Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base.

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. 1 Axiome du choix Definition 1.1. Etant donnée une famille (A i ) i I de parties d un ensemble E (c est à dire une application de I dans P(E)), on définit l ensemble produit Π i I A i comme l ensemble des applications de f : I E telles que pour tout i I on a f(i) A i Cas particuliers : Π i I A i = {f F(I,E), i I,f(i) A i }. a) Si pour tout i I, le sous-ensemble A i est E tout entier, l ensemble produit est l ensemble de toutes les applications de I dans E : Π i I E = F(I,E), d où la notation E I pour désigner l ensemble des applications de I dans E. On sait que E I est non vide, il suffit de prendre une application constante f(i) = x 0, i I. b) Si I est un ensemble fini, I = {1,2,...,n} on retrouve la notion usuelle, à savoir que Π n i=1 A i est l ensemble des n-uplets (x 1,...,x n ) avec x i A i pour i = 1,...,n (l application associée au n-uplet est celle qui associe à chaque position i la valeur x i ). Axiome du choix. Etant donné une famille (A i ) i I de parties non vides d un ensemble E, ( i I, A i P(E) \ { }), l ensemble Π i Ai est non vide. Cet axiome indique qu il existe une application f E I telle que i I, f(i) A i. Autrement dit étant donné une famille quelconque de sous-ensembles de E, on sait choisir simultanément un élément dans chaque sous-ensemble. Cet axiome semble tout à fait naturel à première vue. En effet il ne pose pas de problème quand l ensemble d indices I est fini. Dans ces cas là en pratique on sait construire la suite des éléments f(i) A i, i I. En fait c est dans le cas infini qu il pose problème. Plus précisément cet axiome pose l existence d une fonction choix sans préciser de façon de la construire. Et comme nous le verrons plus loin, les résultats qui reposent sur l axiome du choix donnent l existence d objets mathématiques sans donner de moyen pratique de les construire. De ce fait ces objets contrarient souvent l intuition, notamment dans le cas où I n est pas dénombrable 1. 1 On notera que l on peut travailler avec des théories qui n admettent l axiome du choix que dans le cas dénombrable. 1

2 Axiome du choix et ordre On rappelle ici les notions associées aux relations d ordre avant de donner les deux conséquences de l axiome du choix que sont le théorème de Zermelo et le théorème de Zorn. 2.1 Relations d ordre On rappelle qu une relation sur un ensemblee est la donnée d un sous-ensemble Γ de E E appelé graphe de la relation. Par définition la relation R est donnée par (xry) ((x,y) Γ). Definition 2.1. On appelle relation d ordre sur un ensemble E, toute relation R qui est a) réflexive : x E, xrx, b) anti-symétrique : c) transitive : x,y E,((xRy et yrx)) (y = x)), x,y,z E,((xRy) et (yrz)) (xrz). On remarque que si X est un sous-ensemble de E, la restriction de R à X dont le graphe est donné par Γ X X est une relation d ordre sur X. Definition 2.2. On dit que la relation d ordre R sur E est totale si deux éléments quelconques sont toujours comparables : x,y E,xRy ou yrx. Dans le cas contraire on dit que la relation d ordre est partielle. Exemples : a) Dans R la relation donnée par est une relation d ordre total. (x y) (y x R + ) b) Si E est un ensemble P(E) est un ensemble (axiome de sélection) et la relation d inclusion est une relation d ordre partiel dans P(E) dès que E a deux éléments distincts : Si a,b E et a b, on a {a} {b} et {b} {a}. Nous rappelons ci-dessous les notions élémentaires associées à une relation d ordre. Soit une relation d ordre sur un ensemble E, notée et soit X un sous-ensemble de E. Definition 2.3. a) Minorant : On dit que a E est un minorant de X (minore X) si x X,a x. 2

b) Majorant : On dit que a E est un majorant de X (majore X) si x X, x a. Proposition 2.4. Il y a au plus un élément a de X qui minore X (resp. majore X). Si il existe on l appelle minimum de X ou plus petit élément de X (resp. maximum de X ou plus grand élément de X) et on note a = min X ou a = min x X x (resp.a = maxx ou a = min x). x X Preuve. Si a 1 et a 2 minorent X avec a 1 X et a 2 X, alors on a a 1 a 2 et a 2 a 1. L anti-symétrie donne alors a 1 = a 2. Definition 2.5. Si l ensemble des majorants (resp. minorants) de X a un plus petit élément on l appelle borne supérieure de X (resp. borne inférieure). On note resp. supx ou sup x = min {a E, x X,x a} x X inf X ou inf x = max {a E, x X,a x}. x X Exemples : a) Dans R muni de la relation d ordre usuelle, tout ensemble admet une borne supérieure. Dans Q ce n est plus vrai. b) Dans P(E) muni de l inclusion tout sous-ensemble admet une borne supérieure (réunion) et inférieure (intersection) : supx = A X A et inf X = A X A. Les théorèmes de Zermelo et de Zorn concernent des relations d ordre particulières dont les définitions sont données ci-dessous. Definition 2.6. On dit que l ensemble ordonné (E, ) est bien ordonné ( ou que la relation est une relation de bon ordre) si tout sous-ensemble non vide X de E admet un minimum. On remarque que toute relation de bon ordre est une relation d ordre total. En effet la paire {a,b} admet un minimum et donc a et b sont comparables. Une autre propriété qui nous sera utile et qui vient directement des définitions est que tout partie majorée d un ensemble bien ordonnée admet une borne supérieure. L exemple typique d une relation de bon ordre est la relation sur N ou Z. En revanche sur R, la relation n est par une relation de bon ordre (R + a une borne inférieure 0 qui n appartient pas à R + ) et d ailleurs on ne voit pas très bien comment mettre une relation de bon ordre sur R. Definition 2.7. On dit qu un ensemble ordonné (E, ) est dit inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné (ou chaîne) de E admet une borne supérieure. Nous terminons ce paragraphe avec les notions de segment, d élément minimal et maximal associées aux relations d ordre. 3

Definition 2.8. Si x et y sont deux éléments d un ensemble ordonné (E, ), on appelle segment d extrêmités x et y l ensemble [x,y] = {z E, x z y}. On définit également les segments à droite ([x,.] ) et à gauche ([.,x] ) de x par et [x,.] = {z E,x z} [.,x] = {z E,z x}. Notons qu un segment peut être vide. La notion d élément minimal (resp. maximal) est comme nous allons le voir plus générale que la notion de minimum (resp. maximum). Definition 2.9. On dit qu un élément a d un ensemble ordonné (E, ) est minimal (resp. maximal) si [.,a] = {a} (resp. [a,.] = {a}). Proposition 2.10. Si la relation d ordre sur E est totale, il y a au plus un élément minimal (resp. maximal). S il existe c est le minimum (resp. maximum) de E. Preuve. Supposons que a 1 E et a 2 E soit minimaux. Comme la relation d ordre est totale on doit avoir a 1 a 2 et donc a 1 = a 2 puisque a 2 est minimal, ou bien a 2 a 1 et donc a 1 = a 2 puisque a 1 est minimal. Exemple : La notion d élément minimal ou maximal est intéressante quand on a un ordre partiel. Si E est un ensemble non vide P(E)\{ } muni de la relation d inclusion a pour éléments minimaux tous les singletons de E. 2.2 Théorèmes de Zermelo et de Zorn Les propriétés de Zermelo et de Zorn sont données ici comme des théorèmes découlant de l axiome du choix. En fait on peut montrer l equivalence entre la propriété du choix, la propriété de Zermelo et la propriété de Zorn. Il suffit de prendre l une d entre elles comme axiome pour en déduire les deux autres comme théorèmes. Théorème de Zermelo. Tout ensemble E peut-être muni d une relation de bon ordre. Ce théorème pose l existence d une partie Γ de E E qui a la propriété d être le graphe d une relation de bon ordre. Comme nous allons le voir il repose sur l axiome du choix. Il dit en particulier que l on peut mettre un bon ordre sur R sans dire comment le construire en pratique. Le théorème de Zorn sera démontré ici comme conséquence du théorème de Zermelo. C est ce théorème de Zorn qui donne l existence d une base dans tout espace vectoriel. Théorème de Zorn. Tout ensemble inductif admet un élément maximal. Là encore le théorème de Zorn donne l existence d un élément maximal sans donner de moyen pratique de le construire en toute généralité. 4

Preuve du théorème de Zermelo. L idée est de construire un bon ordre à partir d une fonction choix (dont l existence est donnée par l axiome du choix), f Π X P(E)\{ } X vérifiant par définition f(x) = x X pour tout X E, X. En particulier on note e = f(e). On considère l ensemble G des couples (X,Γ X ) P(E) 3 vérifiant a) Γ X P(X) 2 est le graphe d un bon ordre sur X. b) e appartient à X et c est le plus petit élément de X pour le bon ordre Γ X (ici il est commode d utiliser la même notation pour le graphe et la relation). c) Pour tout x X \ {e}, on a x = f(e \ [.,x) ΓX ) où [.,x) ΓX X est le segment à gauche de x privé de x, [.,x) ΓX = [.,x] ΓX \ {x} = { x X,x xetx x }. L ensemble G est non vide. En effet X = {e} muni la relation d égalité Γ {e} = {(e,e)} vérifie les propriétés a)b) et c). Soit (X,Γ X ) et (Y,Γ Y ) deux éléments de G et soit I l ensemble des éléments i de X Y tels que i) [e,i] ΓX = [e,i] ΓY. ii) Les restrictions des ordres Γ X et Γ Y au segment [e,i] ΓX = [e,i] ΓY coïncident. L ensemble I n est pas vide puisque e appartient à I. De plus si x X vérifie x i avec i I pour l ordre Γ X alors on a [e,x] ΓX [e,i] ΓX = [e,i] ΓY et comme les ordres Γ X et Γ Y coïncident sur [e,i] ΓX = [e,i] ΓY, on en déduit x I. En conséquence si X \ I est non vide alors tout élément x de X \ I vérifie pour l ordre Γ X i I,i x( I.E i x et x i). De plus comme l ensemble (X,Γ X ) est bien ordonné, le sous-ensemble X \ I supposé non vide a un plus petit élément x 0. On a alors pour l ordre Γ X i I, x X \ I,i x 0 x. En conséquence I = [.,x 0 ) avec x 0 X et la propriété c) requise pour les éléments de G donne x 0 = f(e \ I). Supposons maintenant que l on a également Y \ I alors en notant y 0 le plus petit élément de Y \ I alors on a y 0 = f(e \ I) = x 0 et cela entraîne tout de suite [e,x 0 ] ΓX = [e,x 0 ] ΓY avec coïncidence des ordres Γ X et Γ Y. Autrement dit x 0 I ce qui contredit x 0 X \ I. On ne peut avoir X \ I et Y \ I, c est à dire que X Y avec Γ X Γ Y ou bien Y X avec Γ Y Γ X. On prend maintenant R = (X,ΓX ) GX et Γ = (X,ΓX ) GΓ X. 5

On vérifie aisément que (R,Γ) vérifient les propriétés a) b) et c). C est le maximum de G pour la relation d inclusion (X Y et Γ X Γ Y ). De plus on a nécessairement R = E. En effet si E \ R est non vide on considère R = R {f(e \ R)} muni de l ordre Γ tel que x f(e \ R) pour tout x R et dont la restriction à R est Γ. On a alors (R,Γ ) G ce qui contredit la maximalité de (R,Γ). Dons R = E et Γ définit un bon ordre sur E. Avant de démontrer le théorème de Zorn, il faut noter que le théorème de Zermelo donne en quelque sorte une numérotation sur n importe quel ensemble E. L idée étant que pour tout sous-ensemble X de E on peut prendre l élément qui suit X en considérant le plus petit élément de E \ X dans le bon ordre Γ. Cette numérotation permet de construire pour toute relation d ordre une chaîne (un ensemble totalement ordonné) sans oublier d élément. En fait ce raisonnement est le même que le raisonnement par récurrence. Il s appuie sur le théorème de Zermelo et donc l axiome du choix. Dans le cas non dénombrable on parle de récurrence transfinie. Proposition 2.11. Dans tout ensemble ordonné (E, ), il existe une chaîne pour qui est maximale pour l inclusion. Preuve. Le théorème de Zermelo nous dit que l on peut mettre une relation de bon ordre Γ sur E. Nous dirons que y suit x (resp. précède x) si y est strictement plus grand (resp. plus petit) que x dans le bon ordre Γ. On note e le plus petit élément de E pour le bon ordre Γ. On considère maintenant l ensemble Σ P(E) des parties S de E telles que a) e S b) S est une chaîne pour l ordre. c) Si x précède s S et x est comparable pour à tout élément de S qui le précède, alors x S. L ensemble Σ n est pas vide car {e} Σ. On va suivre la même démarche que pour le théorème de Zermelo. Si S 1 et S 2 sont deux éléments de Σ, on note I = S 1 S 2. L ensemble I n est pas vide car e I. Si S 1 \I et S 2 \I sont non vides ils possèdent chacun un plus petit élément pour le bon ordre Γ noté s 1 et s 2 (s 2 s 1 S 2 ). Supposons que s 1 précède s 2. Si il existe un élément s 2 de S 2 qui précède s 1 qui n est pas comparable à s 1 pour alors il n appartient pas à S 1 puisque S 1 est par définition une chaîne. On alors trouvé un élément de S 2 \ I qui précède s 1 et donc s 2!! (contraire à la définition de s 2 ). En conséquence tous les éléments de S 2 qui précèdent s 1 lui sont comparables pour. En conséquence par la propriété c) on doit avoir s 1 S 2!! (contraire à s 1 S 1 \ I). En conséquence l un des deux ensembles S 1 \ I, S 2 \ I est vide et S 1 S 2 ou S 2 S 1. L ensemble Σ est donc une chaîne pour l inclusion et on pose R = S Σ S. On vérifie facilement que R Σ. C est donc le maximum de Σ pour la relation d inclusion. Montrons enfin que l on ne peut pas trouver de chaîne pour qui soit plus grande que R pour l inclusion. Si ce n est pas le cas l ensemble X des éléments de E \ R comparables à tous les éléments de R est non vide. Soit r sont plus petit élément pour le bon ordre Γ. On pose R = R {r} et il est facile de voir que R Σ ce qui contredit la maximalité de R dans Σ. 6

Preuve du théorème de Zorn : Soit (E, ) un ensemble inductif. D après la proposition précédente cet ensemble admet une chaîne R pour qui est maximale pour l inclusion. Comme E est inductif, cette chaîne admet une borne supérieure r = supr. On doit avoir r R et on ne peut avoir d élément r E tel que r r, sinon R ne serait pas maximale pour l inclusion. Donc r est un élément maximal. On peut avoir besoin d une variante du théorème de Zorn. Proposition 2.12. Si (E, ) est un ensemble inductif. Pour tout x 0 E il existe un élément maximal plus grand que x 0. Preuve. Cela vient tout simplement du fait que ([x 0,.], ) est encore un ensemble inductif (tout ensemble totalement ordonné de [x 0,.] est un ensemble totalement ordonné de E). 3 Application à l existence d une base Théorème 3.1. Tout espace vectoriel V sur un corps commutatif K admet une base. Preuve. L ensemble L des parties libres muni de la relation d inclusion est un ensemble inductif. En effet si (L i ) i I est une famille totalement ordonnée de parties libres ((i j) (L i L j ou L j L i )) alors L = i I L i est une partie libre. En effet si une combinaison linéaire finie d éléments de L, α 1 x 1 + + α n x n est nulle. Il existe j I tel que x k L j, pour tout k {1,...,n}. Et comme L j est une partie libre, tous les coefficients α k doivent être nuls. L ensemble des parties libres est inductif pour l inclusion, donc d après le théorème de Zorn il existe une partie libre B maximale pour l inclusion. C est une base. En effet si x V le système constitué de B et x est nécessairement lié, ce qui n est possible que si x s écrit comme combinaison linéaire finie d éléments de L. Donc B est aussi génératrice. Théorème de la base incomplète. Si L est une partie libre et G une partie génératrice contenant L, alors il existe une base B telle que L B G. Preuve. On considère l ensemble E des parties libres contenues dans G et on applique la variante du théorème de Zorn. Corollaire 3.2. Tout sous espace vectoriel F de V admet un supplémentaire. Preuve. Soit L une base de F c est une partie libre de V. On applique la proposition précédente avec G = V. En suite on prend pour G l espace vectoriel engendré par B \ L. Corollaire 3.3. Il existe des morphismes de groupe de (R, +) qui ne sont pas des applications R-linéaires. Preuve. On sait qu un morphisme de groupe f : R R doit nécessairement vérifier f( p q x) = p q f(x) pour tout p q Q et tout x R. Ce doit être une application Q-linéaire. Une façon de construire un morphisme de groupe qui n est pas R-linéaire et de faire de la façon suivante : R est un Q espace vectoriel et Q en est un sous-espace. D après ce qui précède il existe un supplémentaire G de Q dans R. On considère alors l application f donnée par f( p q + x G) = p q avec p q Q et x G G. Elle est Q-linéaire et non R-linéaire. 7