pas savoir si les points, et appartiennent à la sphère. Il faudrait savoir s ils appartiennent à un grand cercle ou à quelle distance de ils sont situés. hapitre 14 éométrie dans l espace 175 Éditions elin, 2012.
c. Le point appartient à la sphère, donc =. est le symétrique de par rapport à, donc : = =. Par conséquent, le point appartient aussi à la sphère. Les points et sont aussi deux points diamétralement opposés. 6 bjectifs onnaître la nature de la section d une sphère par un plan. avoir calculer le rayon de cette section.. La section d une boule par un plan semble être un disque.. 1. Le triangle est rectangle en. 2. a. = 4 cm et = cm. b. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle, on a : 2 = 2 2, d où : 2 = 4 2 2 = 7, soit : = 7 cm, soit environ 2,6 cm.. n obtient de la même façon : = 7 cm. 4. a. Quel que soit le point de la section de la sphère par le plan, il sera situé à 7 cm de. Par conséquent, tous les points de la section de la sphère par le plan appartiennent au cercle de centre et de rayon 7 cm. b. oit un point du cercle de centre et de rayon 7 cm. n a donc : = 7 cm. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle, on a : 2 = 2 + 2, d où : 2 = ( 7) 2 + 2 = 7 + 9 = 16, soit : = 4 cm. Par conséquent, est un point de la sphère de centre et de rayon 4 cm.. 1. Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle de la sphère. 2. Lorsque le plan est situé à une distance du centre égale au rayon de la sphère, la section de la sphère est réduite à un point.. Lorsque le plan est situé à une distance du centre supérieure au rayon de la sphère, il ne coupe pas la sphère. avoir-faire 11 La section du parallélépipède rectangle par le plan () est le rectangle tel que : = cm et = 22 + 42 = 20, soit environ 4,5 cm. 12 Le plan est parallèle à l axe, donc la section est un rectangle tel que : = hauteur du cylindre, soit = 10 cm. Le triangle est rectangle en, donc, d après le théorème de Pythagore, 4,5 cm on a : 2 = 2 2 = 4,5 2 2 cm = 11,25 ; d où : = 11,25 cm. Le triangle est isocèle en, donc le point, pied de la hauteur issue du sommet principal, est aussi le milieu de [], par conséquent : = 2 = 2 11,25, soit : 6,7 cm. La section est donc un rectangle de dimensions 10 cm et 6,7 cm environ. 1 oient un point de la section et le point d intersection du plan et de la droite passant par le centre de la sphère perpendiculairement au plan. La section de la sphère par le plan est le cercle de centre et de rayon. Le triangle est rectangle en, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : 2 = 2 2 = 7,8 2 5 2 = 5,84. où : = 5,84 cm, soit : 6 cm. La section de la sphère par ce plan est le cercle de centre et de rayon 6 cm environ. 14 a. [], [] et [] : b. [], [] et [] : c. [], [] et [] : 176 Éditions elin, 2012.
xercices À l oral b. 15 a. Le plan (IJK) est parallèle à la face. La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm et cm. b. Le plan (IJK) est parallèle à la face. La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm et 6 cm. c. Le plan (IJK) est parallèle à la face. La section IJKL est un rectangle de dimensions cm et 6 cm. d. Le plan (IJK) est parallèle à l arête []. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est cm. e. Le plan (IJK) est parallèle à l arête []. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est 6 cm. f. Le plan (IJK) est parallèle à l arête []. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est 4 cm. 16 a. La section est un disque de rayon 5 cm. b. La section est un rectangle tel que : = = 8 cm et = 2 = 2 52 2 = 8 cm. 17 La section de la pyramide par le plan () est une réduction de de rapport k = = 8. est un rectangle tel que : = = 8 15 cm et = = 8 8 2 cm. 18 La section du cône de révolution par le plan 1 est une réduction de la base de rapport k = = = 9. La section est un disque de centre et de rayon r = 1 = 2 cm. 19 = = = = 4 cm et = 8 cm. n ne peut pas connaître les longueurs,,. 20 1. = 5 cm et = 4 cm. 2. Le triangle est rectangle en.. a. La section de la sphère par le plan est un cercle de centre et de rayon. b. = 2 2 = 52 42 = cm. Je m entraîne 21 UT À PTPI (X 6) a. c. d. e. f. hapitre 14 éométrie dans l espace 177 22 UT À PTPI (X 7) a. b. c. Q 2 1. Les arêtes parallèles au plan sont [], [], [] et []. 2. Le quadrilatère IJ est un rectangle. P Éditions elin, 2012.
. Le triangle J est rectangle en tel que : = 5 cm et J = 2,5 cm. Pour tracer le rectangle IJ, on reporte au compas la longueur J. après le théorème de Pythagore dans le triangle J rectangle en, on a : J 2 = 2 + J 2, soit : J 2 = 5 2 + 2,5 2. J 2 = 1,25, d où : J = 1,25 cm, soit J 5,6 cm. 4. Le solide JI est un prisme droit dont les bases sont les trapèzes J et I et le solide IJ est un prisme droit dont les bases sont les triangles J et I. 24 1. est un rectangle. 2. après le théorème de Pythagore dans le triangle K rectangle en K, on a : 2 = K 2 + K 2, soit : 2 = 20 2 + 15 2. 2 = 625, d où : = 25 cm.. est un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur, c est donc un carré. 25 1. = 6 cm, = 4 cm, = 4 cm, = 2 cm, = 6 cm, = 6 cm, = 4 cm et = 4 cm. 2. Le triangle est isocèle en.. La hauteur issue du sommet principal d un triangle isocèle est aussi la médiane issue de ce sommet, donc le point est le milieu du segment []. 4. 178 4,5 cm 2 cm 5. a. La section est un rectangle. b. Pour construire en vraie grandeur le rectangle on reporte la longueur au compas à partir de la figure tracée à la question 4. 6. après le théorème de Pythagore dans le triangle, rectangle en, on a : 2 = 2 2 = 4 2 2 2 = 12. où : = 12 cm et donc : = 2 12 cm, soit environ 6,9 cm. 26 1. 2. La section est un rectangle.. = = 8 cm. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 =,4 2 1,8 2. 2 = 8,2, d où : = 8,2 cm. = = 2 8,2, soit environ 5,8 cm. 27 UT À PTPI (X 8) as n 1 as n 2 as n as n 4 r 5 cm 6,5 cm 14 cm 2,8 cm cm,9 cm 8,4 cm 0 cm 8 cm 10,4 cm 22,4 cm 5,6 cm 28 1. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 5 2 2. 2 = 16, d où : = 4 cm. 2. a. La section est un rectangle. 1 b. Le facteur de la réduction est : k = = 2. 29 1. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, soit : 2 = 8 2 + 6 2. 2 = 100, d où : = 10 cm. = 2 = 5 cm. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, soit : 2 = 5 2 + 12 2. 2 = 169, d où : = 1 cm.,25 1 2. k = = = 1 4. 1 = k = 4 8 = 2 cm. 1 = k = 6 = 1,5 cm. 4 0 La section est un disque de centre et de r 1 rayon r tel que : = = =. r 12 4 1 1 où : r = r = 7 = 1,75 cm. 4 4 1 Le cône de sédiments peut être assimilé à une réduction du cratère de rapport k tel que : 50 5 k = = 0. où : d = 5 450 68,2 m. 2 1. Vrai, car = 2 cm. 2. Vrai, car 2 cm.. Vrai, car 2 cm. 4. aux, car 8 cm. 5. Vrai, car = 8 cm. 6. Vrai, car 4 cm. 7. aux, car. Éditions elin, 2012.
1. UT À PTPI (X 9) appartient-il à la sphère? appartient-il à la boule? est situé à une distance d de telle que : oui oui d = cm non non d = 4 cm non oui d cm non non d cm non oui d cm oui oui d = cm non oui d = 0 cm 2. Le point est confondu avec le point. 4 Longueur d un grand cercle : 2π 6 70 km = 12 740π km. 12 740 π 1 Longueur d un mille marin : 60 60 km, soit environ 1,85 km. 5 a. h 10 cm. b. h = 10 cm. c. 6 cm h 10 cm. d. h = 6 cm. e. h 6 cm. b. Le triangle est rectangle en tel que : = 4 cm et = 5 cm. 4 cm 5 cm La section de la sphère par le plan est le cercle de centre et de rayon que l on reporte au compas à partir du triangle construit précédemment. 9 1. Le triangle est rectangle en. 2. 4, cm 6,2 cm 6 1. 2. Le triangle est rectangle en.. Le rayon du cercle est égal à. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 10 2 6 2. 2 = 64, d où : = 8 cm. 7 1. La surface de l eau a la forme d un disque de centre et de rayon r. 2. oit un point du cercle délimitant la surface de l eau. Le rayon r de la surface de l eau est égal à. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 10 2 4 2. 2 = 84, d où : 9,2 cm. 8 1. Le point appartient à la boule de centre et de rayon 5 cm, car 5 cm. 2. a.. Le rayon de la sphère est égal à. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 6,2 2 4, 2. 2 = 19,95, d où : 4,5 cm. 40 après le théorème de Pythagore dans le triangle 1 rectangle en 1, on a : 1 2 = 2 1 2, soit : 1 2 = 5 2 2,5 2. 1 2 = 18,75, d où : 1 4, cm. Je m entraîne au brevet 41 1. La section IJ du cube est un rectangle. (réponse b) 2. Le triangle I est rectangle en tel que : = 6 cm et I = cm. n trace le rectangle IJ tel que = 6 cm et en reportant la longueur I au compas à partir de la figure précédente. I 6. a. I = = 2 2 = 9 cm2. b. IJ = I = 9 6 = 54 cm. 42 1. a. Le triangle est rectangle en. b. Le triangle est rectangle en avec : = = cm. hapitre 14 éométrie dans l espace 179 Éditions elin, 2012.
c. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, soit : 2 = 2 + 2. 2 = 18, d où : = 18 = 2 cm. 2. a. La section P est un rectangle. b. Le rectangle P est tel que : P = 6 cm et on reporte la longueur au compas à partir du triangle tracé précédemment. c. P = 6 cm et = 2 cm. 4 1. J approfondis 58 1. Le quadrilatère est un rectangle. 2. La face est un rectangle tel que : = 6 cm et = cm. n place le point de [] tel que : = 2,6 cm. n mesurant la longueur, on trouve environ 4,5 cm.. a. alcul de : [], donc : = = 6 2,6 =,4 cm. alcul de : après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 =,4 2 + 2 = 20,56. = 20,56 cm, soit : 4,5 cm. cm 59 1. 2 cm 180 5,2 cm 2. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, soit : 2 = 5,2 2 2 2. 2 = 2,04, d où : = 4,8 cm.. La pyramide est une réduction de la 1,5 pyramide de rapport k = = = 0,5. où : = 0,5 = 2,4 cm. = 0,5 = 2,6 cm. = 0,5 = 1 cm. 44 La section d un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle (éponse ). 45 1. après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, soit : 2 = 8 2 + 6 2. 2 = 100, d où : = 10 cm. 2. [], [] et = = 10. onc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites ( ) et () sont parallèles.. est une réduction de de rapport k = 10. 46 Le rayon du cercle est égal à r 2 2 (éponse ) 47 1. Les droites () et () sont parallèles, car elles sont perpendiculaires à la même droite (I). 2. Le cône du sirop de menthe est une réduction du grand cône contenant l eau et le sirop dans le rapport k = = 7,5 = 0,4. où : I = 0,4 I = 0,4 8 =,2 cm. 2. 4 cm 2,5 cm. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2 = 2,5 2 2 2 = 2,25. = 1,5 cm. 60 2. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 1 2 + 2 = 10. = 10 cm, soit environ,2 cm. 61 oit le rayon du tronc d arbre. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, d où : 2 = ( 25) 2 + 48 2. 2 = 2 50 + 625 + 2 04 où : = 2 929, soit : 58,6 cm. 50 62 oit h la hauteur de la pyramide initiale. La petite pyramide est une réduction de la grande pyramide dans le rapport k = 21 5 = 0,6. h 40 où : = 0,6. h h 40 = 0,6 h, d où : h = 100 cm. Éditions elin, 2012.
6 La section semble être un quadrilatère. 64 oit h la distance du sommet au plan de coupe. Le petit cône est une réduction du grand cône dans le rapport k = 4 7. où : h 12 = 4. 7 où : h = 48, soit : h 6,9 cm. 7 65 istance du plan de la base au centre de la soupière : d après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2 = 15 2 6 2. 2 = 189, d où : 1,75 cm. istance du plan de l ouverture au centre de la soupière : d après le théorème de Pythagore appliqué au triangle K rectangle en K, on a : K 2 = 2 K 2 = 15 2 10 2. K 2 = 125, d où : K 11,18 cm. auteur de la soupière : K = + K 1,75 + 11,18, soit : K 24,9 cm. La hauteur de la soupière est environ égale à 24,9 cm. 66 1. Le centre de la sphère est le milieu de [] et son diamètre est. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 5 2 + 8 2. 2 = 89, d où : 9,4 cm. 2. Le triangle est rectangle en, donc le point appartient au cercle de diamètre [] ; il appartient donc à la sphère.. est le symétrique de par rapport à, donc : =. Par conséquent, le point appartient à la sphère de centre qui passe par. 4. est un point de la sphère de diamètre [], donc : = 2. La médiane issue de est égale à la moitié du côté opposé au sommet, donc le triangle est rectangle en. 5. est le point de la sphère diamétralement opposé à, donc : = et [] et [] ont le même milieu. Les diagonales du quadrilatère ont la même longueur et le même milieu, donc est un rectangle. 67 1. a. Le diamètre de la sphère est égal à 10 cm. b. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 2L 2. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 2L 2 + L 2 = L 2. Les diagonales du cube mesurent 10 cm. où : L 2 = 10 2 100. L = cm = 10 10 cm = cm. 10 c. = =. L 10 2. a. Le diamètre de la sphère est égal à a cm. b. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 2L 2. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2 = 2L 2 + L 2 = L 2. Les diagonales du cube mesurent a cm. où : L 2 = a 2 a2 a a. L = cm = cm = cm. a c. = =. L a n constate que le quotient est toujours égal à. L 68 1. Le triangle est isocèle en. 2. a. = 1 2,4 = 10,8 cm. b. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2 = 6 2 5,4 2. 2 = 6,84, d où : 2,6 cm. 69 60 cm 20 cm 18 cm oit le centre de la petite boule, le centre de la grosse boule, le centre de la section et un point de cette section. oit le rayon de la petite boule. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 2, d où : 2 = 18 2 10 2. 2 = 224, d où : 14,97 cm. = 60 18 27,0. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, d où : 2 = (27,0 ) 2 + 10 2. 2 = 70,6209 54,06 + 2 + 100. où : = 80,6209, soit : 15,4 cm. 54,06 hapitre 14 éométrie dans l espace 181 Éditions elin, 2012.
70 oit le rayon de la poterie. après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en, on a : 2 = 2 + 2, d où : 2 = ( 7) 2 + 20 2. 2 = 2 14 + 49 + 400. où : = 449, soit : 2 cm. 14 71 1. x est une distance, donc x est un nombre positif et pour qu un plan coupe une sphère, il doit être situé à une distance du centre inférieure au rayon, donc x est compris entre 0 et. 2. r = 9 x2. n entre en 1 le titre x, en 2 la valeur 0 et en la valeur suivante 0,1. n sélectionne les deux cellules 2 et, puis on étend la sélection jusqu en 2. n entre en 1 le titre r, en 2 la formule : =I(9-2^2) que l on étend jusqu en 2. 4. a. Le rayon r de la section est maximal losque x est égal à 0. Le plan passe alors par le centre de la sphère. b. Le rayon r de la section est égal à 1,5 cm pour x = 2,6 cm environ. c. Le plan passe au milieu d un rayon pour x = 1,5 cm, ce qui correspond à r = 2,6 cm environ. rgumenter et débattre 72 Plus le sol est humide, plus la boule s enfonce. onc la marque au sol est plus grande et la longueur entre le bord de la marque et le point de départ est donc plus petite. 7 1. Le point est le centre de la sphère 1, donc n appartient pas à 1 mais appartient à la boule 1. Le point appartient à 1 et à la boule 1 car = cm. Les points et n appartiennent pas à 1 ni à la boule 1 car et sont supérieures à cm. ( = = 2 cm, soit environ 4,24 cm) 2. Le point n appartient pas à 2 ni à la boule 2 car 4 cm. Le point n appartient pas à 2 ni à la boule 2 car 4 cm. ( = 27 cm, soit environ 5,2 cm). Le point est le centre de la sphère 2, donc n appartient pas à 2 mais appartient à la boule 2. Le point n appartient pas à 2 ni à la boule 2 car 4 cm. ( = 2 cm, soit environ 4,24 cm) 182 telier découverte 74 1. L équateur est un cercle de rayon 6 70 km environ, d où : L équateur = 2π = 2 π 6 70 40 024 km. Un méridien est un demi-cercle de rayon 6 70 km environ, d où : L méridien 20 012 km. 2. a. oordonnées géographiques du point : 0 ord (ou ud) ; 0 st (ou uest). oordonnées géographiques du pôle ord : 90 ord ; 0 st (ou uest). oordonnées géographiques du pôle ud : 90 ud ; 0 st (ou uest). b. oordonnées géographiques du point diamétralement opposé à : 0 ord (ou ud) ; 180 st (ou uest). 75 1. aux. (tous les points de l Équateur ont une latitude égale à 0 ). 2. Vrai.. Vrai. 4. Vrai. 5. Vrai. 6. aux. n effet, la longitude d un point diamétralement opposé à un point de longitude 75 est égale à 105. 7. aux. n effet, le point de coordonnées (0 ; 0 ) est le point d intersection de l Équateur et du méridien de reenwich. 8. aux. 9. Vrai. 10. Vrai. Éditions elin, 2012.
76 1. a. Les coordonnées géographiques de aint-petersbourg sont approximativement 60 et 0. b. oit le point d intersection de l Équateur et du méridien passant par aint-pétersbourg. 60 t -Pétersbourg Plan du méridien passant par t -Pétersbourg La latitude du point aux antipodes de aint- Pétersbourg est égale à 60 ud. oit le point d intersection de l Équateur et du méridien de reenwich. 150 0 Plan de l équateur La longitude du point aux antipodes de aint- Pétersbourg est égale à 150 uest. c. Le point aux antipodes de aint-pétersbourg se situe en ustralie. 2. a. Les coordonnées géographiques de antiago au hili sont approximativement et 70. b. Les coordonnées géographiques du point aux antipodes de antiago sont : ord ; 110 st. 77 1. a. La longitude de 1 est 2. 60 b. 1 = 2π 6 70 5 000, d où : 1 45. oit le point d intersection de l Équateur et du méridien passant par thènes. 1 = 1 45 8 = 7. La latitude de 1 est environ égale à 7. 2. a. La latitude de 2 est 7. b. alcul du rayon du parallèle passant par 1 oit le centre de ce parallèle. n désigne par le point d intersection de l Équateur et du méridien passant par 1. Les droites () et () sont perpendiculaires, donc les angles 1 et 1 sont complémentaires. La latitude du parallèle passant par 1 est 7, donc : 1 = 7. n a donc : 1 = 90 7 = 8. Le triangle 1 est rectangle en, d où : 1 = 1 sin 8 = 6 70 sin 8, soit : 1 6 2 km. Le rayon du parallèle passant par 1 est environ égal à 6 2 km. alcul de la longitude de 2 60 1 2 = 2π 6 2 5 000, d où : 1 2 45,. n appelle le point d intersection du méridien de reenwich et du parallèle passant par 1. 2 = 1 2 1 = 45, 2 22,. La longitude de 2 est environ égale à 22.. Longitude de = 22 et latitude de et 4 = 8. alcul du rayon du parallèle passant par, et 4 oit le centre de ce parallèle. est le point d intersection de l Équateur et du méridien passant par. Les droites ( ) et () sont perpendiculaires, donc les angles et sont complémentaires. La latitude du parallèle passant par est 8, donc : = 8. n a donc : = 90 8 = 52. Le triangle est rectangle en, d où : = sin 52 = 6 70 sin 52, soit 5 020 km. Le rayon du parallèle passant par, et 4 est environ égal à 5 020 km. alcul de la longitude de 60 4 = 2π 5 020 5 000, d où : 4 57,1. n appelle le point d intersection du méridien de reenwich et du parallèle passant par, et 4. 4 = 4 = 57,1 22 5,1. La longitude de 4 est environ égale à 5. L avion est parti d thènes (2 ; 8 ) et est arrivé en 4 (5 ; 8 ). L avion n est donc pas revenu à son point de départ. hapitre 14 éométrie dans l espace 18 Éditions elin, 2012.