Champs aléatoires gaussiens

EMSE Présentation du 7 décembre 2015

1 Champ aléatoire gaussien (Neveu) 2 3

Champ aléatoire gaussien Une champ aléatoire réel, i.e. une famille ( X t, t T ) indexée par un ensemble arbitraire T de v.a. réelles définies sur un espace de probabilité (Ω, A, P), est dit gaussien (centré) si toute combinaison linéaire des v.a. X t (t T ), est gaussienne (centrée).

Espace gaussien Champ aléatoire gaussien (Neveu) Un espace gaussien réel est un sous-espace vectoriel fermé d un espace L 2 R(Ω, A, P) qui est composé de classes d équivalence de v.a. gaussiennes centrées. Proposition Quel que soit l espace de probabilité (Ω, A, P) sans atomes, l espace L 2 (Ω, A, P) contient un sous-espace gaussien de dimension infinie. En outre, lorsque l espace de probabilité (Ω, A, P) est de type dénombrable, on peut construire un espace gaussien (nécessairement séparable) H dans L 2 (Ω, A, P) tel que A = B(H).

Atomes Champ aléatoire gaussien (Neveu) (Atomes) Soit (Ω, A, P) un espace mesuré. Si ω Ω, l atome (par rapport à la tribu A) associé à ω est C A (ω) = A. A A, ω A L espace (Ω, A, P) est sans atome si, pour tout ω Ω, il existe B A tel que C A (ω) B et P(B) = 0.

Champs et espaces gaussiens À tout c.a. gaussien centré ( X t, t T ), associons le sous-espace vectoriel fermé de L 2 (Ω, A, P) engendré par les classes d équivalences des v.a. X t (t T ), soit H. Remarque Cet espace étant formé par les combinaisons linéaires des classes d équivalence des X t et par leurs limites dans L 2, est donc un espace gaussien a. a. cf. le lemme 1.5 (page 16) qui précise de plus : «En outre, la limite est centrée dès que les v.a. de la suite le sont.»

Remarque La notion de famille génératrice ici, et dans tout ce chapitre est entendu «au sens des espaces de Hilbert» (i.e. dans le même point de vue que la notion de base orthonormée dans un espace de Hilbert) : il s agit de l adhérence des combinaisons linéaires de la famille, soit H = Vect ( X t, t T ) en lieu et place de la définition algébrique de la notion de partie génératrice H = Vect ( X t, t T ).

La covariance K d un c.a. ( X t, t T ) de carré intégrable est définie dans le cas centré par K (s, t) = déf E[X s X t ], s, t T ; dans le cas général par, avec s, t T, K (s, t) = E[(X s m(s))(x t m(t)] = E[X s X t ] m(s)m(t).

Noyau hermitien Champ aléatoire gaussien (Neveu) Un noyau réel (ou complexe) K sur T (i.e. une fonction K sur T T à valeurs dans R ou C) est dit hermitien s il vérifie la relation de symétrie hermitienne K (t, s) = K (s, t) (s, t T ) et de type positif si pour toute fonction a sur T de support fini et à valeur réelles, resp. complexes on a : a(s)a(t)k (s, t) R +. T T

Noyau hermitien Champ aléatoire gaussien (Neveu) Proposition Soit un champ aléatoire (réel ou complexe) (X t ) t T dont les composantes sont de carré intégrable. La covariance de ce champ est alors un noyau hermitien de type positif. La question est bien sûr de savoir si, réciproquement, étant donné un noyau hermitien de type positif, on peut construire un c.a.

Construction du c.a. à partir d un noyau On procède en deux temps : 1 premièrement, à partir d un noyau K sur T de type positif, on construit un espace de Hilbert particulier (dit «auto-reproduisant de noyau K») ; 2 deuxièmement, à partir de cet espace de Hilbert on construit un champ aléatoire gaussien de covariance K.

Espace auto-reproduisant Dans le cas ou (X t ) t T est un champ aléatoire gaussien centré, on rappelle que l on peut lui associer un espace gaussien H = Vect ( X t, t T ), sous-espace fermé de L 2 (Ω, A, P). On définit l application linéaire u qui va de H dans l ensemble des fonction de T dans K (K = R ou C) par et on note H l image de u. Proposition u : H (T K ) Z (t E[Z X t ]) L application linéaire u est injective (et donc bijective de H dans H).

On peut alors définir un produit scalaire sur H par déf f, g H = u 1 (f ), u 1 (g) H., (f, g H) qui fait de H un espace métrique isomorphe à H et par suite un espace hilbertien. On retiendra : H est un espace de Hilbert isomorphe à H. Proposition L espace H est engendré par la famille de fonction ( t K (s, t) ) s T, i.e. (avec K (s, t) = déf E [ ] X s X t ). ( (t ) ) H = Vect K (s, t) s T

Réciproquement, Proposition Pour tout ensemble T et tout noyau hermitien de type positif K sur T, il existe un espace hilbertien unique H formé de fonctions sur T tel que 1 ((s K (s, t)) t T engendre H, 2 h H, h(t) = h, K (t,. ). H est appelé l espace auto-reproduisant de noyau K.

Proposition Pour tout ensemble T et tout noyau hermitien de type positif K sur T, il existe un espace de probabilité et un c.a. gaussien centré de covariance K définie sur cet espace.

Proposition Soit T un espace topologique, (X t ) t T un champ aléatoire gaussien centré et H l espace hilbertien auto-reproduisant associé. 1 La covariance K est continue sur T T si et seulement si t X t est continue dans L 2. Dans ce cas, les éléments de H sont des fonctions continues sur T. 2 La covariance K est bornée sur T T si et seulement si t X t est bornée dans L 2. Dans ce cas, il existe C 0 tel que, pour tout h H, sup h(t) C h H. t T

Remarque Dans le premier cas (covariance K continue), si T est séparable, alors H est, lui aussi, séparable (et par isomorphisme d espace de Hilbert, l espace gaussien associé H l est également). Si H est séparable (T quelconque), H l est aussi et admet une base orthonormale au plus dénombrable (e n ) n N et soit déf (u n ) n N, (avec u n = u(e n )), la base orthonormale de H déduite par isomorphisme. Si t T, après calcul de X t, e n et K (t,. ), u n H, on trouve X t = n N h n (t)e n, et K (t,. ) = n N h n (t)u n (1) où les séries convergent dans leur espaces euclidiens respectif H et H.

Proposition Soit (T, T ) un espace mesurable et soit (X t ) t T un champ aléatoire gaussien centré tel que l espace gaussien associé H soit séparable et de covariance mesurable. Alors il existe une modification de (X t ) t T mesurable de (T, T ) (Ω, A) dans (R, B(R)).

Notion de séparabilité Un champ aléatoire φ sur (Ω, A, P) à valeurs réelles indexé par un espace métrique (M, d) est dit séparable s il existe un ensemble S au plus dénombrable de M dense dans (M, d), tel que, pour tout intervalle fermé de R et tout sous-ensemble ouvert de M, on a {φ(x) C, x O} = {φ(x) C, x O S}. S est alors appelé un ensemble séparateur pour φ.

Lemme Un champ aléatoire φ à valeurs réelles sur (Ω, A, P) indexé par (M, d) est séparable avec l espace séparateur S si et seulement si l une des assertions équivalentes suivantes est vérifiée : (S 1 ) pour tout ouvert O de M, inf φ(y) = inf φ(x), et sup y O S x O y O S (S 1 ) pour tout ouvert x M, φ(y) = sup φ(x) ; x O et lim inf y x, y S lim inf y x, y S φ(y) = lim inf φ(x), y x φ(y) = lim inf φ(x). y x

Soit (x t ) t T un champ aléatoire définit sur (Ω, A, P) et soit un autre champ (x t ) t T défini sur le même espace : (x t ) t T est une modification de (x t ) t T si t T, P(x t = x t ) = 1. Proposition Soit (M, d) un espace métrique séparable et soit φ un c.a. réel indexé par M. Alors φ possède une modification séparable.

Étude des trajectoires On suppose dans cette partie que les c.a. gaussiens sont séparables (ce qui implique en particulier la mesurabilité de la v.a. sup t T X t. On s intéresse à la régularité (p.s) des trajectoires. On définit pour cela la pseudo-distance d(s, t) = déf ( E [ (f (s) f (t)) 2]) 1 2 = f (s) f (t) 2

Prérequis pour le théorème principal Proposition Soit f t est séparable. 1 La fonction sup t T f t est mesurable (et donc une v.a.). 2 Si D T est dense dans T, alors sup t T f t = sup f t. t D

Proposition Soit (f t ) t T un champ aléatoire tel que, pour tout t, f t est intégrable et D T un ensemble dénombrable. Alors, 1 pour tout t 0 D, on a E [ sup(f t f t0 ) ] ( = sup E [ ] sup f t : F D, F fini ) E[f t0 ] ; t D t F (2) 2 la v.a. sup t D f t est intégrable si et seulement si ( sup E [ ] ) sup f t : F D, F fini < +. t F

Théorèmes principaux Soit f un champ aléatoire gaussien centré indexé par T et d la distance canonique. On suppose que T est d-compact, et on écrit B d (t, ε) = déf {s T : d(s, t) ε}. Soit N(T, d : ε) N(ε) le plus petit nombre de telles boules recouvrant T et l on note H(T, d : ε) H(ε) = ln(n(ε)). On définit aussi diam(t ) = sup d(s, t). s,t T

Théorème Soit f un champ aléatoire gaussien centré indexé par T, avec T d-compact, alors il existe une constante K 0 telle que, si D T est dénombrable et si t 0 D, E [ sup(f t f t0 ) ] K t D diam(t )/2 0 H(ε) dε. (3)

Majoration du module de continuité On définit le module de continuité par ω f,d (δ) = déf sup f s f t, δ > 0. d(s,t) δ Théorème Soit f un champ aléatoire gaussien centré séparable indexé par T, avec T d-compact, alors il existe une fonction η R + et une constante K 0 telle que, presque sûrement, pour tout δ η. ω f,d (δ) K δ 0 H(ε) dε, (4)

Cas de R n Champ aléatoire gaussien (Neveu) Remarque p 2 (u) = sup E [ (f s f t ) 2] s t u La fonction u p(u), R + R +, est positive, croissante et p(0) = 0. On a p 2 (u) = sup d 2 (s, t). s t u Si d est continue (i.e. si t f t est continue dans L 2 ), alors p est continue. Réciproquement, si p est continue en 0, alors d est continue.

Théorème Soit T un compact de R n. S il existe C, α R + et η ]0, 1[ tel que (d(s, t) 2 =) E [ (f s f t ) 2] C ln s t, (5) 1+α pour tout s, t T tels que a s t η, alors f est continue sur T avec probabilité 1. C a. Avec la convention que ln s t 1+α = 0 si s = t (ce qui est simplement un prolongement par continuité de la fonction sur la diagonale de T T ).

Merci pour votre attention!