TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Chpitre 6 - Intégrtion I Intégrle d une fonction positive TD1 : Des clculs d ire Définition 1 Dns un repère orthogonl (O, I, J), on ppelle unité d ire l ire du rectngle de côtés les segments [OI] et [OJ]. 1. Pour chcune des figures ci-dessous, donner l ire de l prtie colorée en unités d ire, en utilisnt les crreu puis clculer chque ire en utilisnt une formule : Figure 1 Figure Figure 3. Dns l question précédente on pu clculer les ires cr on connissit des formules, vues dès le collège, pour clculer l ire d un rectngle, d un tringle ou l ire d un trpèze. L ojectif de ce chpitre est de découvrir un nouvel outil permettnt de clculer l ire d utres surfces. Sur l figure ci-contre, on représenté l fonction crrée sur [; ]. () En utilisnt le tringle OAI et le trpèze AIBC, déterminer une vleur pprochée de l ire de l surfce colorée en unités d ires. () Cette ire est égle à d, ppelée intégrle de l fonction crré entre et. L clcultrice permet de déterminer une vleur pprochée de cette intégrle : pour Csio, ppuyer sur OPTN choisir CALC puis d et sisir X,,. pour Tes, ppuyer sur mth choisir intégrfonct et sisir X,X,,. Quelle est l vleur pprochée donnée pr l clcultrice? -1-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Définition Soit f une fonction continue et positive sur une intervlle [; ]et C s coure représenttive dns un repère orthogonl. On ppelle intégrle de f entre et, l ire, eprimée en unités d ire, de l surfce délimitée pr l coure C, l e des scisses et les droites d éqution = et =. Cette ire est ppelée «ire sous l coure de f». Cette intégrle se note : f() d et se lit «intégrle de à de f». est l orne inférieure de cette intégrle et l orne supérieure 1. L intégrle d une fonction positive entre et, vec, est positive.. Si f est définie sur [; ] pr f() = k vec k une constnte positive, lors f() d = k( ). Démonstrtion 1. L intégrle d une fonction positive sur [; ] est une ire, une ire est toujours positive.. Si f() = k vec k >, lors l ire recherchée est celle du rectngle de côtés k et. Cette ire est donc égle à k( ). Lorsque k =, le rectngle est plti et son ire est égle à. --
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 TD : Une ire vrile On s intéresse à l fonction F telle que F () = sur R. f(t) dt où f est une fonction continue et positive 1. Sur l figure ci-dessous, on représenté l fonction ffine f définie sur [; + [ pr : f() = +. () On ppelle S() l ire, en unités d ire, du domine coloré. En utilisnt l formule donnnt l ire d un trpèze, eprimer l ire S() en fonction de. () Clculer l dérivée de l fonction S et l comprer à f. (c) Quelle conjecture peut-on fire sur F () pour >?. Dns cette question, on v utiliser l fonction TABLE de l clcultrice pour comprer F et f pour différentes fonctions f. () On compre d ord F et f lorsque f est l fonction crré. Csio Sélectionner le menu TABLE. Tes Appuyer sur l touche f(). Dns l ligne Y1, sisir X. Dns l ligne Y1, sisir X. Dns l ligne Y, OPTN puis CALC Dns l ligne Y, mth puis intégrfonct( puis d et sisir Y1,,X. et sisir Y1,X,,X. Dns l ligne Y3, OPTN puis CALC Dns l ligne Y3, mth puis nredérivé( puis d/d et sisir Y,X. et sisir Y,X,X. () Régler les prmètres de l TABLE de l clcultrice pour otenir les vleurs de de, 5 à 4 vec un ps de, 5. Que peut-on remrquer pour les colonnes Y1 et Y3? Quelle conjecture peut-on fire pour F? (c) En chngent l epression sisie en Y 1, fire une conjecture concernnt F lorsque l fonction f est l fonction rcine crrée. Théorème Si f est une fonction continue et positive sur [; ], l fonction F F () = définie sur [; ] pr f(t) dt est dérivle sur [; ] et pour dérivée f. On insi F () = f(). Eemple Pour F () = t dt, on f(t) = t. F est dérivle sur [; + [ et F () = f() ; c est-à-dire F () =. -3-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 II Primitives d une fonction continue Définition 3 Soit f une fonction continue sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, une fonction F dérivle sur I dont l dérivée est égle à f. Ainsi, pour tout de I, F () = f(). Remrque On dit que «F pour dérivée f» et «f pour primitive F». TD3 : À l recherche de fonctions 1. Compléter le tleu ci-dessous : Fonction F définie sur I pr Fonction dérivée F F () = I = R F () = F () = 3 I = R F () = F () = e I = R F () = F () = 1 I =] ; [ ]; + [ F () = F () = ln I =]; + [ F () =. () En utilisnt le tleu précédent, déterminer une fonction F dont l dérivée est l fonctionf définie sur R pr f() =. Eiste-t-il d utres fonctions qui dmettent l même dérivée? () Donner une fonction F dont l dérivée est l fonction définie sur R pr f() = 3. (c) En déduire une fonction G dont l dérivée est l fonction g définie sur R pr g() =. (d) Déterminer des fonctions dont l dérivée est l fonction f telle que f() = 1 sur ]; + [. 3. Dns une usine, le coût mrginl de friction en euros du -ième kilogrmme de onons est : C m () = 3 3 + 75. Schnt que le coût fie est nul et que C m () = C (), déterminer l fonction coût. Théorème Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur ce même intervlle. Soit f une fonction continue sur un intervlle I. -4-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Si F est une primitive de f sur un intervlle I, lors toutes les primitives de f sont les fonctions G définies sur I pr G() = F () + k où k est un réel. Soit un réel de I et y un réel ; il eiste une unique primitive F de f qui prend en l vleur y, c est-à-dire telle que F ( ) = y. Primitives des fonctions usuelles Pr lecture inverse du tleu des dérivées, on otient le tleu ci-dessous. Fonction f Une primitive F Intervlle de vlidité f() = F () = R f() = n vec n N f() = 1 F () = n+1 n + 1 F () = 1 R ] ; [ ]; = [ f() = 1 F () = ln ]; = [ f() = e F () = e R f() = 1 F () = ]; = [ Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I et k un réel quelconque : Une primitive de kf est kf vec F une primitive de f. Une primitive de f + g est F + G vec F et G respectivement des primitives de f et g. Une primitive de u e u est e u, vec u une fonction dérivle sur I. Eemple Pour f telle f() = 3, une primitive est F telle que F () = 4 4. Pour g telle que g() = e, une primitive est G telle que G() = e. III Intégrle d une fonction continue Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; ]. Si F est une primitive de l fonction f, lors f()d = F () F (). Cette formule s étend u fonctions continues de signes quelconques sur un intervlle I vec et deu réels quelconques de I et on peut lors définir l intégrle d une fonction continue de signe quelconque. -5-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Définition 4 Soit f une fonction continue sur un intervlle I, F une primitive de f, et et deu réels quelconques de I. On ppelle intégrle de f entre et l différence F () F () ; on note intégrle. f()d cette Soit f et g deu fonction continues sur un intervlle I,,, c trois réels de I et k un réel quelconque. 1 3 4 f()d =. f()d = kf()d = k (f() + g()) d = 5 Reltion de Chsles : f()d + f()d + 6 Si f() pour tout de [; ], lors g()d. c f()d = f()d. c Démonstrtion Soit F une primitive de f et G une primitive de g. 1 f()d = F () F () =. f()d = F () F () = (F () F ()) = 3 On sit que kf est une primitive de kf, donc : kf()d = kf () kf () = k(f () F ()) = k 4 Ici on utilise le fit que F + G est une primitive de f + g. c 5 f()d + f()d = F () F () + F (c) F () = F (c) F () = 6 Découle de l définition de l intégrle dns le cs où f est positive. Conséquence de l propriété 6 : Si f() g() sur [; ], lors f()d g()d. En effet : si f() g(), lors f() g(), donc (f() g())d d où soit f()d g()d. c f()d g()d -6-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 (Clculs d ires) Soit f une fonction continue et négtive sur [; ], l ire eprimée en unités d ire de l surfce plne délimitée pr l coure C f, l e des scisses et les droites d équtions = et =, est égle à Soit f et g deu fonctions continues et positives sur [; ] telles que f() g() pour tout de [; ]. L ire eprimée en unités d ire du domine délimité pr les coures C f et C g et les droites d équtions = et = est égle à (f() g()) d = f()d g()d Eemple Soit f et g définies sur R pr f() = 4 et g() = +. Leurs coures C f et C g se coupent en -1 et, et sur [ 1; ], C f est située u-dessus de C g Ç ß On clcule l différence : h() = f() g() = 4 + = + +. Une primitive de h sur [ 1; ] est H() = 3 3 + +. Alors, l ire entre les deu coures, en unité d ire, est : 1 (f() g()) d = 1 h()d = H() H( 1) = 1 3 7 6 = 9 = 4, 5u.. -7-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 IV IV.1 Applictions du clcul intégrl Vleur moyenne d une fonction continue Définition 5 Soit f une fonction continue sur un intervlle [; ]. L vleur moyenne de f sur [; ] est le nomre m défini pr : m = 1 Si f est strictement positive sur [; ], l vleur moyenne de f est l huteur du rectngle de lrgeur qui l même ire que l ire sous l coure. Eemple Le énéfice, en milliers d euros, d une production de q kg de produit de euté est donné pr : f(q) = 3q + 6q 1, 5 pour une quntité q de produit vrint de à kg. L vleur moyenne de ce énéfice sur [; ] est : m = sur [; ]. Une primitive de f est F (q) = q 3 + 3q 1, 5q. 1 f(q)dq = F () = 3 + 3 F () F () 1, 5 = 1 et F () = d où m = = 1 = 1 =, 5. Ainsi, l vleur moyenne du énéfice de à kg est,5 millier d euros. Pour toute quntité, l vleur moyenne du énéfice sur [; ] est : 1 m() = F () F () f(q)dq = = 3 + 3 1, 5 = + 3 1, 5. Attention à ne ps confondre vec le énéfice moyen pour une quntité donné pr : B m () = f() = 3 + 6 1, 5 = 3 + 6 1, 5. F () F (), où F est une primitive de f IV. Indice de Gini (économiste itlien de l fin du XIX e siècle) Un ppliction clssique de l intégrle est le clcul de l indice de concentrtion d une réprtition de iens, ptrimoine, revenus ou slires. Dns un crré OBAC de côté 1 (ou 1%), on représente une fonction f de réprtition pr l coure de Lorenz et le segment [OA], segment de l droite d éqution y =. -8-
TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 ½ Ü È Üµ Å Ç Ü ½ L ire de concentrtion A est l ire située entre l coure de Lorenz et le segment [OA] en u.. On mesure l concentrtion pr l indice de Gini, rpport de l ire de concentrtion pr rpport à l ire du tringle OAB. γ = ire de concentrtion ire du tringle OAB = A, 5 = A = 1 ( f()) d Comme l indice de Gini est un rpport entre deu ires de même unité, l indice de Gini n ps d unité. Appliction : 47 pge 165-9-