Table des matières Les auteurs Avant-propos Remerciements v xvii xviii Partie 1 Algèbre 1 1 Espaces vectoriels, applications linéaires 3 I Bases........................................... 3 I.1 Combinaisons linéaires............................. 3 I.2 Familles libres.................................. 4 I.3 Familles génératrices.............................. 4 I.4 Bases et composantes.............................. 5 I.5 Applications linéaires et vecteurs....................... 6 I.6 Algèbres..................................... 7 II Somme directe de sous-espaces vectoriels....................... 7 III Image et noyau d une application linéaire....................... 10 IV Dualité en dimension finie................................ 13 V Trace d un endomorphisme............................... 15 VI Calcul matriciel et système d équations linéaires................... 16 VII Déterminant....................................... 18 VII.1 Groupe symétrique............................... 18 VII.2 Forme n-linéaire alternée sur un espace de dimension n........... 22 VII.3 Déterminants de n vecteurs.......................... 24 VII.4 Déterminant d un endomorphisme....................... 26 VII.5 Déterminant d une matrice carrée....................... 27 VII.6 Calcul du déterminant d une matrice..................... 28 VII.7 Cofacteurs et comatrice............................. 30 VII.8 Formules de Cramer............................... 32 VIII L essentiel du cours................................... 34 IX Préparation à l interrogation orale........................... 38
TABLE DES MATIÈRES X Exercices......................................... 38 XI Problème......................................... 40 Cœur et nilespace d un endomorphisme d après Ovaert et Verley........ 40 2 Réduction des endomorphismes 43 I Polynômes........................................ 44 I.1 Rappels de première année sur K[X]...................... 44 I.2 Idéal d un anneau commutatif intègre..................... 45 I.3 Idéal de l anneau K[X].............................. 47 II Sous-espaces stables par un endomorphisme..................... 48 II.1 Stabilité d un sous-espace vectoriel...................... 48 II.2 Déterminant par blocs............................. 51 II.3 Étude d une famille finie de sous-espaces stables............... 52 III Éléments propres d un endomorphisme........................ 53 III.1 Valeurs propres, vecteurs propres....................... 53 III.2 Exemples et propriété des espaces propres.................. 55 III.3 Expression matricielle.............................. 58 III.4 Diagonalisabilité................................. 59 IV Polynôme caractéristique................................ 62 IV.1 Définition du polynôme caractéristique.................... 62 IV.2 Exemples de polynômes caractéristiques................... 64 IV.3 Coefficients d un polynôme caractéristique.................. 66 IV.4 Multiplicité d une valeur propre........................ 68 IV.5 Utilisation du polynôme caractéristique pour l étude de la diagonalisabilité 69 V Polynômes d endomorphismes............................. 71 V.1 Définition d un polynôme d endomorphisme................. 72 V.2 Polynômes annulateurs d un endomorphisme................. 73 V.3 Compléments................................... 76 VI Réduction......................................... 78 VI.1 Diagonalisabilité et polynôme d endomorphisme............... 78 VI.2 Trigonalisation.................................. 81 VII Applications et compléments.............................. 85 VII.1 Suites récurrentes................................ 85 VII.2 Démonstrations du théorème de Cayley-Hamilton.............. 87 VII.3 Topologie d un espace de matrices....................... 89 VIII L essentiel du cours................................... 93 IX Préparation à l interrogation orale........................... 96 X Exercices......................................... 96 XI Problème......................................... 98 Endomorphismes vérifiant u v v u = u...................... 98 viii
3 Espaces préhilbertiens 101 I Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques................. 101 II Espaces préhilbertiens réels.............................. 106 III Formes sesquilinéaires hermitiennes, formes quadratiques............. 108 IV Produits scalaires complexes, espaces préhilbertiens complexes........... 111 V Produits scalaires et orthogonalité.......................... 113 V.1 Vecteurs orthogonaux............................. 113 V.2 Existence de bases orthonormales en dimension finie............ 114 V.3 Sous-espaces orthogonaux et projecteurs orthogonaux............ 117 V.4 Propriétés des projecteurs orthogonaux.................... 121 VI L essentiel du cours................................... 124 VII Préparation à l interrogation orale........................... 127 VIII exercices.......................................... 127 IX Problème......................................... 128 Ajustement polynomial par la méthode des moindres carrés............ 128 4 Espaces euclidiens 131 I Automorphismes orthogonaux............................. 131 I.1 Définition..................................... 131 I.2 Expression analytique.............................. 132 I.3 Le groupe orthogonal.............................. 134 II Isomorphisme avec le dual............................... 135 III Adjoint d un endomorphisme.............................. 136 III.1 Définition..................................... 136 III.2 Expression analytique.............................. 137 III.3 Propriétés du passage à l adjoint........................ 137 III.4 Sous-espaces associés.............................. 138 IV Endomorphismes autoadjoints............................. 140 IV.1 Définition..................................... 140 IV.2 Réduction des endomorphismes autoadjoints................. 140 IV.3 Norme d un endomorphisme autoadjoint................... 142 IV.4 Endomorphismes autoadjoints positifs..................... 143 V Formes quadratiques sur un espace euclidien..................... 144 V.1 Expression analytique.............................. 144 V.2 Formes quadratiques et endomorphismes autoadjoints............ 146 V.3 Réduction d une forme quadratique...................... 147 VI Coniques et quadriques................................. 149 VI.1 Coniques..................................... 149 VI.2 Quadriques.................................... 150 VII L essentiel du cours................................... 157 ix
TABLE DES MATIÈRES VIII Préparation á l interrogation orale........................... 159 IX Exercices......................................... 159 X Problème......................................... 161 Décomposition en valeurs singulières.......................... 161 Partie 2 Analyse 165 5 Espaces vectoriels normés 167 I Un peu de vocabulaire et des exemples........................ 167 I.1 Espace vectoriel normé............................. 167 I.2 Exemple des espaces préhilbertiens...................... 169 I.3 Distance associée à la norme, boules...................... 170 I.4 Parties bornées, applications bornées..................... 172 I.5 Applications lipschitziennes........................... 174 II Suites d un espace vectoriel normé........................... 175 II.1 Suites convergentes, suites divergentes.................... 175 II.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes.............. 178 II.3 Suites extraites.................................. 179 II.4 Suites réelles................................... 180 III Changement de norme.................................. 181 III.1 Le modèle.................................... 182 III.2 Notion de normes équivalentes......................... 183 III.3 Équivalence des normes d un espace de dimension finie........... 184 III.4 En dimension infinie............................... 185 III.5 Structure d espace vectoriel normé produit.................. 186 IV Suites d un espace vectoriel normé de dimension finie................ 186 IV.1 Parties et applications bornées......................... 187 IV.2 Convergence et suites coordonnées....................... 187 IV.3 Critère de Cauchy de convergence d une suite................ 188 V Topologie d un espace de dimension finie....................... 192 V.1 Point adhérent à une partie........................... 192 V.2 Parties ouvertes, parties fermées........................ 194 V.3 Point intérieur à une partie........................... 196 VI Limite et continuité en un point............................ 197 VI.1 Limite en un point, continuité......................... 197 VI.2 Propriétés élémentaires............................. 200 VI.3 Caractérisation séquentielle de la continuité................. 202 VI.4 Opérations algébriques sur les limites..................... 204 VI.5 Fonctions à valeurs réelles........................... 204 x
VII Applications continues.................................. 206 VII.1 Généralités.................................... 206 VII.2 Propriétés opératoires.............................. 208 VII.3 Problème de la continuité d une application réciproque........... 209 VII.4 Effet d une application continue sur une partie ouverte ou fermée..... 210 VII.5 Effet d une application continue sur une partie compacte.......... 211 VII.6 Effet d une application continue sur un intervalle.............. 213 VII.7 Continuité des applications linéaires et multilinéaires............ 214 VIII Relations de comparaison asymptotique........................ 217 VIII.1 Relations de comparaison asymptotique entre suites............. 217 VIII.2 Relations de comparaison asymptotique entre fonctions........... 220 VIII.3 Propriétés des relations de comparaison.................... 222 VIII.4 Relations de comparaison et opérations.................... 223 IX L essentiel du cours................................... 226 X Préparation à l interrogation orale........................... 228 XI Exercices......................................... 228 XII Problème......................................... 231 Méthode des approximations successives et accélération de convergence d après ENSAE MP 1998........................... 231 6 Séries de nombres réels ou complexes 235 I Définitions et premières propriétés........................... 235 II Séries de nombres réels................................. 238 II.1 Séries de nombres réels positifs......................... 238 II.2 Séries alternées.................................. 240 II.3 Développement décimal d un nombre réel positif............... 241 II.4 Équivalent de n! (formule de Stirling)..................... 243 II.5 Comparaison d une série à une intégrale................... 243 III Séries de nombres rééls ou complexes......................... 244 III.1 Séries absolument convergentes........................ 244 III.2 Produit de Cauchy............................... 245 IV Compléments sur les séries............................... 246 IV.1 Critère d Abel.................................. 246 IV.2 Critère de Duhamel............................... 247 V L essentiel du cours................................... 248 VI Préparation à l interrogation orale........................... 250 VII Exercices......................................... 250 VIII Problème......................................... 251 Quelques propriétés des séries numériques avec une approche algorithmique d après Centrale 2009.............................. 251 xi
TABLE DES MATIÈRES 7 Fonctions vectorielles d une variable réelle. Courbes paramétrées 257 I Dérivation des fonctions vectorielles.......................... 257 I.1 Dérivabilité en un point............................. 257 I.2 Dérivabilité sur un intervalle.......................... 259 I.3 Opérations sur les fonctions dérivables.................... 259 I.4 Dérivées d ordre supérieur........................... 262 I.5 Fonctions de classe C p par morceaux..................... 264 I.6 Difféomorphismes................................ 265 II Définition de l intégrale sur un segment........................ 265 II.1 Intégrale d une fonction en escalier...................... 266 II.2 Intégrale d une fonction continue par morceaux............... 268 II.3 Intégrale d un produit.............................. 272 II.4 Sommes de Riemann.............................. 274 III Lien entre dérivation et intégration des fonctions à valeurs vectorielles...... 276 IV Inégalités des accroissements finis........................... 280 IV.1 Cas réel : rappels................................ 280 IV.2 Cas vectoriel................................... 281 V Formules de Taylor.................................... 282 VI Théorème de relèvement................................. 285 VII Courbes d un espace vectoriel normé de dimension finie............... 286 VII.1 Arcs paramétrés................................. 286 VII.2 Étude locale................................... 287 VII.3 Étude des branches infinies d une courbe plane............... 288 VII.4 Longueur d un arc, abscisse curviligne..................... 291 VII.5 Repère de Frenet, courbure........................... 292 VIII L essentiel du cours................................... 294 IX Préparation à l interrogation orale........................... 298 X Exercices......................................... 298 XI Problèmes......................................... 300 Intégrales de Dirichlet.................................. 300 Polynômes de Bernoulli................................. 301 8 Suites et séries de fonctions 305 I Suites de fonctions.................................... 305 I.1 Convergence d une suite de fonctions..................... 305 I.2 Limite et continuité............................... 308 I.3 Intégration d une suite de fonctions...................... 310 I.4 Dérivation.................................... 311 II Séries de fonctions.................................... 312 II.1 Convergences des séries de fonctions...................... 312 II.2 Propriétés de la somme............................. 315 xii
II.3 Exemple d étude de séries de fonctions, remarques sur l étude aux bords. 318 III Approximation des fonctions.............................. 320 III.1 Fonctions continues par morceaux....................... 320 III.2 Les théorèmes d approximation........................ 321 IV L essentiel du cours................................... 324 V Préparation à l interrogation orale........................... 326 VI Exercices......................................... 326 VII Problèmes......................................... 327 Développement eulérien du sinus et formule des compléments........... 327 Convergence de séries trigonométriques........................ 328 9 Séries entières 331 I Rayon de convergence d une série entière....................... 331 I.1 Série entière d une variable réelle ou complexe................ 331 I.2 Rayon de convergence d une série entière................... 332 I.3 Nature de la convergence d une série entière................. 336 I.4 Somme de deux séries entières......................... 337 I.5 Produit de Cauchy de deux séries entières.................. 338 II Séries entières d une variable réelle........................... 339 II.1 Propriétés de la somme d une série entière.................. 339 II.2 Fonction développable en série entière..................... 342 III Méthodes......................................... 347 III.1 Développement d une fonction en série entière................ 347 III.2 Détermination de la somme d une série entière................ 349 IV Applications....................................... 351 IV.1 Régularité d une fonction............................ 351 IV.2 Définition de l exponentielle complexe..................... 351 IV.3 Fonction génératrice d une suite........................ 352 IV.4 Exemples de fonctions analytiques (hors programme)............ 353 IV.5 Fonctions absolument monotones....................... 354 IV.6 Comportement de la somme d une série entière au voisinage de R..... 355 V L essentiel du cours................................... 357 VI Préparation à l interrogation orale........................... 358 VII Exercices......................................... 358 VIII Problème......................................... 359 Convergence au sens d Abel............................... 359 10 Séries de Fourier 361 I Préliminaires....................................... 362 I.1 Fonctions de classe C k par morceaux..................... 362 I.2 Produit scalaire pour les fonctions 2π-périodiques.............. 364 xiii
TABLE DES MATIÈRES II Coefficients de Fourier.................................. 365 II.1 Définition..................................... 365 II.2 Premières propriétés............................... 367 II.3 Comportement asymptotique des coefficients de Fourier.......... 370 III Convergence des séries de Fourier........................... 372 III.1 Théorème de Dirichlet.............................. 372 III.2 Théorème de convergence uniforme...................... 375 III.3 Convergence en moyenne quadratique..................... 376 IV Fonctions de période quelconque............................ 378 V L essentiel du cours................................... 380 VI Préparation à l interrogation orale........................... 382 VII Exercices......................................... 382 VIII Problèmes......................................... 384 Unicité du développement en série trigonométrique d après les concours nationaux marocains 2005........................... 384 Théorème de Fejér.................................... 385 11 Intégration sur un intervalle 387 I Intégrales impropres................................... 388 I.1 Définition d une intégrale impropre convergente............... 388 I.2 Nature des intégrales des fonctions usuelles.................. 394 I.3 Intégrales impropres des fonctions positives.................. 395 I.4 Intégrales absolument convergentes...................... 398 I.5 Notion de fonction intégrable.......................... 402 II Propriétés de l intégrale des fonctions intégrables.................. 404 II.1 Propriétés élémentaires............................. 404 II.2 Changement de variable, intégration par parties............... 406 II.3 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique............. 409 III L essentiel du cours................................... 412 IV Préparation à l interrogation orale........................... 414 V Exercices......................................... 414 VI Problème......................................... 415 Le problème du transport de Monge d après Mines-Ponts PSI 2005....... 415 12 Théorème de convergence dominée, intégrales dépendant d un paramètre 417 I Intégration des suites et séries de fonctions...................... 417 I.1 Théorème de convergence dominée....................... 417 I.2 Intégration terme à terme d une série de fonctions.............. 420 II Intégrales dépendant d un paramètre......................... 424 II.1 Théorèmes de continuité et de dérivabilité.................. 424 II.2 Théorèmes avec hypothèses de domination locale.............. 427 II.3 Fonction Γ.................................... 429 xiv
III L essentiel du cours................................... 432 IV Préparation à l interrogation orale........................... 434 V Exercices......................................... 434 VI Problème......................................... 435 Transformée de Fourier................................. 435 13 Équations différentielles 437 I Systèmes d équations linéaires d ordre 1........................ 437 I.1 Généralités.................................... 437 I.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz....................... 439 I.3 Système homogène................................ 441 I.4 Système complet................................. 443 I.5 Solutions réelles des systèmes réels...................... 445 II Équations scalaires.................................... 445 II.1 Lien avec les systèmes d ordre 1........................ 445 II.2 Équation scalaire d ordre 1........................... 446 II.3 Équation scalaire d ordre 2........................... 448 II.4 Équation scalaire d ordre n.......................... 452 III Systèmes à coefficients constants............................ 454 III.1 Utilisation de valeurs propres.......................... 454 III.2 Utilisation d un changement de base...................... 455 III.3 Étude des systèmes dans R 2.......................... 456 IV Équations différentielles non linéaires......................... 459 IV.1 Deux exemples.................................. 459 IV.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz....................... 460 IV.3 Équation autonome............................... 461 IV.4 Équations à variables séparées......................... 461 V Approximation numérique des solutions........................ 462 VI L essentiel du cours................................... 466 VII Préparation à l interrogation orale........................... 468 VIII Exercices......................................... 468 IX Problème......................................... 470 Équation de Sturm-Liouville d après concours de l École polytechnique 2008.. 470 14 Fonctions de plusieurs variables réelles 473 I Calcul différentiel.................................... 474 I.1 Différentiabilité en un point.......................... 474 I.2 Différentiabilité des fonctions de classe C 1.................. 480 I.3 Propriétés générales des fonctions de classe C k................ 486 I.4 Fonctions numériques de classe C k, k 1.................. 491 xv
TABLE DES MATIÈRES II Applications à la géométrie différentielle....................... 499 II.1 Tangente en un point régulier d une courbe de classe C 1.......... 499 II.2 Plan tangent en un point régulier d une surface de classe C 1........ 505 II.3 Intersection de surfaces. Position d une surface par rapport à son plan tangent...................................... 510 III L essentiel du cours................................... 513 IV Préparation à l interrogation orale........................... 516 V Exercices......................................... 516 VI Problème......................................... 518 Courbures des surfaces dans l espace euclidien R 3 d après École polytechnique, Math II 2004................................... 518 15 Intégrales multiples et curvilignes 521 I Intégrales doubles et triples............................... 522 I.1 Intégrale double sur un pavé compact..................... 522 I.2 Intégrale double sur un pavé quelconque................... 523 I.3 Intégrale double sur une partie simple..................... 524 I.4 Changement de variables............................ 528 I.5 Extension aux intégrales triples........................ 529 II Intégrales curvilignes.................................. 532 II.1 Formes différentielles de degré 1........................ 532 II.2 Intégrales curvilignes.............................. 535 II.3 Formule de Green-Riemann........................... 536 III L essentiel du cours................................... 539 IV Préparation à l interrogation orale........................... 541 V Exercices......................................... 541 VI Problème......................................... 542 Intégrale de Dirichlet.................................. 542 Partie 3 Solutions des tests 545 Partie 4 Solutions des colles 579 Partie 5 Solutions des exercices 599 Partie 6 Solutions des problèmes 689 Index 737 xvi