Eercices mars 6 Intégration et primitives Notion d intégrale Eercice Pour chaque fonction affine définie par morceau f, représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l intégrale I de f sur l intervalle de définition de f.. C f 3.5 C f 3 3.5. 3 5 6 7 8 9 Eercice Polynésie juin 3 n considère la fonction f définie surrpar : f ()=(+)e n note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. n note D le domaine compris entre l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équation = et =. n approche l aire du domaine D en calculant une somme d aires de rectangles. a) Dans cette question, on découpe l intervalle [ ; ] en quatre intervalles de même longueur : Sur l intervalle [ ; ], on construit un rec- tangle de hauteur f () [ Sur l intervalle ; ( ) tangle de hauteur f ], on construit un rec- [ Sur l intervalle ; 3 ( ) tangle de hauteur f ], on construit un rec- [ ] 3 Sur l intervalle ;, on construit un rectangle de hauteur f ( ) 3 Cette construction est illustrée ci-contre. C paul milan Terminale S
L algorithme ci-contre permet d obtenir une valeur approchée de l aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents. Donner une valeur approchée à 3 près du résultat affiché par cet algorithme. S agit-il d une valeur par ecès ou par défaut? Variables : I entier et S réel Entrées et initialisation S Traitement pour I variant de à 3 faire S+ ( I ) f S fin Sorties : Afficher S b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à. n découpe l intervalle [ ; ] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu à la question a). Modifier l algorithme précédent afin qu il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits. Faites le calcul pour N=. c) Vérifier le résultat en calculant la valeur approchée de l intégrale de f de à. Quelle est l erreur commise en prenant N=, valeur trouvée en a). Eercice 3 Dans chaque cas, la fonction f est représentée par sa courbe C f, dont une équation est indiquée. ) Prouver que C f est un demi-cercle. Préciser son centre et son rayon. ) En déduire l intégrale I de f sur son intervalle de définition. En donner ensuite une valeur approchée puis vérifier le résultat sur votre calculette. C f y= C f y=+ ( ) 3 + Eercice Les fonctions affines par morceau f et g sont définies sur l intervalle [ ;5] par : +3 si f ()= +3 si < 3 et g() = + 3 si 3 si 3< 5 + 5 si < 5 ) Tracer séparément les fonctions f et g ) Calculer les intégrales I et J sur [ ;5] de f et g. 3) En déduire les intégrales sur [ ;5] des fonction f+ g et 5 f g paul milan Terminale S
Primitive Eercice 5 Prouver dans les cas suivantes que la fonction F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I. ) f ()= ( ) ; F()= + ; I=];+ [ ) f ()= 3 +e ; F()= ln(+e ) ; I=R 3) f ()= ; F()=ln(ln ) ; I=];+ [ ln ) f ()=cos sin ; F()= cos ; I=R Eercice 6 Montrer que les fonction F et G sont deu primitives de la même fonction f sur un intervalle I. Pouvait-on prévoir ce résultat? F()= + 3 ; G()= + 7 5 ; I=];+ [. Calcul de primitive Pour les eercices de 7 à 3, donner une primitive de la fonction f sur l intervalle I. Eercice 7 Linéarité de la primitive ) f ()= 3 + +3, I=R ) f ()= +, I=R 3 3) f ()= 3, I=];+ [ ) f ()= 3+, I=];+ [ 5) f ()= + e, I=];+ [ Eercice 8 Forme u u n ) f ()=(+) 3, I=R ) f ()=(3 ) 3, I=R ) f ()=(+ ) 5, I=R 3) f ()= ( )5, I=R 3 5) f ()=sin cos, I=R Eercice 9 Forme u u ) f ()=, I=];+ [ ) f ()=, I=] ; [ paul milan 3 Terminale S
3) f ()=, I=]; [ Eercice Forme u un, n ) f ()= (+), 3 ) f ()= 3) f ()= I=] ;+ [ (3 ), I=] ; [ 3 ( +3), I=R ) f ()= 5) f ()=, I=] ; 3[ ( 3) ( 3 + 8) 3, I=] ;+ [ Eercice Forme u u ) f ()= +, I= ] ;+ [ ) f ()=, I=];+ [ Eercice Forme u e u ) f ()=e +, I=R ) f ()=e 3, I=R 3) f ()= e, I=R ) f ()=sin e cos, I=R Eercice 3 Forme u(a+b) ) f ()=cos(3)+sin(), I=R ) f ()=3 cos sin()+, I=R ( π ) 3) f ()=sin 3, I=R Eercice Pour les eercices suivants, trouver la primitive F, de la fonction f, qui vérifie la condition donnée sur un intervalle I à préciser. ) f ()= + 3 +, F()= ) f ()= +, F()= 3) f ()= (+), F()= ) f ()= 3, F()= 5) f ()= ( ), F()= 6) f ()=e 3+, F( )= 7) f ()= e, F( ln )= paul milan Terminale S
8) f ()= + +, F()= 9) f ()=sin ( π ), F ( π = ) ( π ) f ()=cos sin, F = ) ) f ()= cos 3 sin ( π ), F = Calcul de primitive plus difficile Eercice 5 Calculer une primitive de la fonction f sur l intervalle indiquée. ) f ()= 3 ) f ()= cos sin I=] ; [ I=] π; [ 3) f ()= e I=];+ [ ) f ()= Eercice 6 cos sin I=];+ [ 5) f ()= 6) f ()= ln ln I=];+ [ I=];+ [ 7) f ()= ln I=];+ [ 8) f ()= e e e + e I=R f désigne une fonction rationnelle définie sur un intervalle I. Déterminer une primitive de f à l aide de la décomposition proposée ) f ()= +5 ] + I= [. ;+ b Montrer que f ()=a+ + ) f ()= 3 I=];+ [. Montrer que f ()=a+b+ c 3) f ()= 3 + +3 a) I=]3;+ [ b) I=] 3; 3[ c) I=] ; 3[ ) f ()= + + ( ) I=];+ [. Montrer que f ()= Calcul d intégrale a b ( ) + (+) Pour les eercices 7 et 8, calculer les intégrales indiquées à l aide d une primitive. Eercice 7 ) I= ( 3) d 3) I= ( t + t ) dt t 5) I= ln 3 ln e d ) I= (t t+3) dt ) I= 3 ( + ) d 6) I= 3 dt (t+) Eercice 8 paul milan 5 Terminale S
) I= d 3) I= d 5) I= 5e 3 d ) I= 3 d ) I= 3 d 6) I= te t dt Eercice 9 ) a) Trouver trois réel a, b et c tels que : b) En déduire : I= + 7+ + d + 7+ + e ) a) Prouver que pour tout réel : +e= +e b) En déduire : I= +e d = a+b+ c + Encadrement et valeur moyenne Eercice Comparer, sans les calculer les réels I et J. ) I= Eercice e d ) J= Démontrer les encadrements suivants : ) ) 9 5) ln 3 + t dt + 3 d 3 Eercice ln( ) d ln 3+ ln 5 e d 3) +t dt 3 ) e n donne la fonction définie surrpar : f ()= e,t a) Déterminer une primitive de f. e,t + 9 d e b) Calculer la valeur moyenne µ de f sur l intervalle [5 ;]. En donner une valeur approchée à. Eercice 3 n donne la valeur moyenneµ=d une fonction f sur l intervalle [ ;]. Déterminer f () d paul milan 6 Terminale S
Eercice Calculer la valeur moyenneµsur l intervalle [ ; ] de la fonction f : (Indication : on pourra penser au cercle de centre et de rayon ) Intégrale et suite Eercice 5 La suite (I n ) est définie surnpar : I n = ) Prouver que la suite (I n ) est décroissante. ) Est-elle convergente? Eercice 6 (+t n ) dt Pour tout entier naturel non nul n, on pose : I n = ) Démontrer que n+ I n n ) La suite (I n ) est-elle convergente? Eercice 7 f est la fonction définie surr + par : f ()= La suite (u n ) est définie surnpar : u n = n +. n+ n f (t) dt ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. ) Prouver que pour tout entier n, u n n (Indication : on montrera que : Annales Eercice 8 Métropole juin d. La suite (u n) converge t-elle?, f () n+ ) Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle [;+ [ par : f ()= ( + + ln ). + ) Déterminer la limite de la fonction f en+. ) Démontrer que pour tout réel de l intervalle [ ;+ [, f ()= (+). Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3) En déduire le signe de la fonction f sur l intervalle [ ;+ [. Partie B Soit (u n ) la suite définie pour n par : u n = + + 3 +...+ n ln n ) n considère l algorithme suivant : paul milan 7 Terminale S
Donner la valeur eacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n=3. Variables : N, I entiers U réel Entrées et initialisation Lire N U Traitement pour I de à N faire fin U+ I U Sorties : Afficher U ) Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur de u n lorsque l utilisateur entre la valeur de n. 3) Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à 3. n 5 6 7 8 9 5 u n,697,67,658,67,638,63,66,58,578,578,577 À l aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (u n ) et son éventuelle convergence. Partie C Démonstrations des conjectures formulées à la partie B ) Démontrer que pour tout entier strictement positif n : u n+ u n = f (n) f est la fonction de la partie A. En déduire le sens de variation de la suite (u n ). ) a) Soit k un entier strictement positif. k+ ( Justifier l inégalité k k ) d. k+ En déduire que d k. k Démontrer l inégalité ln(k+) ln k (). k b) Écrire l inégalité () en remplaçant successivement k par,,..., n et démontrer que pour tout entier strictement positif n, ln(n+) + + 3 +...+ n. c) En déduire que pour tout entier strictement positif n, u n. 3) Prouver que la suite (u n ) est convergente. n ne demande pas de calculer sa limite. Remarque : Cette limite s appelle la constante d Euler. C est l une des constantes les plus importantes de l analyse avec e etπ. Elle est reliée à la fonction dzétaζ de Riemann qui intervient dans l étude de la répartition des nombres premiers. Eercice 9 Centres étrangers juin n considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par : I n = n e d paul milan 8 Terminale S
) a) Soit g la fonction définie par g()= e. Démontrer que la fonction G définie surrpar G()= e est une primitive surr de la fonction g. b) En déduire la valeur de I. c) n admet que, pour tout entier naturel n, on a : I n+ = n+ e I n Calculer I 3 et I 5. ) n considère l algorithme suivant : Quel terme de la suite (I n ) obtient-on en sortie de cet algorithme? Quelle est sa valeur? Variables : n entier, u réel Entrées et initialisation n e u Traitement tant que n< faire n+ e u u n+ n fin Sorties : Afficher u 3) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n. b) Montrer que la suite (I n ) est décroissante. c) En déduire que la suite (I n ) est convergente. n notelsa limite. ) Déterminer la valeur del. n pourra raisonner par l absurde. Calcul d aire Eercice 3 n considère deu fonctions f et g définies respectivement sur ];+ [ par : f ()= ln et g()= ln n note C f et C g les courbe respectives des fonction f et g. ) Démontrer que les courbes C f et C g admettent deu points communs dont on précisera les coordonnées. ) Étudier la position relative des courbes C f et C g. 3) n a tracé les courbes C f et C g. Identifier chaque courbe puis déterminer l aire A en cm de la partie du plan délimitée par les courbes C f et C g et par les droites d équations = et =e. L unité est de cm sur l ae des abscisses et de cm sur l ae des ordonnées..5 3 paul milan 9 Terminale S
Eercice 3 N lle Calédonie mars Soit f la fonction définie sur [ ; ] par f ()= e. n désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal ( ), ı, j. Soit a un nombre réel appartenant à l intervalle [ ; ]. Sur la courbe C f, tracée ci-après, on a placé les points A et B d abscisses respectives a et. n a tracé les segments [A] et [AB]. n a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [A] et [AB] et la courbe C. n a placé les points A (a ; ) et B ( ; ). Le but de l eercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l aire de la partie du plan hachurée en annee est minimale. Partie A : ) Montrer que la fonction F définie sur [ ;] par F()=( )e est une primitive de f sur [ ;]. En déduire que e d=. ) a) Donner l aire du triangle AA et montrer que l aire du trapèze ABB A est égale à ( a e a + ae a ae+e ). b) En déduire que l aire de la partie du plan hachurée est égale à (aea ae+e ). Partie B : Soit g la fonction définie sur [;+ [ par : g()= (e e)+e ) Soit g la fonction dérivée de la fonction g. Calculer g pour tout réel de [;+ [. Vérifier que la fonction dérivée seconde g est définie sur [;+ [ par : g ()=(+ )e. ) En déduire les variations de la fonction g sur [;+ [. 3) Établir que l équation g ()= admet une solution uniqueαdans l intervalle [;+ [. Déterminer une valeur approchée deαà près. ) En déduire les variations de la fonction g sur [;+ [. 5) En utilisant les réponses au questions des parties A et B, montrer qu il eiste une valeur de a pour laquelle l aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a. paul milan Terminale S
y,5 B,,5 C f,,5 A B,, A,6,8, Eercice 3 Asie juin : etrait La longueur L d une chaîne, suspendue entre deu points d accroche de même hauteur ayant une tension minimale au etrémités, est donnée par l epression L= ( e a + e a) d Calculer la longueur d une chaîne ayant une tension minimale au etrémités, en prenant, comme valeur approchée du nombre a. Eercice 33 Polynésie juin : etrait Soient f et g les fonctions définies surrpar : f ()=e et g()=e n note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. ) a) Pour tout réel, développer l epression ( e ). b) Déterminer la position relative des courbes C f et C g. ) Calculer, en unité d aire, l aire du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d équations respectives = et =. Eercice 3 Centre étranger juin : suite eo 6 du chapitre 6 n s intéresse à des fonctions de retouche f dont l effet est d éclaircir l image dans sa globalité, c est-a-dire telles que, pour tout réel de l intervalle [ ; ], f (). n décide de mesurer l éclaircissement global de l image en calculant l aire A f de la portion de plan comprise entre l ae des abscisses, la courbe représentative de la fonction f, et les droites d équations respectives = et =. paul milan Terminale S
Entre deu fonctions, celle qui aura pour effet d éclaircir le plus l image sera celle correspondant à la plus petite aire. n désire comparer l effet des deu fonctions suivantes, dont on admet qu elles sont des fonctions de retouche : f ()= e ( ) f ()= 5+ 6 + ) Calculer A f et A f ) De ces deu fonctions, laquelle a pour effet d éclaircir le plus l image?,,5 C f A f,5, Eercice 35 Liban mai 5 n définit la suite (u n ) de la façon suivante : n N, u n = ) Calculer u = + d. ) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n+ + u n = n+. b) En déduire la valeur eacte de u. n + d 3) a) Recopier et compléter l algorithme ci-dessous afin qu il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (u n ) où n est un entier naturel saisi en entrée par l utilisateur. Variables : i, n entiers naturels u : réel Entrées et initialisation Saisir n Affecter à u la valeur... Traitement pour i variant de à... faire Affecter à u la valeur...... fin Sorties : Afficher u b) Rentrer cet algorithme dans votre calculatrice et compléter le tableau de valeurs suivant : n 5 5 u n,693,36 9 Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (u n ) peut-on émettre? ) a) Démontrer que la suite (u n ) est décroissante. b) Démontrer que la suite (u n ) est convergente. 5) n appellella limite de la suite (u n ). Démontrer quel=. paul milan Terminale S
Calcul de volume de solide de révolution Eercice 36 Volume d un phare Calculer le volume V du phare ci-contre obtenu par révolution autour de l ae (z) du morceau de parabole d équation : z z= ( ) dans le plan (z) ; unité 6 cm Eercice 37 Contenance d un château d eau L intérieur d un château d eau a la forme du solide de révolution obtenu en faisant tourner autour de (z) la branche d hyperbole définie par : z z=5 z. L unité étant égale à m, calculer la contenance du château d eau (en hectolitre). Eercice 38 La trompette Déterminer le volume de la trompette obtenue par révolution autour de l ae (z) du morceau de parabole d équation : y avec z y=z z paul milan 3 Terminale S