Cours de mathématiques 2A S2

Cours de mathématiques 2A S2 2010 2011 Cours de mathématiques du 2nd semestre de 2ème année Esstin. Professeur : Valein Julie. Amélie Caissial Quentin Grandemange Si vous trouvez des erreurs dans ce cours, veuillez me les signaler à quentin.grandemange@esstin.uhp-nancy.fr

Chapitre 1 : Séries numériques Sommaire I) Définitions et premières propriétés... 2 1) Définitions... 2 2) Premières propriétés... 3 3) Convergence absolue... 5 II) Série à termes positifs... 5 1) Critère de base... 5 2) Critères de comparaison... 6 3) Séries de comparaison... 7 A) Séries de Riemann... 7 B) Séries de Bertrand... 8 4) Critères classiques... 8 III) Séries à termes quelconques... 10 1) Méthodes générales... 10 A) Rappel... 10 B) Méthode... 10 2) Séries alternées... 11 3) Règle d Abel... 13 1

I) Définitions et premières propriétés Soit une suite de nombres réels complexes. On note. Notations : Pour, le nombre se note Plus généralement, pour tel que, la somme On remarque : 1) Définitions Définition 1 : On appelle série de terme général la suite définie par : Pour tout, est la somme partielle d ordre n de la série. La série de terme général, se note Définition 2 : On dit que la série de terme général converge ou est convergente si la suite des sommes partielles admet une limite (finie) dans K. Dans le cas contraire on dit qu elle diverge. La somme de la série convergente est la limite de la suite de ses sommes partielles et est notée. Etudier la nature d une série, c est étudier la convergence de la série. On dit que 2 séries sont de même nature si elles sont toutes les deux convergentes, ou toutes les deux divergentes. Ne pas confondre : : Série de terme général : Somme partielle : Somme de la série : Somme partielle commençant à : Somme commançant à Exemples divers : Toute série dont le terme général est nul à partir d un certain rang converge car est une suite stationaire. Pour tout,, est divergente, car. Série Arithmétiques : Les séries de la forme diverge si. car Soit la suite définie par si. pour En remarquant que, on a pour : 2

La série converge et sa somme. Exemple : Série Harmonique On considère la série de terme général Soi t, pour [ ] ; Et donc en intégrant entre k et k+1 En sommant pour variant entre et, Or : [ ] On a donc montré que pour tout Ainsi : La série Harmonique diverge. Exemple : Série Géométrique On appelle série géométrique de raison la série les sommes partielles se la série sont égales à (avec ) et admet une limite si et seulement si et cette limite vaut La série géométrique converge si et seulement si et dans ce cas la somme de la série vaut Par exemple,. 2) Premières propriétés Proposition : On ne change pas la nature d une série en modifiant un nombre fini de ses termes. Par contre, si la série est convergente, la somme va être modifiée. Retenons que l indice de départ est sans importance pour la nature de la série. Preuve : Soit et deux séries qui ne different que par un nombre fini de termes. Il existe tel que. Notons la somme et Alors, pour Donc converge si et seulement si converge et par consequant et sont de même nature. 3

Exemple : et sont toutes deux convergentes mais Théorème : Le terme général d une série convergente tend vers 0. C est-à-dire, si converge, alors. Preuve : Supposons que converge. Donc la suite des sommes partielles tend vers K. On a : Corollaire : Critère de Divergence Si la suite ne tend pas vers 0, alors la série grossièrement. diverge. On dit alors que la série diverge Exemple : La série diverge grossièrement car ( ) n admet pas de limite. Les séries géométriques de raison sont divergentes car La réciproque est fausse. C est-à-dire : n implique pas converge. Contre-exemple : La série harmonique diverge et Soit Alors, et diverge. En effet : Et donc, [ ] Donc, et la série diverge., (à faire) Proposition : L ensemble des séries convergentes forme un K-espace vectoriel et l application Somme est linéaire. C est-à-dire : est convergente et Pour tout K est convergente et Remarques : La somme d une série convergente et d une série divergente est divergente. On ne peut rien dire en général de la somme de deux séries divergentes. Exemple : diverge, diverge. et divergent et = converge 4

Proposition : Pour qu une série à termes complexes converge, il faut et il suffit que les deux séries et convergent. Dans ce cas 3) Convergence absolue Définition : On dit que la série converge. converge absolument ou est absolument convergente si la série Théorème : Toute série absolument convergente est convergente. Si c est le cas, on a alors : Exemple : converge. est absolument convergente donc convergente, car De même converge absolument car avec La réciproque est fausse, converge n implique pas que converge absolument. Contre-exemple : converge (Voir I.3.2), mais ne converge pas absolument. II) Série à termes positifs Définition : On dit qu une série est à termes positifs si. 1) Critère de base Proposition : Soit une série à termes positifs. La série converge si et seulement si la suite de ses sommes parallèles est majorée. Sa somme est alors :. La série diverge si et seulement si. Idée Preuve : Comme, la suite est croissante. 5

2) Critères de comparaison Théorème de majoration : Soient et deux séries à termes positifs. Supposons qu il existe tel que pour tout,. Alors : Si converge, alors converge. Si diverge, alors diverge. Preuve : La nature d une série ne dépendant pas de ses premiers termes, on peut supposer que. Notons et. Par hypothèse, pour tout,. Donc, par le critère de base : Si converge, alors est majorée, et donc est aussi majorée ; par le critère de base, converge. Si diverge, alors tend vers, et donc tend aussi vers ; par le critère de base, diverge. Exemple 1 : Pour tout, est convergente. Par le théorème de majoration, converge.. Or, nous avons vu que Exemple 2 : Considérons. Pour tout, et. De plus, pour avec divergente. Par le théorème de majoration, diverge. Exemple 3 : Soit et deux séries divergentes à termes positifs. Alors, comme, diverge par le théorème de majoration. Le théorème est faux si les séries ne sont pas à termes positifs. Contre-exemple : (Voir III. 2)) Théorème d équivalence : Soit et deux séries à termes positifs. Si alors et sont de même nature. 6

Preuve : Supposons que, alors. Donc à partir d un certain rang, On conclut à l aide du théorème de majoration. Exemple 1 : Considérons la série. Pour tout, donc Comme Comme diverge (c est la série harmonique), par le théorème d équivalence, diverge. Exemple 2 : Considérons. Pour, et donc De plus, Or, est la série géométrique de raison, donc convergente. D après le théorème d équivalence, est convergente. Ce résultat est faux si les séries ne sont pas à termes positifs. Contre-exemple : convergente et d une divergente). avec diverge (car somme d une converge (car somme de deux séries convergentes). 3) Séries de comparaison A) Séries de Riemann Nous allons étudier les séries de la forme Si diverge grossièrement. Si diverge grossièrement. Si diverge. Si Comme diverge par le théorème de majoration, Supposons. Soit Pour on a : * + ( ) 7

D où, en sommant pour : ( ) c est-à-dire D après les critères de base, converge pour Théorème : La série de Riemann converge si et seulement si B) Séries de Bertrand Théorème : La série de Bertrand converge si et seulement si ( ) Exemple : Etudions On a donc De plus : donc Ainsi : ( ) ( ( )) ( ). Donc est une série convergent (série de Riemann de paramètre 2>1). Par le théorème d équivalence, converge. 4) Critères classiques Règle de d Alembert : Soit une série à termes strictement positifs. Supposons que Alors : Si Si Remarque : On ne peut rien dire dans le cas où Exemples : On essayera d appliquer la règle de d Alembert lorsque le terme général de la série contient des produits et des factorielles (et des puissances n ièmes, même s il est préférable d utiliser la règle de Cauchy). 8

Exemple 1 : Etudions la série de terme général Pour tout Pour D après la règle de d Alembert, Car. converge. Exemple 2 : Etudions pour, la série On pose Pour tout On a ( ) et. D après la règle de d Alembert, converge. Exemple 3 : Etudions pour, la série. Pour Pour, on a Donc d après la règle de d Alembert : Si Si Si, série de Riemann qui converge si et seulement si Règle de Cauchy : Soit une série à termes positifs. Supposons que Alors : Si, alors converge. Si, alors diverge. Remarque : Si, on ne peut rien dire a priori. Exemples : avec donc diverge grossièrement. converge comme série de Riemann de paramètre 2>1 et On essaiera d appliquer la règle de Cauchy lorsque le terme général contient des puissances nièmes. 9

Exemple 1 : Etudions avec. Pour tout On a. D après la règle de Cauchy, converge. Exemple 2 : Etudions avec Pour On a règle de Cauchy, converge. D après la III) Séries à termes quelconques 1) Méthodes générales A) Rappel Pour déterminer la nature d une série à termes quelconques (complexes ou réels), on peut commencer par étudier sa convergence absolue, en appliquant à les méthodes des séries à termes positifs. Ainsi, la convergence absolue (et donc la convergence) de est établie si on connait une série à termes réels convergente vérifiant : à partir d un certain rang,. Exemple 1 : La série paramètre est absolument convergente car et est une série de Riemann de donc convergente. Exemple 2 : Considérons avec. Alors, pour tout. Or, et est une série de Riemann de paramètre, donc convergente. Donc, par le théorème d équivalence ( ), converge ; par suite, par le théorème de majoration, on en déduit que est absolument convergente (donc converge). B) Méthode Pour étudier la convergence d une série pour non-absolument convergente, on fera (si c est possible), un développement asymptotique (développement limité en ) du terme général de la série, le dernier terme étant : Soit le terme général d une série absolument convergente Soit à signe constant 10

Exemple : Etudions la série Or : avec : On a avec est une série de Riemann de paramètre, donc divergente. Ainsi, par le théorème d équivalence, diverge et donc n est pas absolument convergente (par le théorème d équivalence). Convergence absolue convergence mais convergence absolue convergence. Effectuons un développement asymptotique de : Suivant le développement limité de C'est-à-dire ( ) avec est une série alternée convergente (Voir III.2)) Pour assez grand, tel que : ( ) Comme est une série de Riemann de paramètre, donc convergente, par le théorème de majoration. ( Conclusion : convergente). ) est absolument convergente. converge (Somme d une série convergente et d une série absolument 2) Séries alternées Définition : On appelle série alternée, une série de la forme (ou ) où est une suite à termes positifs. Théorème : Critère des séries alternées Soit, une suite de nombres réels positifs. Si la suite est décroissante et tend vers 0, alors la série alternée (ou ) est convergente. De plus, si est la somme partielle d ordre de la série, et est la somme de la série, alors : et est du signe de (ou ). 0 11

Exemple 1 : La série harmonique alternée est une série qui vérifie le critère de série alternée car est une suite décroissante, elle est donc convergente. Exemple 2 : Plus généralement, considérons les séries de Riemann alternées où : Si le terme général ne tend pas vers 0, et donc la série diverge grossièrement. Si, est une suite à termes positifs décroissants qui tend vers 0, d après le critère des séries alternées, converge. Cependant cette série ne converge pas absolument, car diverge quand. On dit qu elle est semi-convergente. Si, la série converge absolument car converge. Le résultat est faux si ne décroit pas. Contre-exemple : C est une série alternée car pour. Mais ( ) n est pas une suite décroissante car Effectuons un développement asymptotique : Or : ( ) ( ) avec est une série qui vérifie le critère des séries alternées et donc elle converge. est divergente, c est la série harmonique. A partir d un certain rang, tel que, on a Comme est une série de Riemann de paramètre donc convergente, par le théorème de majoration : ( Conclusion : diverge. ) est absolument convergente. Remarque : Cet exemple nous donne également un contre-exemple au théorème d équivalence, le fait que les séries soient à termes positifs est essentiel. En effet : avec diverge et converge. 12

3) Règle d Abel Règle d Abel : Soit une suite à termes complexes tel que. Pour tout. Supposons que : est une suite de nombres réels positifs, décroissante et qui tend vers 0. Il existe tel que pout tout,. Alors, la série converge. Remarque : Le critère des séries alternées est un cas particulier de la règle d Abel (en prenant et ). Exemple : Considérons où et est une suite de nombres positifs, décroissantes et qui tend vers 0. On a : Donc : Avec. D après la règle d Abel, converge pour. On en déduit en particulier que pour tout, la série converge avec Par conséquent, les séries alternées réelles s et convergent. 13