Chapitre 3 Séries numériques Nous appliquons les résultats du Chapitre 2 au calcul des séries numériques. Nous démontrons que le nombre d Euler peut être représenté par une série et définissons la série exponentielle. Notions à apprendre. Série convergente ou divergente, série absolument convergente, série géométrique, critère de majoration, critère de d Alembert, critère de Cauchy, série alternée, critère de Leibniz, série exponentielle, séries pour sin, cos, sinh et cosh. Compétences à acquérir. Comprendre les différentes notions de convergence, connaître et savoir appliquer les critères de convergence et démontrer la convergence ou la divergence d une série donnée à l aide de ces critères, calculer la valeur d une série convergente dans des cas simples à l aide des règles de calcul établies. 3. Convergence d une série Définition - série numérique. expression formelle de la forme Soit a ) N une suite d éléments de R. Toute a a 0 + a + a 2 +... 3.) est appelée une série numérique. Les a sont appelés les termes de la série. L expression 3.) est formelle car elle demande un nombre infini d additions. Pour donner un sens à 3.), nous allons étudier la suite S n ) des sommes partielles définie par S n a. Définition - convergence d une série. La série a est dite convergente si la suite S n ) n N des sommes partielles converge, autrement elle est appelée 69
SÉRIES NUMÉRIQUES 70 divergente. La limite S Si la série lim S n est appelée la valeur de la série n + a. a converge, on dit aussi que la suite des a est sommable, ou sommable de somme S. Si la suite des S n diverge fortement, c.-à-d. si lim S n n + ou lim S n, on écrit respectivement a et a. n + Relation de récurrence. S n+ S n + a n+. Les sommes partielles S n vérifient la récurrence Théorème 3.. - Règle de calcul pour des séries convergentes. Soit a, b deux séries numériques convergentes. Alors pour tous λ, µ R : λ a + µ b λa + µb ). 3.2) Démonstration. Pour tout n N on a : λ a + µ b λa + µb ) d où d abord l existence de la limite λa + µb ) et ensuite l affirmation 3.2). lim n + λa + µb ) Théorème 3.2. - critère principal de convergence d une série. La série a converge si et seulement si pour tout ε > 0 il existe un entier naturel N tel que pour tout n > m N on a a < ε. m+ Démonstration. Une série converge si la suite des sommes partielles S n converge. La suite S n ) n N est donc une suite de Cauchy, c.-à-d. pour tout ε > 0 il existe un entier naturel N tel que pour tout n > m N on a S n S m < ε. Cela montre le théorème puisque S n S m a. m+
SÉRIES NUMÉRIQUES 7 Pour le cas n m +, le théorème 3.2 donne la condition de convergence nécessaire suivante : Corollaire 3.3. - condition nécessaire pour la convergence d une série. Si la série a converge, alors la suite des a converge vers zéro. Exemple. La série sin) est divergente puisque la suite des sin) ne converge pas vers zéro elle est même divergente). Nous introduisons maintenant une deuxième notion de convergence pour une série, celle de la convergence absolue. Nous verrons que cette notion est plus forte dans le sens où la convergence absolue implique la convergence, mais pas vice versa. Il existe donc des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. L avantage de la notion de la convergence absolue est qu elle permet d établir des critères de convergence facilement applicables. En plus, nous verrons que la convergence absolue est une condition nécessaire et suffisante pour que la valeur d une série soit indépendante de la numérotation des éléments de la suite a ) N. Définition - convergence absolue d une série. absolument convergente si la série La série a est dite a des valeurs absolues converge. Théorème 3.4. - absolument convergent implique convergent Si la série des valeurs absolues a converge, alors la série a converge. Démonstration. Ce théorème est une conséquence de l inégalité triangulaire pour la valeur absolue qui implique S n S m a a. m+ m+ Puisque la série est absolument convergente nous avons par le Théorème 3.2 que pour tout ε > 0 il existe un entier naturel N tel que, pour tout n > m n N, a a < ε. Cela montre que la suite S n ) des sommes m+ m+ partielles est une suite de Cauchy.
SÉRIES NUMÉRIQUES 72 Exemple - série géométrique. Soit q R. La série avec les termes a q est appelée série géométrique. Elle converge absolument si q < et q q. 3.3) Pour q la série diverge et pour q elle diverge fortement. Démonstration. Pour q on a S n q qn+ q q qn+ q. Si q <, alors q q q q n+ 0 lorsque n. Pour q, les S n sont positives pour les n pairs et négatives ou nulles pour les n q n+ impairs. Pour q > les S n sont positives et lim. Pour q on n q a S n n + lorsque n. Exemple - série harmonique. La série harmonique est divergente. Il en suit que le Corollaire 3.3 donne une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence d une série. Démonstration. Montrons la divergence de la série harmonique. Soit p un entier naturel. Nous allons montrer par récurrence que S 2 p 2 p Pour p 0, cette inégalité est vraie. Donc S 2 p+ S 2 p + 2 p+ 2 p + + p 2 + p p+ 2 2 + 2 p + + p 2 + 2p+ 2 p ) 2 p+ + p + 2. La sous-suite des S 2 p diverge et par conséquent la suite des S n aussi. Exemple - série harmonique alternée. De l exemple précédent, on déduit que la série harmonique alternée ) + n est pas absolument convergente. Nous allons montrer dans la Section 3.4 qu elle est néanmoins convergente. Il existe donc des séries qui sont convergentes mais pas absolument convergentes. Motivés par ces exemples, nous analysons maintenant deux situations pour lesquelles nous pouvons facilement établir des critères de convergence : les séries à termes positifs ainsi que les séries alternées.
SÉRIES NUMÉRIQUES 73 3.2 Séries à termes positifs ou nuls Soit a une série à termes a positifs ou nuls. Pour ces séries, la convergence et la convergence absolue sont équivalentes. La suite des sommes partielles S n satisfait la récursion S n+ S n + a n+ et on a donc S n+ S n. Par le Théorème de Bolzano Weierstrass, la série a est donc convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est bornée, et la série est fortement divergente sinon. Nous écrivons a < si la série converge et a si la série diverge fortement. Exemple. et donc La série + ) converge car S n n n+ voir la formule.2)), + ). Proposition 3.2.. - critère de comparaison. Soit a n ) n N et b n ) n N deux suites d éléments positifs ou nuls et soit n 0 N tel que pour tout entier n n 0, a n b n. Alors b < implique que a implique que a <, b. Exemple. La série diverge si 0 < α et converge si α >. α Démonstration. En effet, si 0 < α on a α lim n α lim n et donc, car la série harmonique est divergente. Si α 2, on utilise pour > 2) les majorations α < 2 ) et donc lim n α lim n + lim 2 + lim n n n 2 + ) 2. )
SÉRIES NUMÉRIQUES 74 Si < α 2, nous montrons par récurrence que pour tout entier naturel p S 2p 2 p p α Pour p cette inégalité est vraie. Donc 2 p+ S 2 p+ S 2p + 2 p p 2 α n0 p n0 p n0 2 α ) n 2 α. n0 p α n0 ) n + 2 p+ 2 p ) ) n + 2 α ) n 2 α. ) p ) n 2 p+ 2 α + α 2 p 2 αp La suite des sommes partielles S n ) n N est croissante. Pour tout n il existe p tel que n 2 p et par conséquent S n S 2p d où la convergence de S n ) N. n0 ) n 2 α 2 α Cette technique de densifier une série s étend également à une situation plus générale : Proposition - Critère de densification. Soit a n ) n N une suite décroissante d éléments positifs ou nul. Alors a converge si et seulement si 2 a 2 converge. 3.3 Séries alternées et Généralisations Définition - série alternée. Une série de la forme ) b, avec b ) N une suite d éléments positifs ou nuls est appelée une série alternée. Remarque. car pour tout n 0 on a Si une série alternée converge on a ) b ) + b, ) b ) + b.
SÉRIES NUMÉRIQUES 75 Théorème 3.5. - critère de convergence de Leibniz. Soit b ) N une suite décroissante d éléments positifs ou nuls telle que lim b 0. Alors la série alternée ) b converge. Démonstration. Pour n N soit x n S 2n+ et y n S 2n. Nous montrons que les suites x n ) n N et y n ) n N satisfont le troisième critère de monotonie du Chapitre 2.3. La monotonie de a n ) n N implique que x n ) n N est croissante et que y n ) n N est décroissante car et x n+ x n S 2n+3 S 2n+ b 2n+3 + b 2n+2 0 y n+ y n S 2n+2 S 2n b 2n+2 b 2n+ 0. De plus x n y n S 2n+ S 2n b 2n+ 0. Alors les suites x n ) n N et y n ) n N sont bornées et lim x n y n ) lim b 2n+) 0. n + n + Le troisième critère de monotonie du théorème 2.4 implique que les suites x n ) et y n ) convergent vers la même limite. Ainsi, la suite des sommes partielles S n converge. Remarque. Pour une série alternée satisfaisant les conditions du critère de Leibniz, on a pour tout n N les bornes suivantes : S 2n+ ) b S 2n. Exemple - une série alternée convergente mais pas absolument convergente. Par le critère de Leibniz, la série harmonique alternée, )+, est convergente. En appliquant les estimations ci-dessus pour n 2 et n 3 nous trouvons 7 2 < 37 60 < ) + < 47 60 < 5 6. Cet exemple montre qu il y a des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. Exemple - une série alternée absolument convergente. Par le critère de Leibniz, la série ) + est convergente. La série est en fait absolument 2 convergente car 2 + + ) 2.
SÉRIES NUMÉRIQUES 76 Exemple - une série alternée divergente. Pour tout entier positif soit { b + +2, si est pair ; si est impair. Nous affirmons que la série +2), ) b est divergente. La suite b ) N vérifie lim b 0 mais elle n est pas décroissante ; donc le critère de Leibniz n est pas 2 j + j) applicable. En utilisant b 2j et b 2j 2 2 2j ), 2j + on trouve pour tout entier positif n : d où lim S 2n. n + S 2n b 2j j j b 2j 2 n + ) ) 2 2 2n + Généralisation du critère de Leibniz - le test de Dirichlet. La série cos n est pas une série alternée. Pour démontrer sa convergence on uti- + lise la technique de sommation par parties : soit b ) N, c ) N deux suites numériques ou complexes) et C : c j. On démontre facilement par récurrence que pour tout n N : j0 b c b n+ C n + b b + )C. 3.4) Si b ) N une suite décroissante d éléments positifs ou nuls telle que lim b 0 et si la suite des sommes partielles des c donnée par C c j est bornée par une constante M > 0 pour tout, alors le premier terme dans l équation 3.4) converge vers zéro et les sommes partielles b b + )C convergent absolument puisque les sommes partielles pour b b + )C sont bornées par l estimation b b + )C b b + ) C M j0 b b + ) Mb 0. Rappelons du fait que toute suite croissante bornée est convergente d où la convergence de cette série. Nous avons donc démontré le résultat suivant :. D après Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 805-859), un mathématicien allemand
SÉRIES NUMÉRIQUES 77 Théorème 3.6. - le test de Dirichlet. Soit b ) N une suite décroissante d éléments positifs telle que lim b 0 et c ) N une suite numérique ou complexe) à sommes partielles bornées, alors la série b c converge. Exemples.. Si c ) on a une série alternée. Le critère de Leibniz est un cas particulier du test de Dirichlet puisque ) pour tout n N. cos 2. La série + converge puisque les b sont positif, décroissantes + en et convergent vers zéro et voir les exercices du chapitre ) cos cos n n+ 2 ) sin 2 ) cos 2 ) cos 2 ) pour tout entier naturel n. Cette série ne converge pas absolument voir les exercices). 3. Plus généralement on appelle une série de la forme b cos x, b sin x, b e ix, x R, une série de Fourier 2. Si les b vérifient les conditions du test de Dirichlet, alors ces séries convergent en tout x 2nπ condition pour les séries avec cos x et e ix pour garantir cos x ou e ix ). 3.4 Critères de convergence absolue Il est en général plus facile d étudier si une série est absolument convergente car nous pouvons appliquer les critères de comparaison que nous avons établis pour des séries à termes positifs. Théorème - critère de comparaison. Soit b une série absolument convergente et a ) N une suite telle que pour tout N, a b. Alors la série a converge absolument. 2. D après Joseph Fourier 768-830), mathématicien et physicien français.
SÉRIES NUMÉRIQUES 78 Soit b une série qui n est pas absolument convergente et a ) N une suite telle que pour tout N, a b. Alors la série absolument. a ne converge pas Les critères suivants sont des conséquences du critère de comparaison où b ) N est une suite géométrique, c.-à-d. b Cρ. Voir l équation 3.3). Théorème - critère de d Alembert. Soit a ) N une suite d éléments de R pour laquelle lim a + a ρ. Alors si ρ <, la série a converge absolument et diverge si ρ >. Théorème - critère de d Alembert généralisé le cas convergent). Soit a ) N une suite d éléments de R pour laquelle il existe n 0 N et ρ < tels que a n+ a n ρ pour tout n n 0, alors la série a converge absolument. En particulier, si pour un ρ <, alors la série lim sup a + a ρ a converge absolument. Théorème - critère de Cauchy. Soient a ) N une suite d éléments de R pour laquelle lim sup a ρ. Alors si ρ <, la série a converge absolument et diverge si ρ >. Remarque. Si la suite a ) est convergente, alors lim sup a lim a. Application aux séries géométriques. Soit la série géométrique a a 0 q. Alors ρ q puisque lim a + a lim a q.
SÉRIES NUMÉRIQUES 79 Remarque - Domaine d application des critères. Rappelons que le critère de d Alembert et le critère de Cauchy ne donnent aucune information si la suite des a admet une décroissance polynomiale. Par exemple si a, α > 0, α on obtient ρ pour les deux critères. En effet, ) lim a + α a lim. + et lim α. Dans ce cas il faut directement appliquer le critère de comparaison. Noter également que ) a + α a < pour tout, + mais il n existe pas de n 0 et de ρ < tel que a + a ρ pour tout n0. Le fait que le critère de Cauchy donne la même valeur pour ρ que le critère de d Alembert n est pas particulier à cet exemple. lim Remarque - Comparer d Alembert et Cauchy Si lim a + a ρ alors a ρ. Si on trouve ρ par le critère de d Alembert donc d Alembert ne donne aucune information sur la convergence ou divergence de la série), il ne faut pas tester le critère de Cauchy car il donnera ρ aussi. En revanche, il y a des séries pour lesquelles la limite du critère de d Alembert n existe pas mais le critère de Cauchy est applicable comme le démontre notre exemple suivant. Exemple. Pour N soit a défini par ) a 3 2 ) ) ) 3 3 si est pair 4 c.-à-d. a ) 4 3 5 si est impair 4 En appliquant le critère de majoration avec b 5 3, 4) nous concluons que la série a converge absolument. Le critère de d Alembert n est pas applicable car a 2m+ a 2m 5 et a 2m 4 a 2m 3 20, donc a + a ne converge pas. La généralisation du critère de d Alembert n est pas applicable non plus. Le critère de Cauchy nous donne la convergence de a car 2m a 2m 3 4 et 2m+ a 2m+ 3 2m+ 5 4 et par conséquent lim sup a lim 3 4 5 3 4 <.
SÉRIES NUMÉRIQUES 80 Nous calculons la série : a a 2m + m0 m0 m0 a 2m+ ) 3 2 m 4 2 + 5 3 4 3 2 m0 4 2 ) m 3 + 5 3 4 )2 4 3 76 4 )2 7. 3.5 Sur l ordre des termes dans une série Dans le dernier exemple de la section précédente, nous avons changé l ordre des termes de la série pour calculer séparément la somme sur les indices pairs et impairs. Nous avons tacitement supposé que cela ne change pas le résultat. Cette propriété est loin d être évidente. On peut démontrer que les séries absolument convergentes sont les seules pour lesquelles l ordre des termes n a pas d importance. Nous allons distinguer deux situations : le changement d ordre des a donné par une permutation et le changement d ordre par sommation par sous-suite. Théorème - Commutativité pour les séries absolument convergentes. Pour une série a absolument convergente la limite ne dépend pas de l ordre des termes a. En particulier :. Pour toute application bijective σ de N sur N, on a a σ) a. 2. Pour toute paire de sous-suites disjointes m ) N, n ) N de N telles que {m : N} {n : N} N on a a a m + a n. En choissisant m 2, n 2 + on obtient en particulier a a 2 + a 2+. Nous donnons un exemple pour montrer qu il est possible de réordonner les termes d une série convergente mais non absolument convergente, afin de faire converger la série finale vers une autre limite.
SÉRIES NUMÉRIQUES 8 Exemple. La série ) + 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 +... est convergente mais non absolument convergente. Nous montrons qu on ne peut pas réordonner les termes de cette série. Notons d abord que ) + < 5 6. Nous allons réordonner les termes de la façon suivante : + 3 2 ) + 5 + 7 4 ) + 9 + 6 ) +... Chaque parenthèse, notée p m, m contient trois termes : Donc p m et par conséquent 4m 3 + 4m 2m 8m 3 2m4m )4m 3) > 0 p m 5 6 + p m > 5 6. m ) + m m2 4m 3 + 4m ). 2m Remarque. Pour les séries ) + 2 et ) + + ), nous pouvons réordonner les termes comme ci-dessus sans que le résultat change car les deux séries sont absolument convergentes. Produit de séries absolument convergentes. Soit a et deux séries absolument convergentes. Pour tout n N on pose c n a b n. Alors la série n0 c n est absolument convergente et c n a b. n0 b
SÉRIES NUMÉRIQUES 82 3.6 La série exponentielle Nous définissons la fonction exponentielle à l aide d une série et étudions ses propriétés. Les fonctions trigonométriques sin, cos et hyperboliques sinh, cosh sont construites à partir de la série exponentielle. Nous présentons également quelques propriétés élémentaires. Théorème 3.7. - série exponentielle.. Pour tout x R, on définit un nombre expx) par la série absolument convergente x expx) :.! 2. Le nombre d Euler e défini par e lim + n n + n) satisfait e exp), c.-à-d. e!. 3. Pour tout x, y R, on a expx + y) expx) expy), c.-à-d. x + y) n ) x ) y. n!!! n0 4. La fonction exponentielle exp : R ]0, [ est strictement croissante et continue sur R. Démonstration.. Montrons que la série est absolument convergente. Posons a x!. Par le critère de d Alembert lim a + lim x + 0. a 2. Pour tout n, on a par la formule du binôme de Newton + n) n ) n n nn )... n + )! n! j0 j ) n En utilisant j n) < nous obtenons le majorant + n) n! S n.
SÉRIES NUMÉRIQUES 83 Par l inégalité de Bernoulli, nous trouvons pour et n j0 et donc, pour tout n, + n) n j ) ) ) n n n!! j0! n j ) n ) ) n 2 2)! S n n S n 2. Donc e exp) par le théorème des deux gendarmes. 3. En appliquant le résultat sur le produit de séries absolument convergentes, on trouve x y n c n! n )! n )x y n x + y)n. n! n! 4. D abord notons que expx) > 0 pour tout x R et expx) > pour tout x > 0. Soit x < x 2. Alors expx 2 ) expx ) expx )expx 2 x ) ) > 0. Cette identité implique également qu il suffit de montrer la continuité de expx) en x 0. Soit x n ) n N une suite qui converge vers 0. Nous pouvons supposer x n <. En utilisant nous obtenons l estimation d où expx n ) x n expx n ) x n lim expx n) exp0) n + x n )! x n )! x n e Fonction logarithmique. Il suit du théorème 3.7 que exp : R ]0, [ est bijective : l injectivité est une conséquence de la monotonie stricte. Pour démontrer la surjectivité, noter d abord que e n expn) pour tout n Z démonstration par récurrence) et lim expn) 0, lim n expn) +. n +
SÉRIES NUMÉRIQUES 84 Par conséquent, pour tout y > 0 il existe n Z tel que expn) y expn + ) et on conclut par le théorème de la valeur intermédiaire. Donc exp : R ]0, [ admet une fonction réciproque strictement croissante et continue. Cette fonction réciproque est appelée le logarithme naturel ou le logarithme népérien et notée par lnx). ln : R + \ {0} R, lnexpx)) x pour tout x R et explny)) y pour tout y > 0. Le logarithme satisfait la propriété lnst) lns) + lnt), s, t > 0. De plus, ln 0, ln e. Nous allons voir au chapitre 5 que le logarithme naturel admet un développement en séries, mais cette série ne converge pas sur tout R + \ {0}. Série exponentielle généralisée. Le logarithme naturel permet d écrire la fonction exponentielle de base a > 0 et a : exp a x) expx ln a) et sa fonction réciproque donnée par ln x/ln a pour x > 0. Par récurrence, on trouve d abord a n exp a n) pour tout n Z et ensuite a r exp a r) pour tout r p Q. C est pourquoi on pose : q a x : exp a x) pour tout x R, a > 0. 3.5) Cette notation est justifiée par le fait que exp a x) est l unique prolongement par continuité de a x : Q ]0, [ grâce au résultat suivant : Proposition. fonctionelle Soit f : R R une fonction continue qui satisfait l équation fx + y) fx)fy) pour tout x, y R Alors, soit fx) 0 pour tout x R, soit f) : a > 0 et fx) a x pour tout x R. Démonstration. On a f) 0 car f) f 2 + 2 ) f 2 )2. Si f) 0, alors fx) fx + ) fx )f) 0 pour tout x R. Si f) > 0 posons a : f). On a f0) et f ) a car a f + 0) f)f0) af0) et f0) f)f ) af ) Par récurrence, on a fn) a n exp a n) pour tout entier n et ensuite f p q ) a p q expa p q ) pour tout p, q Z, q 0, en utilisant ap fp) fq p q ) f p q )q. Donc fx) a x exp a x) pour tout x Q. Pour tout x R il existe une suite d éléments x n Q telle que lim x n x car Q est dense dans R). n + Par la continuité de f et de a x exp a x), on a fx) lim fx n) lim n + n + ax n lim exp ax n ) exp a x) a x. n +
SÉRIES NUMÉRIQUES 85 Définition - exponentielle d un nombre complexe. On peut étendre la définition de l exponentielle aux nombres complexes. Pour z C soit e z expz): z! 3.6) Cette série est absolument convergente le module d un nombre complexe remplace la valeur absolue). Notons que expz) est continue sur C et vérifie également la propriété expz + z 2 ) expz ) expz 2 ) pour tout couple z, z 2 C. En particulier, pour tout z x + iy, x, y R : Exponentielle d un nombre imaginaire pur. expiθ) e z e x+iy e x e iy. 3.7) iθ)! ) θ 2 2)! + i car i 2 ) et i 2+ i ). On en déduit les Séries pour cosinus et sinus. cosθ) sinθ) Les séries ) θ 2 2)! ) θ 2+ 2 + )! Soit θ R. On a ) θ 2+ 2 + )! sont absolument convergentes pour tout θ R. Les méthodes du calcul différentiel nous permettent de démontrer que ces séries correspondent en fait aux fonctions sin et cos définies sur le cercle trigonométrique voir chapitre 5) : sin : R [, ], sin x cos : R [, ], cos x Pour z C, on définit sin z et cos z par ces séries. ) x 2+ 2 + )! ) x 2 2)! 3.8) 3.9) Fonctions trigonométriques. Les fonctions sin et cos sur les réels sont des fonctions périodiques de période T 2π, c est-à-dire sinx + 2π) sin x cosx + 2π) cos x pour tout x R. Evidemment elles sont aussi périodiques de période T 2π avec Z +. Pour tout x, y R, sin et cos satisfont sin 2 x + cos 2 x théorème de Pythagore
SÉRIES NUMÉRIQUES 86 sinx + y) sin x cos y + cos x sin y cosx + y) cos x cos y sin x sin y et sin x ± sin y 2 sin x ± y ) x y ) cos 2 2 cos x + cos y 2 cos x + y ) x y ) cos 2 2 cos x cos y 2 sin x + y ) x y ) sin 2 2 Quelques valeurs spéciales : sin 0 0 sin π 6 2 sin π 4 2 2 sin π 3 2 3 sin π 2 cos 0 cos π 6 2 3 cos π 4 2 2 cos π 3 2 cos π 2 0 Les fonctions sin et cos sont inversibles sur le domaine D [ π 2, π 2 ] respectivement D [0, π]. Les fonctions réciproques correspondantes sont notées arcsin et arccos. On définit les fonctions trigonométriques tan et cot par tan : R \ { + )π, Z} R, 2 sin x tan x cos x cot : R \ {π, Z} R, cot x cos x sin x Les fonctions tan et cot sont inversibles sur le domaine D ] π 2, π 2 [ respectivement D ]0, π[. Les fonctions réciproques correspondantes sont notées arctan et arccot. Fonctions hyperboliques. On définit les fonctions hyperboliques sinh x ex e x 2 sinh : R R cosh x ex +e x 2 cosh : R [, [ tanh x sinh x cosh x tanh : R ], [ coth x cosh x sinh x coth : R \ {0} ], [ ], [ d où les séries pour sinh et cosh : sinh x x 2+ 2 + )!, cosh x Pour z C, on définit sinh z et cosh z par ces séries. Les fonctions réciproques sont notées x 2 2)! 3.0) arcsinh x lnx + x 2 + ) arcsinh : R R arccosh x lnx + x 2 ) arccosh : [, [ [0, [ arctanh x 2 ln +x x arctanh :], [ R arccoth x arctanh x arccoth :], [ ], [ R \ {0}
SÉRIES NUMÉRIQUES 87 3.7 Supplément - les démonstrations Nous démontrons les résultats sur les séries absolument convergentes. Critère de d Alembert - cas convergent. Si lim a + a ρ <, choisir ε > 0 tel que ρ + ε < par exemple ε ρ 2 ). Il existe un entier naturel N tel que a + a < ρ + ε pour tout N. Par conséquent, pour tout N, a b : a N ρ + ε) N ce qui implique la convergence de a. La démonstration de la généralisation du critère de d Alembert suivra les mêmes lignes. Le cas divergent est laissé comme exercice. Critère de Cauchy - cas convergent. Si lim sup a ρ <, choisir ε > 0 tel que ρ + ε < par exemple ε ρ 2 ). Il existe un entier naturel N tel que a < ρ + ε pour tout N. Par conséquent, pour tout N, a b : ρ + ε) ce qui implique la convergence de a. Le cas divergent est laissé comme exercice. Dans une série absolument conver- Proposition - resommation d une série. gente on peut changer l ordre des termes. Plus précisément :. pour toute application bijective σ de N sur N, on a a σ) a, 2. pour toute paire de sous-suites disjointes m ), n ) de N telles que {m : N} {n : N} N on a a a m + a n. En choissisant m 2, n 2 +, on obtient en particulier a a 2 + a 2+. Démonstration.. Soit ε > 0 arbitraire. Il existe n N tel que n+ a < ε et donc a S n < ε. On choisit N N tel que {0,,..., n} {σ0),..., σn)}.
SÉRIES NUMÉRIQUES 88 Alors pour tout m N, on a m a σ) a < a m a σ) a + a + m,σ)>n m,σ)>n a σ) a σ) d où n+ a < 2 n+ m Comme ε > 0 est arbitraire, il en suit lim m + a σ) a. 2. Soit ε > 0 arbitraire. Il existe n N tel que n+ a < ε. On peut choisir 0 et tels que {m 0,..., m 0 } {n 0,..., n } {0,..., n}. Grâce à l inégalité triangulaire, nous avons pour tout M > 0, N > M N a a m a n 0 a a m a n + a 3 n+ a + a < 3ε M 0+ M 0 + a m + a m + N + a n N + a n a < 2ε. Produit de séries absolument convergentes. D n j0 a j n b c j0 a j n b j0 On considère l expression a j b j a j b. j+>n Il suffit de montrer lim D n 0. Grâce à la convergence absolue des séries n + a et b, la suite P n ) n N définie par P n a b j j0 est convergente et donc de Cauchy. L inégalité D n P n P [n/2] implique alors la convergence désirée. Pour montrer la convergence absolue notons que les inégalités ci-dessus restent vraies si on remplace a j par a j, b par b et c j0 a jb j par j0 a jb j. Grâce à l inégalité triangulaire c a j b j j0 on en déduit la convergence absolue de c par le critère de majoration.
SÉRIES NUMÉRIQUES 89 3.8 Supplément - approfondissements Critère de d Alembert généralisé. R. Si. 2. lim sup Soit a ) N une suite d éléments de a + a < alors la série a converge absolument. alors la série a diverge. Remarque. Si lim inf a + a lim inf a + a > lim sup a + a le critère ne permet pas une conclusion sur la convergence ou la divergence de la série. Remarque. On a toujours les inégalités suivantes lim inf a + a lim inf a lim sup a lim sup a + a. Donc le critère de Cauchy est plus fort que le critère de d Alembert. Pour juger la convergence des séries à décroissance polynomiale, le critère de Raabe qui est une variante du critère de d Alembert est utile : Critère de Raabe. Soit a ) N une suite d éléments de R pour laquelle ) lim a + a ρ. Alors si ρ <, la série a converge absolument et diverge si ρ >. On peut également formuler des généralisations en utilisant lim inf et lim sup. Exemple. Soit a α et α > 0. Alors ) lim a + a α. Démonstration. Critère de Raabe - cas convergent). Pour tout ε > 0 tel que ρ ε >, il existe un entier positif N tel que pour tout N : ) a + a > ρ ε. Cette inégalité est équivalente à ρ ε ) a < ) a a +.
SÉRIES NUMÉRIQUES 90 Pour tout n > N on considère les sommes partielles S n n a. Il suffit de montrer que les S n sont bornées. Alors par l inégalité précédente, nous avons pour tout n > N ρ ε )S n < N ρ ε ) a + N+ ) a a +. En exploitant la somme téléscopique nous trouvons pour tout n > N ρ ε )S n < N ρ ε ) a +N a N+ n a n+ < N ρ ε ) a +N a N+.