1 ère S1 Contrôle du ardi 15 novebre 011 (3 heures) Des copies déjà préparées sont jointes au sujet. Lire attentiveent les consignes générales données sur la dernière page de l énoncé. Des aides pour la rédaction de certaines questions sont égaleent données à la fin du sujet. Elles sont entionnées pour chaque question dans l énoncé par le sigle. I. (8 points) On considère les équations et inéquation suivantes : 1 1 1 1 3 1 (1) 6 0 () 6 0 (3) 3 6 4 (4) Donner leurs ensebles de solutions, notés respectiveent S 1, S, S 3, S 4 (recherche au brouillon). II. (4 points) Partie A On considère la fonction u définie sur \{ 1} dont le tableau de variation est le suivant : 3 1 1 + 1 Variations de u 9 Dresser le tableau de variation des fonctions f : u () + 1 et g : u (). Copléter directeent les tableau fournis sur la feuille de réponses fournie avec l énoncé (flèches à la règle). Partie B 4 On adet que la fonction u est définie sur \{ 1} par u 4. 1 On note C sa représentation graphique dans le plan uni d un repère O, i, j. 1 ) Vérifier que pour tout réel 1, on a : 3 u( ). 1 ) Déteriner par le calcul les coordonnées des points d intersection de C avec l ae des abscisses.
III. (6 points) Dans le plan uni d un repère orthonoré O, i, j, on considère les points A(0 ; 1) et M( ; y) où et y désignent deu nobres réels. Le point M appartient à la droite D d équation réduite y = 4. L objectif de l eercice est d étudier les variations de la distance AM lorsque M parcourt la droite D, et en particulier de déteriner la distance AM iniale. 1 ) Justifier que AM 10 5. On adet le résultat suivant : à chaque nobre réel correspond un unique point M et réciproqueent, chaque point de D est associé à un unique réel. ) L objectif est donc aintenant d étudier les variations de la fonction f : 10 5. On pose ainsi f () = AM. a) Dresser sans justification le tableau de variation de la fonction u : 10 5 sur. On fera les calculs utiles au brouillon. Faire les flèches à la règle. b) En déduire le tableau de variation de f puis la valeur iniale de la distance AM. (Cette valeur est, par définition, la distance du point A à la droite D.) IV. (7 points) Pour tout réel non nul, on note C la parabole d équation ( est un paraètre). 1 ) Déontrer que toutes les paraboles C passent par le point A(1 ; 1). ) Déteriner pour quelle valeur de la parabole C passe par le point B(0 ; 5). y 1 3 3 ) On se place dans le cas où est un réel quelconque non nul et on note S le soet de la parabole C. a) Calculer les coordonnées et y de S en fonction de (penser à donner les résultats sous fore siplifiée ; on pourra faire une partie des calculs au brouillon pour ne présenter que les grandes étapes sur la copie). b) Déontrer que S appartient à la droite d équation cartésienne + y = 0. V. (6 points) Soit ABC un triangle quelconque. On note E le point défini par l égalité vectorielle F le ilieu du segent [BC] et G le point défini par l égalité vectorielle CA CG 0. 3 AE AB, 4 Faire une figure au brouillon. 1 ) Le but de cette question est de déontrer que les points E, F et G sont alignés. On se place dans le repère R = (A, AB, AC ). Donner sans justifier les coordonnées de tous les points de la figure. Déontrer en utilisant les coordonnées que les points E, F et G sont alignés. ) Déteriner une équation cartésienne de la droite (BG) dans le repère R. 3 ) Dans cette question, toute trace de recherche, êe incoplète, ou d'initiative, êe non fructueuse, sera prise en copte dans l'évaluation. La droite (AF) coupe la droite (BG) en un point K. Déteriner le réel k tel que BK k BG.
VI. (6 points) Une roue de loterie unie d'un inde fie est divisée en secteurs de êes diensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à iser 5, à faire tourner la roue une seule fois et à noter la couleur du secteur désigné par l inde à l'arrêt de la roue. On adet que chaque secteur a la êe probabilité d'apparaître. La roue coporte : - n secteurs rouges qui font perdre la ise, avec n * ; - 6 bleus où le joueur récupère le ontant de la ise ; - 3 verts où l on reçoit 0 (attention, il reçoit les 0 après avoir donné la ise) ; - 1 jaune où l on reçoit l00 (il reçoit les 100 après avoir donné la ise). On odélise l epérience aléatoire par le couple (, P) où (univers des possibles) est l enseble des secteurs et P la loi d équiprobabilité. On note X le gain algébrique du joueur en euros (en tenant copte de la ise). 1 ) La roue coporte 1 secteurs rouges (n = 1). a) Donner la loi de probabilité de X (ne pas réduire les fractions). b) Calculer l espérance de X (donner directeent le résultat sous fore de fraction irréductible sans détailler le calcul). Par la suite, la roue coporte n secteurs rouges, avec n *. ) Calculer l espérance de X en fonction de n (donner directeent le résultat sous la fore d un seul quotient). 3 ) Dans cette question, toute trace de recherche êe incoplète sera prise en copte dans la notation. Le propriétaire de la roue désire gagner en oyenne au oins 1,5 par partie. Déteriner le nobre iniu n 0 de secteurs rouges que doit coporter la roue pour que le propriétaire soit satisfait. VII. (3 points) 1 ) Copléter la phrase suivante portant sur un réel quelconque à l aide d inégalités : «+ 4 3 équivaut à.» 4 3 ) On considère le systèe a On note S son enseble de solutions. d inconnue où a est un réel stricteent positif. a) Donner l enseble S sans justifier pour a =. b) La phrase suivante est-elle vraie ou fausse? Répondre sans justifier. «Si a < 1, alors S =.»
Consignes générales Ne rien écrire sur l énoncé. À la fin du contrôle garder l énoncé et rendre les copies. Avant de rédiger la solution au questions, faire une recherche au brouillon pour chaque question afin de proposer une solution propre et sans rature sur la copie (et si possible claire et concise!). Faire les traits de fractions et de racines carrées ainsi que les flèches dans les tableau de variation à la règle. Rédiger sans utiliser d abréviations en faisant attention à l orthographe. Ne pas utiliser de lettres non définies par l énoncé sans avoir précisé auparavant ce qu elles représentent. * Aides à la rédaction II. Partie B ) Pour coencer : «Les abscisses des points d intersection de C avec l ae des abscisses sont solutions de l équation.». Pour conclure, il y a deu façons au choi : «C coupe l ae des abscisses au points de coordonnées ( ; ) et ( ; )» ; «C (O) = {A ; B} avec A( ; ) et B( ; )». IV. ) Rédiger sous la fore d une chaîne d équivalences : B C si et seuleent si si et seuleent si si et seuleent si si et seuleent si V. ) Soit M un point quelconque du plan de coordonnées (, y) dans le repère R. M (BG) si et seuleent si si et seuleent si si et seuleent si
1 ère S1 Feuille de réponses du contrôle du ardi 15 novebre 011 Préno et no : Note :.. / 40 =.. / 0 I. (8 points) II. (4 points) III. (6 points) IV. (7 points) V. (6 points) VI. (6 points) VII. (3 points) I. (8 points) Écrire très lisibleent et sans rature. S 1 =. S =. S 3 =. S 4 =. II. (4 points) Partie A f : u () + 1 + Variations de f g : u () + Variations de g
Partie B
III. (6 points) 1 )......... ) a) + Variations de u b) + Variations de f La valeur iniale de AM est égale à.
IV. (7 points)......
Préno : No :..
V. (6 points) 1 ) A B C E F G.........
... VI. (6 points) 1 ) a) X peut prendre les valeurs 1.,., 3., 4.. i i P X Total =1
b) E(X) = (écrire un seul résultat) ) E(X) =.. (écrire un seul résultat) 3 )...... VII. (3 points) 1 ) «+ 4 3 équivaut à.» ) a) Pour a =, S =.. b) La phrase : «Si a < 1, alors S =.» est..
Corrigé du contrôle du 15 novebre 011 I. Équations et inéquations Résolvons dans l équation 1 1 1 1 3 1 (1) Les valeurs interdites de l équation sont 1 et 1 (valeurs de qui annulent les dénoinateurs). On résout l équation (1) dans \ { 1 ; 1}. L équation (1) est successiveent équivalente à : 1 1 1 1 3 1 (on réduit au êe dénoinateur le preier ebre) On pouvait aussi tout ettre au êe dénoinateur. Mais pour que le calcul ne soit pas trop copliqué, il 1 1 1. fallait observer que On prenait alors 3 1 1 1 1 3 1 1 6 6 0 coe dénoinateur. Considérons le polynôe 6. Les racines sont (racine évidente) et 3. On pouvait évideent utiliser le prograe de la calculatrice pour déteriner les racines (d autant plus que les racines étaient entières). Ces deu valeurs ne sont pas valeurs interdites. L enseble des solutions de (1) est S 1 = { ; 3}. Résolvons dans l équation 6 0 () On pose X = (changeent d inconnue). L équation s écrit : X X 6 0 (c est l équation «résolvante»).
Considérons le polynôe X X 6 (du second degré en X). Les racines du polynôe sont X1 et X 3 (déjà calculées dans la résolution de l équation (1) puisque c était le êe polynôe). Or X =. Donc () est successiveent équivalente à : = ou = 3 (ipossible car le résultat d une valeur absolue est toujours positif ou nul) = ou = L enseble des solutions de l équation () est S = { ; }. Résolvons dans l inéquation 6 0 (3) 0 est valeur interdite de cette inéquation. On résout dans *. 3 0 + 6 + 0 nu 0 nu + 0 déno + + 6 0 nu + 0 nu + L enseble des solutions de l inéquation (3) est S 3 = ] ; 3] ] 0 ; ]. Résolvons dans l équation 3 6 4 (4) L équation (4) est successiveent équivalente à : 3 6 4 0 3 6 0 6 5 6 0 3 6 3 6 0 6 0 ou 5 6 0 = ou = 3 ou = 1 ou = 6 L enseble des solutions de l équation (4) est S 4 = { ; 3 ; 1 ; 6} (inutile de ettre les valeurs dans l ordre croissant ; il n y a pas d ordre dans les accolades).
II. Partie A Les fonctions f et g sont définies sur le êe enseble de définition que u c est-à-dire \ { 1}. Les valeurs de ne changent pas. f : u () + 1 3 1 1 + Variations de f 10 g : u () 3 1 1 + 7 Variations de g 1 Partie B 4 u : 4 1 C : représentation graphique de u dans un repère O, i, j 1 ) Vérifions que 1 3 u( ). 1 1 u 4 4 (ne pas oublier le quantificateur sur la preière ligne) 1 4 1 4 (on et directeent au êe dénoinateur sans écrire plus de lignes) 1 4 4 4 1 3 1 ) Déterinons les coordonnées des points d intersection de C avec l ae des abscisses. Les abscisses des points d intersection de C avec l ae des abscisses sont solutions de l équation u() = 0 (1). On résout cette équation dans \{ 1}.
(1) est successiveent équivalente à : 3 0 1 3 0 (3 ) = 0 = 0 ou 3 = 0 = 0 ou = 3 (on utilise la fore de u() établie à la question précédente) Conclusion : Il y a deu façons. C coupe l ae des abscisses au points de coordonnées (0 ; 0) et (3 ; 0). C (O) = {A ; B} avec A(0 ; 0) et B(3 ; 0). En fait, le point A est confondue avec l origine O du repère. On vérifie le résultat grâce à la calculatrice graphique. III. Étude d un problèe d optiisation A(0 ; 1) D : y = 4 M( ; y) D 1 ) Justifions que AM 10 5. On est dans un repère orthonoré. On peut donc appliquer la forule donnant la distance de deu points dans un repère orthonoré. AM y y M A M A 0 y 1 4 1 5 10 5 ) f : 10 5 a) u : 10 5 u est une fonction polynôe du second degré. On applique la règle du cours donnant le tableau de variation d une fonction polynôe du second degré connaissant son epression sous fore développée.
10 5 La fonction u adet un iniu obtenu pour =. On calcule : 5 5 u 5 + Variations de u 5 b) On observe que f u. D après la règle du cours, on sait donc que les variations de f sont les êes que celle de u. 5 + Variations de f 5 f 5 5 5 On peut tout à fait donner le résultat sous cette fore là ; il est coplèteent inutile de «reonter» la racine au nuérateur) En reontant la racine au nuérateur, on obtient : 5 5 f. La valeur iniale de AM est égale à 5.
IV. Étude d une faille de paraboles C : y 1 3 ( réel non nul) 1 ) Déontrons que toutes les paraboles C passent par le point A(1 ; 1). On adopte une déarche déductive (pas de déarche par équivalence). 1 3 1 1 1 3 A A = ( + 1) + + 3 = 1 = y A Donc toutes les paraboles C passent par le point A(1 ; 1). ) Déterinons pour quelle valeur de la parabole C passe par le point B(0 ; 5). B C si et seuleent si si et seuleent si si et seuleent si 5 = + 3 si et seuleent si = y 1 3 B B B 5 0 1 0 3 3 ) S : soet de la parabole C a) Calculons les coordonnées et y de S en fonction de. Pour calculer, on applique la forule du cours qui donne l abscisse du soet d une parabole. 1 1 Pour calculer y, on utilise l équation de C.
1 1 y 1 3 1 1 3 1 1 1 1 3 (on siplifie) 3 (on effectue la soe des deu preiers teres) 1 3 1 3 1 3 3 1 1 Conclusion : 1 et y 1 b) Déontrons que S appartient à la droite d équation cartésienne + y = 0. On calcule : 1 1 y = 0 Conclusion : S V. Vecteurs et coordonnées 1 ) A 0 0 B 1 0 C 0 1 E 3 4 0 F 1 1 G 0 3
1 3 EF 4 EG 4 1 3 1 ère façon : on calcule le déterinant. 1 3 4 4 1 3 1 3 3 3 0 1 3 4 4 8 8 e façon : on déterine un coefficient de colinéarité entre les deu vecteurs. On constate que EG 3EF. Les vecteurs EF et EG sont donc colinéaires. Coe ils ont point coun, on en déduit que les points E, F, G sont alignés. On aurait pu retrouver ce résultat en utilisant les vecteurs sans utiliser les coordonnées (ça aurait pu être une question bonus ais le contrôle était déjà très long). ) Soit M(, y) un point quelconque du plan. M (BG) si et seuleent si si et seuleent si BM 1 y 1 et y 1 3 0 si et seuleent si 1 BG 3 3 1 1 0 y si et seuleent si 3 3 y 0 si et seuleent si 3+ y 3 = 0 sont colinéaires (BG) a pour équation cartésienne : 3+ y 3 = 0. 3 ) On cherche une équation de (AF). Soit M(, y) un point quelconque du plan.
M (AF) si et seuleent si AM et y si et seuleent si y 1 1 1 AF 1 0 sont colinéaires si et seuleent si 1 1 y 0 si et seuleent si y = 0 (AF) a pour équation : y =. K est le point d intersection des droites (AF) et (BG) donc ses coordonnées vérifient 3K yk 3 0. yk K On obtient ainsi : 3 D où K. 5 Par suite, yk 3 5 5K 3 0. 5 BK 3 5 On en déduit que 1 BG 3 BK BG. 5 VI. Probabilités 1 ) a) On doit tenir copte de la ise pour donner les valeurs de X. X peut prendre les valeurs 1 5, 0, 3 15, 4 95. i 5 0 15 95 P X i 1 6 3 1 Total =1
1 6 3 1 b) E(X) = 5 0 15 95 = 80 = 40 11 ) Dans cette question et la suivante, n est un entier naturel quelconque ; on travaille en littéral. La loi de probabilité de X est donnée dans le tableau : i 5 0 15 95 P X i n n 10 6 n 10 3 n 10 1 n 10 Total =1 E(X) = n 3 1 5 15 95 n 10 n 10 n 10 5n 45 95 n 10 5n 140 n 10 3 ) Ce que gagne le propriétaire est l opposé de ce que gagne le joueur. On cherche donc n tel que E(X) > 1,5 soit E(X) < 1,5 (1). (1) est successiveent équivalente à : 5n 140 1,5 0 n 10 3,5n 140 15 0 n 10 3,5n 155 0 n 10 n (on peut se perettre d enlever le dénoinateur car, coe n, n + 10 > 0) 155 n 3,5 Avec la calculatrice, on obtient : 155 44, 85714... 3,5 On en déduit que (1) équivaut à n 45. La roue doit coporter au iniu 45 secteurs rouges pour que le propriétaire gagne en oyenne au oins 1,5.
VII. 1 ) + 4 3 est successiveent équivalent à 3 + 4 3 3 4 3 4 7 1 ) 4 3 a (a > 0) a) a = Le systèe s écrit : 4 3. Il est donc successiveent équivalent à : 7 1 1 L enseble des solutions du systèe est l intervalle [ ; 1]. b) La phrase «Si a < 1, alors S =.» est vraie. 7 1 En effet, le systèe est équivalent à. a a L enseble S des solutions du systèe est donc l intersection des intervalles [ 7 ; 1] et [ a ; a]. En représentant les deu intervalles sur la droite réelle, on voit aiséent que si a < 1, les deu intervalles ont une intersection vide donc l enseble des solutions est vide.