Chapitre 2. Séries Numériques. Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda

Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda Année 2007-2008 ENSA - Analyse II Enseignant : I.Elmahi Chapitre 2 Séries Numériques

Table des matières Généralités. Dénition d'une série...................................2 Condition nécessaire de convergence d'une série................... 2.3 Critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet....... 2.4 Premiers exemples................................... 3.5 Reste de rang n d'une série convergente....................... 4.6 Espace vectoriel des séries convergentes........................ 5.7 Séries complexes.................................... 5 2 Séries à termes réels positifs 6 2. Lemme fondamental.................................. 6 2.2 Comparaison des séries................................. 6 2.3 Comparaison d'une série à une intégrale....................... 8 2.4 Série de Riemann.................................... 9 2.5 Règle de Riemann................................... 0 2.6 Critère de Cauchy................................... 2.7 Critère de d'alembert................................. 3 3 Séries à termes réels, de signe quelconque, ou à termes complexes 4 3. Convergence absolue.................................. 4 3.2 Multiplication des séries................................ 6 3.3 Multiplication des séries absolument convergentes.................. 6 3.4 Séries alternées..................................... 7 3.5 Séries semi-convergentes................................ 8 3.6 Règle d'abel...................................... 8 4 Bilan 20

ENSA Analyse II Séries Numériques S é r i e s N u m é r i q u e s Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. Généralités. Dénition d'une série.. Dénition Soit ( ) n N une suite numérique. (c'est à dire à valeur dans R ou C). Pout tout n N, posons : n S n = U 0 + U + + = U k On dénit ainsi une nouvelle suite (S n ) n N à partir de la suite ( ) n N. On appelle série la suite (, S n ) n N d'éléments dans K 2. est nommé terme général de la série. S n est la somme partielle de rang n. On notera, en abrégé, la série ( ) ou bien n 0...2 Dénition 2 (Convergence, divergence d'une série) La série n 0 est dite convergente si la suite (S n ) n N des sommes partielles a une limite lorsque n +. Dans ce cas, la limite S = lim S n est appelée somme de la série n 0. On écrira : + S = U k La série n 0 est dite divergente si la suite (S n ) n N n'a pas de limite. Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou bien toutes les deux divergentes. Remarque Toute série est soit convergente, soit divergente. Elle a une, et une seule de ces propriétés qui lui confère sa nature...3 Proposition Soit N. Les séries n 0 et n sont de même nature. De plus si elles convergent on a : + n 0 + = + n=0 n=0 n= I.Elmahi Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques On a n N; n : n U k = n 0 U k + n k= U k () Il est clair donc que si la série n 0 U n converge, alors lim n U k existe. Et donc d'après la formule () lim + k= U k existe. D'où la série n 0 converge. Inversement, si la série n 0 converge, en utilisant la relation (), on déduit que la série n 0 converge aussi. En passant à la limite lorsque n + dans (), on obtient : + U k = n 0 U k + + k= U k.2 Condition nécessaire de convergence d'une série.2. Proposition Si la série n 0 converge, alors on a : lim = 0 Soit n 0 une série convergente de somme S. (c'est à dire lim n U k = S). n ; = S n S n. Si la série n 0 converge, alors : Remarque lim = lim S n S n = S S = 0 La réciproque de cette proposition est fausse comme on le verra l'un des exemples qui suivront (série harmonique)..3 Critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet Théorème (K = R ou C) est un espace complet. Donc la série converge si et seulement si : ε > 0; N N; n N; p N ; n+p k=n+ U k < ε I.Elmahi 2 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques La série converge si et seulement si la suite des sommes partielles (S n ) converge. Comme K est complet, alors il faut et il sut que S n soit une suite de Cauchy. C.A.D : ε > 0; N N; n N; p N ; S n+p S n < ε Soit : n+p k=n+ U k < ε.4 Premiers exemples.4. Série géométrique Soit la série géométrique n 0 qn (q C). Son terme général est = q n. La suite des sommes partielles de rang n : S n = n q k = + q + q 2 + + q n Si q = : S n = n + +. Donc q n diverge. Supposons que q, ona a alors : S n = qn+ q er cas : q < : Alors q n+ 0. Donc lim S n = q. Donc la série q n converge et sa somme vaut S = q. 2 eme cas : q > : Donc lim q n+ = +. D'où lim S n n'existe pas. Donc q n diverge. 3 eme cas : q = : Donc q = e iθ avec θ 2kπ. q n+ = e iθ(n+) = cos((n + )θ) + i sin((n + )θ) lim q n+ n'existe pas. Donc q n diverge. On peut alors énoncer le théorème suivant : Théorème Soit q K, La série géométrique n 0 qn est convergente si et seulement si q <. Sa somme est : + S = q n = q n=0 I.Elmahi 3 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques.4.2 Série harmonique On se place dans R. La série n n est appelée série harmonique. On écrit souvent H n = n k= k Nous allons prouver que cette série est divergente. Pour ce faire, on va montrer que la suite des sommes partielles (S n ) n n'est pas une suite de Cauchy donc divergente. Soit donc N > 0 ; prenons n = N ; p = N S n+p S n = S 2N S N 2N N = k k k= k= 2N = k k=n+ = N + + N + 2 + + 2N 2N + 2N + + = }{{ 2N} 2 N fois La diérence S 2N S N étant minorée par 2, la suite (S n) n n'est donc pas une suite de Cauchy. Par conséquent, la série n n est divergente et on a le théorème suivant : Théorème Sur la droite réelle R, la série n n est divergente. Soit la série de terme général = n(n+) n. On a : Donc la série n S n = n k= k + = k= n k k + = n + lim S n = n(n+) converge et a pour somme S = + n= n(n+) =.5 Reste de rang n d'une série convergente.5. Dénition Si la série n 0 converge, on appelle reste de rang n : R n = + k=n+ U k.5.2 Proposition Soit n 0 une série convergente alors la suite R n est convergente et on a : lim R n = 0 et S n + R n = S I.Elmahi 4 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques La série n 0 est convergente, on a donc : n N; + U k = n U k + + U k k=n+ Soit S = S n + R n donc R n = S S n et : lim R n = S lim S n = S S = 0.6 Espace vectoriel des séries convergentes S Notons par (K) l'ensemble des séries. C (K) l'ensemble des séries convergentes. On peut montrer facilement que : (faire en exercice)..6. Proposition. La somme de deux séries convergentes est une série convergente. 2. La somme d'une série convergente et une série divergente est une série divergente. 3. Pour toute série n 0 et tout λ K {0}, les séries n 0 et n 0 λ sont de même nature..6.2 Théorème L'ensemble des séries convergentes C (K) est un sous-espace vectoriel de S (K). Remarque Si n 0 et n 0 V n divergent, alors on ne peut rien dire sur la nature de la série n 0 + V n. Exemples. = et V n = donc + V n = 0. Les séries et V n divergent alors que + V n converge. 2. = et V n = donc + V n = 2. Les séries et V n divergent de même + V n diverge..7 Séries complexes Soit n 0 W n une série numérique à termes complexes. n N; W n = + iv n ( ) est la série des parties réelles et (V n ) est la série des parties immaginaires. Si l'on désigne par S n, S n et σ n les sommes partielles de rang n des séries n 0, n 0 V n et n 0 W n respectivement, alors on a : n N, σ n = S n + is n Pour que la suite (σ n ) converge il faut et il sut que les suites (S n ) et (S n) convergent. Et on peut énoncer le corollaire suivant : I.Elmahi 5 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Corollaire W n converge n 0 { n 0 R(W n) converge. n 0 I(W n) converge. 2 Séries à termes réels positifs 2. Lemme fondamental 2.. Dénition Une série n 0 réelle est dite à termes positifs si n N; 0. Soit n 0 une série réelle à termes positifs. Posons : S n = n S n+ = S n + +. Comme + est positif, alors S n S n+. Donc (S n ) n N est une suite croissante. D'après le théorème de convergences des suites des suites monotones, pour (S n ) converge, il faut et il sut qu'elle soit majorée. On peut donc énoncer le lemme fondamental suivant : 2..2 Lemme Soit n 0 une série à termes positifs. Pour que n 0 converge, il faut et il sut que la suite des sommes partielles associées (S n ) n 0 soit majorée.(i,e M > 0; n N; S n M). U k Remarque Si (S n ) n'est pas majorée, alors Donc n 0 diverge. lim S n = + 2.2 Comparaison des séries 2.2. Théorème (comparaison avec une autre série : Inégalité) Soient n 0 et n 0 V n deux séries à termes positifs telles que n N; V n. Si n 0 V n converge alors n 0 converge. 2. Si n 0 diverge alors n 0 V n diverge.. En posant S n = n U k σ n = Si n 0 V n converge alors d'après le lemme fondamental (σ n ) est majorée. Or comme n N; V n ; alors S n σ n. Donc (S n ) est aussi majorée. D'après le lemme fodamental, n 0 converge. n V k I.Elmahi 6 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques 2. Par contraposition on obtient : si n 0 diverge alors n 0 V n diverge. Remarques. Si n 0 et n 0 V n sont à termes négatifs, alors il sut d'étudier les séries n 0 et n 0 V n. 2. Dans le théorème de comparaison, on peut remplacer l'hypothèse ( n N; V n ) par l'hypothèse plus faible suivante : ( N; n ; V n ). 2.2.2 Conséquence Considérons deux séries à termes strictement positifs n 0 et n 0 V n et supposons que : V lim n = l 0 alors : ε > 0; N N; n N; V n l < ε En particulier pour : ε ]0, l[ on a : n > N l ε < V n < l + ε n > N (l ε) < V n < (l + ε). Si n 0 converge, alors il en est de même pour n 0 (l + ε). Et comme n N; V n < (l + ε), On déduit d'après le théorème de comparaison que Vn converge aussi. 2. Si n 0 diverge, alors il en est de même pour n 0 (l ε). Et comme n N; (l ε) < V n, On déduit d'après le théorème de comparaison que n 0 V n diverge aussi. On a donc le théorème suivant : 2.2.3 Théorème 2 Soient n 0 et n 0 V n deux séries à termes strictement positifs telles que : V n lim = l 0 Alors n 0 et n 0 V n sont de même nature. 2.2.4 Théorème 3 Soient et α n deux séries à termes positifs. Si n 0 converge aussi. { = O(α n ) n 0 α n converge alors Remarque f x x 0 = o(g) ε > 0; η > 0; x x 0 < η f(x) ε g(x) f x x 0 = O(g) λ > 0; η > 0; x x 0 < η f(x) λ g(x) I.Elmahi 7 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques On a = donc λ > 0 ; il existe un rang N N tel que n N on a Un α n λ. Comme les deux séries sont à termes positifs : = O(V n ) λ > 0; N N; n N; λα n La série α n étant convergente, il en est de même pour la série λα n et d'après le théorème de comparaison de deux séries à termes positifs, la série n N converge. Les séries n N et n 0 étant de même nature, on en déduit que la série n 0 converge aussi. 2.2.5 Théorème 4 (théorème d'équivalence) Soient et V n deux séries à termes positifs à partir d'un certain rang. Si V n alors les séries et V n sont de même nature. V n { Un = + O(V n ) V n = + o( ) Et d'après le théorème 3, on peut conclure que la série converge si et seulement si la série Vn converge. Remarque Le théorème d'équivalence ne peut être appliqué aux séries à termes complexes, et aux séries à termes réels de signe variable. Exemple = ln( + n ) Un est une série à termes positifs ( ln( + n ) > 0; n N ). Et on a ln( + n ) n. Nous avons vu que la série harmonique n est divergente. D'après le théorème d'équivalence, on conclut que la série ln( + n ) diverge aussi. 2.3 Comparaison d'une série à une intégrale Soit N ; f : [, + [ R + continue par morceau et décroissante. Nous voulons étudier la série à termes réels n f(n) à l'aide de l'intégrale généralisée + f(x)dx. Notons par S n la somme partielle de rang n de la série n f(n) c'est à dire : n S n = f(k) = f( ) + f( + ) + + f(n) k= Comme f est décroissante sur [, + [, alors k N(k ) on a : k x k + f(k + ) f(x) f(k) I.Elmahi 8 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques k+ Donc k f(k + )dx k+ k f(x)dx k+ k f(k)dx Soit f(k + ) k+ k f(x)dx f(k) n k= f(k + ) n k= ( k+ k f(x)dx) n k= f(k) n+ k= + f(k) n+ f(x)dx S n S n+ f( ) n+ f(x)dx S n. Supposons que + f(x)dx existe, alors on aura (puisque f est positive) n+ + S n+ f( ) f(x)dx f(x)dx Soit S n+ + f(x)dx + f( ) }{{} M La suite (S n+ ) est donc majorée et comme f(x) est une série à termes positifs, d'après le lemme fondamental, la série n f(x) converge. 2. Supposons maintenant que la série n f(x) converge. Soit u et posons n = E(u) on a donc : n+ f(x)dx = u f(x)dx + Comme f est positive alors n+ u f(x)dx 0 donc u D'après ) on a aussi n+ n+ u f(x)dx f(x)dx n+ f(x)dx. f(x)dx S n. Par conséquent on a u f(x)dx S n. S n étant majorée par S (on a une série n convergente à termes positifs). Donc u f(x)dx S. Par suite + f(x)dx existe et majorée par S : + f(x)dx S. Et on a le théorème suivant : Théorème Soit N, f : [, + [ R + une fonction continue par morceau, décroissante. La série n f(x) converge si et seulement si + f(x)dx converge. Dans le cas de convergence, on a : + f(x)dx + k= f(k) f( ) + + f(x)dx 2.4 Série de Riemann 2.4. Dénition On appelle série de Riemann la série à termes positifs n α, où α est un réel donné. Considérons la série de Riemann du terme général = n ; α α R. Si α 0 alors lim 0 donc la série n α diverge. I.Elmahi 9 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Si α > 0 alors la fonction f(x) = x α est positive et décroissante sur [, + [. D'après le théo- x dx α existe. rème précédent, la série de Riemann n α converge si et seulement si l'intégrale + Si α = Si α + + x α dx = dx = [ln x]+ = + x + x α dx = X lim X + x α dx = [ ] x α X lim = lim X + α X + ( X α ) α On voit donc bien que + x dx α existe si et seulement si α < 0 c'est à dire α >. On peut donc énoncer le théorème suivant : 2.4.2 Théorème La série de Riemann n α converge pour α > et diverge pour α. 2.5 Règle de Riemann 2.5. Proposition Soit n 0 une série réelle à termes positifs. Supposons qu'il existe α > tel que lim n α = 0. Alors la série n 0 converge. On a lim n α = 0, donc : ε > 0; N N / n N; n α 0 ε Soit alors (pour ε = ) : 0 n α. C'est à dire 0 n α. α > donc la série de Riemann n n α est convergente d'après le théorème de comparaison de séries à termes positifs, on peut en conclure la convergence de la série n 0. Exemple (Série de Bertrand) Considérons la série à termes positifs de terme général =, (α, β) R 2, n 2. n α (ln n) β Montrons que la série α > n 2 converge si et seulement si ou n α (ln n) β (α = et β > ) Cas : α > : Dans ce cas on a +α 2 >. Prenons donc γ = +α 2 et utlisons la proposition précédente. Or α 2 > 0 donc : lim nγ = lim nγ n α (ln n) β = (ln n) β lim n α 2 lim (ln n) β (ln n) β n α γ = lim n α 2 = 0 I.Elmahi 0 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques C'est à dire lim n γ = 0 avec γ >. D'après la proposition précédente, la série n 2 n α (ln n) β converge. Cas 2 : α < : alors nous avons lim n = lim n α (ln n) β i,e n α Or α > 0 donc lim (ln n) β = + lim n = + donc A > 0; N N; n N; n > A Soit > A n. La série n N A n de Riemann est divergente. On en déduit que la série est divergente. Cas 3 : α = : = n(ln n) β (ln n) β β 0 : alors = n ; β 0. Or n 3 on a : ln n ln e = donc (ln n) β (puisque β 0). D'où n(ln n) β n. La série de Riemann n est divergente. On en déduit que la série n(ln n) β diverge aussi. β > 0 : Nous allons utiliser le théorème de comparaison d'une série avec une intégrale. Considérons la fonction : f(x) = dénie de [2, + [ R x(ln x) β +. f est positive de plus elle est décroissante et continue. X ln X 2 x(ln x) β dx = dt ln 2 t β (poser t = ln x) X ln X donc lim X + 2 x(ln x) β dx = lim dt Y X + ln 2 t β = lim dt Y + ln 2 t β Or l'intégrale de Riemann + ln 2 dt existe si et seulement si β >. Pa conséquent, + t β 2 x(ln x) β dx existe si et seulement si β >. On déduit d'après le théorème de comparaison d'une série avec une intégrale que la série n(ln n) β converge si et seulement si β >. Et on peut ennoncer le théorème suivant : Proposition (Série de Bertrand) Soit (α, β) R 2, la série de Bertrand n 2 2.6 Critère de Cauchy n α (ln n) β Soit une série à termes positifs. converge si et seulement si α > ou (α = et β > ) I.Elmahi Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques. Supposons qu'il existe un réel λ tel que l'on ait : n N; n λ <, alors λ n. Or la série géométrique λ n est à termes positifs et est convergente puisuqe λ <. D'après le théorème de majoration on déduit que la série est convergente. 2. Si l'on a : n N; n alors n N; et donc lim 0. Par conséquent la série diverge. On peut énoncer le théorème suivant : 2.6. Théorème Soit une série à termes positifs.. S'il existe un réel λ tel que n N; n λ <, alors la série converge. n 2. Si n N;, alors la série diverge. 2.6.2 Conséquence En particulier, s'il existe l R tel que lim n = l, on a alors : ε > 0; N N / n N; n l < ε c'est à dire Soit ε < n l < ε l ε < n < l + ε. Supposons que l < et prenons ε ]0; l[, alors l + ε < on a donc n N; n Un < }{{} l + ε < λ Par conséquent la série est convergente (théorème précédent). 2. Supposons que l > et prenons ε = l, on a donc : n N; < l ε < n D'après le théorème précédent, la série diverge. On a le théorème suivant : 2.6.3 Théorème (Critère de Cauchy) Soit une série à termes positifs. S'il existe l R tel que lim n = l, alors on a :. Si λ <, la série converge. 2. Si λ >, la série diverge. Remarque Le cas l = est "le cas douteux" du critère de Cauchy. Le doute est levé si lim n + n = + car dans ce cas on a : n N; n et donc la série diverge. I.Elmahi 2 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Exemple Soit a > 0 ; Considérons la série dont le terme général est : = (a + n )n. Un est une série à termes positifs (a + n )n > 0 n N. lim n Un = lim (a + n ) = a Donc Si a <, la série converge. Si a >, la série diverge. Si a =, on a n Donc n N; n Un > et la série diverge. = + n > 2.7 Critère de d'alembert Soit une série à termes strictement positifs. U. Supposons qu'il existe λ < tel que l'on ait : n N; n+ λ <, alors + λ. On obtient alors : λ λ 2 2 λ n U 0 Les séries et λ n U 0 sont à termes positifs. De plus la série λ n U 0 est géométrique et est convergente puisque λ <. Par conséquent, la série converge aussi. U 2. Supposons que l'on ait : n N; n+, alors +. La suite ( ) est donc croissante. Donc lim n + 0, d'où la série diverge. Et on a le théorème suivant : 2.7. Théorème Soit une série à termes strictement positifs. U. S'il existe λ tel que n N, n+ λ < alors la série converge. U 2. Si n N; n+ alors la série diverge. 2.7.2 Conséquence U En particulier, supposons qu'il existe l R tel que : lim n+ = l. Alors : ε N; N N; n N on a + l < ε Soit l ε < + < l + ε. Supposons l < et prenons ε ]0; l[ alors l + ε <. On a donc : n N; + < l + ε < Par conséquent la série converge (d'après le théorème précédent). 2. Supposons l > 0 et prenons ε = l, on a donc : n N; < l ε < + D'après le théorème précédent, la série diverge. Et on peut énoncer le théorème suivant : I.Elmahi 3 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques 2.7.3 Théorème (Critère de d'alembert) Soit une série à termes strictement positifs telle que :. Si l <, la série converge. 2. Si l >, la série diverge. + lim = l Remarque Le cas l = est "le cas douteux" du critère de d'alembert. U Le doute est levé si lim n+ = +. Puisque dans ce cas on a : n N; la série diverge. + et donc Exemples. Soit la série n!. = n! > 0 n N. + = (n + )! n! = n + U lim n+ = 0 < Donc la série converge. 2. n n n! = nn n! > 0 n N + = (n + )n+ (n + )! n! (n + )n = nn n n = ( + n )n Or ln( + n ) n. Donc : Donc la série n n n! diverge. + lim = lim en ln (+ n ) + lim = lim en n = e > 3 Séries à termes réels, de signe quelconque, ou à termes complexes 3. Convergence absolue 3.. Dénition On dit qu'une série à termes réels ou complexes est absolument convergente si et seulement si la série est convergente. 3..2 Théorème Si est absolument convergente alors elle est convergente. I.Elmahi 4 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Soit une série absolument convergente, donc la série converge d'après le critère de Cauchy de convergence des séries dans un espace complet on a : ε > 0; N N; n N; p N ; n+p k=n+ U k < ε D'où la série converge. i,e Et comme Alors n+p k=n+ U k < ε U k Uk n+p k=n+ U k < ε Remarque Ce théorème montre que l'absolue convergence entraine la convergence. L'interêt fondamental de ce théorème est que l'on peut appliquer les propriétés des séries à termes positifs, à la série U k qui est à termes positifs. 3..3 Proposition Notons par S A (K) l'ensemble des séries absolument convergentes. S A (K) est un sousespace vectoriel de S(K) (ensemble des séries dans K). S A (K) car la série du terme général = 0 S A (K). Soient, V n deux séries absolument convergentes. Par conséquent, les séries et V n convergent. D'où λ + V n converge (λ K). Et comme on a : n N; λ + V n λ + V n D'après le théorème de comparaison de deux séries à termes positifs, on en déduit que la série λun + V n converge. C'est à dire la série λ + V n est absolument convergente. Exemples. Considérons la série sin n n 2. n N ; = sin n n 2. Etudions la série à termes positifs sin n. n On a : 2 n N ; sin n donc sin n n 2 n 2 Or la série série sin n n 2 n 2 (de Riemann) est convergente donc la série sin n converge. Donc la est absolument convergente d'où convergente. n 2 I.Elmahi 5 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques 2. = ( )n n 2. On a n N; = n 2. Donc la série converge absolument donc converge. 3. = ( )n n. = n. La série de Riemann n n'est pas convergente donc la série ( ) n n absolument convergente. Par contre, et on va le montrer dans la suite du cours, cette série converge. n'est pas 3.2 Multiplication des séries On se place dans le champs complexe C (K = C) et on note par S (C) l'ensemble des séries à valeurs dans C. 3.2. Dénition Soient et V n deux séries à termes dans C. On appelle série-produit des séries et V n, la série W n dont le terme général est donné par : n W n = U k V n k C'est à dire qu'on a : W 0 = U 0 V 0 W = U 0 V + U V 0. W n = U 0 V n + U V n + + V 0 Remarque On a n N; W n = n U k V n k On voit que W n est toujours dénie puisque la somme est nie. On note en général la série-produit : W n = ( ) ( V n ). Remarquer que cette multiplication est analogue à celle des polynômes à une indéterminée à coecients dans C. 3.3 Multiplication des séries absolument convergentes Nous allons nous contenter ici d'énoncer un théorème sur le produit de deux séries absolument convergentes. Nous laisserons la démonstration en exercice. I.Elmahi 6 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques 3.3. Théorème Soient et V n deux séries absolument convergentes dans C. Alors la série-produit Wn dénie par : n n N; W n = U k V n k = U 0 V n + U V n + + V 0 est absolument convergente. De plus sa somme est donnée par : 3.4 Séries alternées + ( + ) ( + ) W n = V n n=0 n=0 n=0 3.4. Dénition On dit qu'une série à termes réels est alternée si : n N; = ( ) n ou = ( ) n+ Exemple La série ( ) n n est une série alternée. S n = + 2 3 + 4 + ( )n n Remarquons qu'une série du second type se ramène à celle d'une série du premier type en changeant tous les signes. Nous étudions donc les séries alternées du premier type : = ( ) n. On a le théorème suivant : 3.4.2 Théorème Soit une série alternée telle que : { lim = 0 n N; + (( ) décroît) Alors la série est convergente. Soit la série alternée ; = ( ) n. Nous avons : S 2p+2 S 2p = ( ) 2p+ U 2p+ + ( ) 2p+2 U 2p+2 = U 2p+2 U 2p+ 0 Donc la suite extraite (S 2p ) p N est décroissante. S 2p+3 S 2p+ = ( ) 2p+2 U 2p+2 + ( ) 2p+3 U 2p+3 = U 2p+2 U 2p+3 0 Donc la suite extraite (S 2p+ ) p N est croissante. De plus : lim (S 2p+ S 2p ) = lim U 2p+ = 0 p + p + Par conséquent, les suites (S 2p ) et (S 2p+ ) sont adjacentes et ont par suite la même limite S. Il en résule que(s n ) converge et a pour limite S. On en déduit que la série est convergente. I.Elmahi 7 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Exemple Soit la série alternée ( ) n n α où α R, α xé. = ( )n n α et = n α. On a donc = ( ) n.. Si α 0 alors lim U ( ) n n = lim n α 0 Donc la série ( ) n n α diverge. 2. Si α >, on a = n α. La série n α de Riemann est donc convergente. (car α > ). D'où la série ( ) n n α est absolument convergente donc convergente. 3. Si 0 < α, la série ( ) n n α n'est pas absolument convergente. (Car la série n α dans ce cas ne converge pas ). Cependant on a la suite ( ) est décroissante ( = ) n. D'après le théorème précédent, α la série ( ) n n α converge. 3.5 Séries semi-convergentes Dénition Une série à termes réels ou complexes est dite semi-convergente si elle est convergente sans être absolument convergente. Exemple Pour 0 < α, la série ( ) n n α est semi-convergente. 3.6 Règle d'abel Théorème Soit une série à termes réels ou complexes telle que son terme général s'écrit : = ε n α n Supposons que la série vérie les trois conditions :. M R / n N; n α k M. 2. La suite (ε n ) est décroissante. 3. lim ε n = 0. Alors la série est convergente. Nous allons utiliser le critère de Cauchy de convergence d'une série dans un espace complet. On a : n+p n+p n N; U k = = ε n α n k=n+ k=n+ I.Elmahi 8 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques Si l'on note par S n = n α k alors l'hypothèse ) s'écrit : n N; S n M. En remarquant que : α n = S k S k on peut écrire : p N; n+p k=n+ U k = n+p k=n+ ε k (S k S k ) = ε n+ (S n+ S n ) + ε n+2 (S n+2 S n+ ) + ε n+3 (S n+3 S n+2 ) + + ε n+p (S n+p S n+p ) = ε n+ S n + S n+ (ε n+ ε n+2 ) + S n+2 (ε n+2 ε n+3 ) + + S n+p (ε n+p ε n+p ) + ε n+p S n+p ε n+ S n + S n+ ε n+ ε n+2 + S n+2 ε n+2 ε n+3 + + S n+p ε n+p ε n+p + ε n+p S n+p Or l'hypothèse ) dit : n N; S n M. l'hypothèse 2) dit : n N; ε n ε n+ i,e ε n εn + = ε n εn +. Par conséquent on a : p N; n+p k=n+ U k M [ ε n+ + n+p k=n+ Comme lim ε n = 0 (hypothèse 3)) alors : (ε k ε k+ ) + ε n+p = M [ ε n+ + (ε n+ ε n+p ) + ε n+p ] lim n+p k=n+ U k = 0 i,e ε > 0; N N; n N; On en déduit que la série ε n α n converge. n+p k=n+ U k ε ] Exemple Etudier la série complexe e inθ n α où θ [0, 2π[ α R. On a : = n α. Donc : = einθ n α Si α > ; La série est absolument convergente. Si α ; lim 0 donc lim 0 d'où la série diverge. Si 0 < α ; Si θ = 0 ; = n α diverge. Si θ 0 ; utilisons le critère d'abel : On a = ε n α n avec : ε n = n α et α n = e inθ.. lim ε n = 0. 2. La suite (ε n ) est décroissante. I.Elmahi 9 Année 2007-2008

ENSA Analyse II Séries Numériques 3. Donc M = 2 e iθ n n S n = α k = e ikθ e i(k+)θ = e iθ 2 e iθ tel que : n N; n α k M. On en déduit d'après le critère d'abel que la série est convergente. 4 Bilan Série Est ce que lim = 0? Oui Non La série diverge Fin. Série à termes positifs? Non Etudier la série Oui Test de comparaison. Test d'équivalence. Comparaison avec une intégrale. Critère de Cauchy. Citère de d'alembert. Un converge? Un converge Fin. Non = ε n α n? Oui Non Utiliser le lemme d'abel Fin. On se débrouille! Fin. I.Elmahi 20 Année 2007-2008