Chapitr 2 Rprésntation ds fonctions logiqus 26..9
Ch 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Réalisation avc ds intrrupturs : a b +5 V Intrruptur a ouvrt (inactif) : a Intrruptur b frmé (actif) : b a Intrruptur à frmtur a ouvrt a frmé Logiqu positiv Intrruptur à ouvrtur a frmé a ouvrt Logiqu négativ 26..9 2
Ch 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Exrcic: Eclairag intériur automobil La lumièr intériur (L) d'un véhicul s'éclair si un ds dux ports avants st ouvrt (capturs a t b à coupur d circuit) ou si l'intrruptur du plafonnir (c) st appuyé. ) Décrir l fonctionnmnt par un tabl d vérité. 2) Détrminr l'équation logiqu. 3) Etablir l schéma logiqu, à l aid d ports logiqus. L = L = 3 variabls d ntrés : a,b,c a b c L variabl d sorti : L b c + a b c + a b c +... c + a b c + a b c + a b c c L = a b c L = ( a + b + c) ( a ) ( ) ( ) ( a b ) ( ) ( ) ( ) ( a b ) ( ) 26..9 3
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Il xist plusiurs forms possibls pour rprésntr un systèm logiqu : ] La tabl ou tablau d vérité : déjà vu. 2 ] L'équation logiqu Tout fonction logiqu (Boolénn) put s'écrir sous dux forms standards : La prmièr form : somm d mintrms f = a.b.c { + a.b.c + a.b.c +... + a.b.c mintrm La duxièm form : produit d maxtrms f 2 = ( 2 a + b + c) ( a+b + c) ( a+b + c)... maxtrm 3 ( a+b + c) Rmarqu : la prmièr form st la plus utilisé car ll st plus "parlant". 26..9
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus 3 ] Rprésntation décimal ds fonctions logiqus : convrsion n décimal ds combinaisons ds variabls d ntré MSB LSB = = = 2 = 3 = = 5 = 6 = 7 a b c L L = (,5,6, 7 ) 26..9 5
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus ] L diagramm d Karnaugh : C'st un form particulièr du tablau d vérité. Pour un fonction logiqu d "n" variabls, il st constitué d'un tablau divisé n "2 n " cass. Pour chaqu cas, ls variabls d'ntrés ont un valur détrminé (combinaison qui spécifi la cas) t la valur indiqué dans ctt cas st cll d la variabl d sorti. Exmpl : Fonction ET (AND) à dux ntrés a t b : on obtint 2 2 = cass Décimal b a (codag) 2 3 b a 2 3 S = a. b 26..9 6
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Dux cass sont voisins l un d l autr si t sulmnt si lls sont associés à dux états d ntré dont l cod st adjacnt. Il st donc possibl d éliminr un variabl. Exmpls : b a Impliquants d la fonction S b a S = a b + a b = a Impliquant prmir S = a b + a b = b 26..9 7
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Tablau à trois variabls : Pour rspctr l codag adjacnt, on utilis l binair réfléchi (adjacnt cycliqu). b= b= b= a= a= c ab 3 2 5 7 6 26..9 8
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Tablau à trois variabls : Tablau d Mahony c ab b= a= 3 2 c= 5 7 6 26..9 9
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Tablau à quatr variabls : c d a b a bcd + bcd abcd cd a b 3 2 a bcd + abd abcd bd 5 7 6 bd bcd a bcd + abcd 2 8 3 9 5 a bcd + abd abcd 26..9
Ch 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Pour un fonction à n variabls, un cas d un tablau d Karnaugh possèd n cass voisins (ou adjacnts) qui corrspondnt chacun à la variation d l un ds n variabls d ntré. Il st donc difficil d rprésntr ds tablaux à plus d ou 5 variabls. Tablau à 5 variabls : c d a b cd a b = 2 8 5 3 9 7 6 5 3 2 abcd cd a b st l MSB = 6 2 28 2 7 2 29 25 9 8 23 22 3 3 27 26 26..9
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus Tablau à 6 variabls : f d c b a ba dc f = b a d c f = b a d c f = b a d c f = 26..9 2
Chapitr 2 : Simplification ds fonctions logiqus Extraction d la form minimal d un fonction logiqu avc un tablau d Karnaugh :. Rmplissag du tablau d Karnaugh 2. Rchrch ds impliquants prmirs : on commnc par détrminr ls groupmnts d ls plus grands possibls (impliquants prmirs). 3. Sélctionnr, parmi tous ls impliquants prmirs, tous cux qui couvrnt au moins un cas qu ils sont ls sul à couvrir (impliquants prmirs ssntils). 26..9 3
Chapitr 2 : Simplification ds fonctions logiqus Exmpl n : Z(a,b,c) = ( 3,5, 7) a bc 3 2 5 7 6 b c a c Z = a c + b c 26..9
Chapitr 2 : Simplification ds fonctions logiqus Exmpl n 2 : Z(a,b,c,d) Z = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd a.d cd a b a.b.c b.c.d a.b.c b.c.d a.b.d Form minimal : Z(a,b,c,d) = a.d + a.b.c + b.c.d 26..9 5
Chapitr 2 : Tabl d couvrtur Exmpl n 2 : Z(a,b,c,d) Z = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd a.d cd a b a.b.c b.c.d a.b.c b.c.d a.b.d Form minimal : Z(a,b,c,d) = a.d + a.b.c + b.c.d 26..9 6
Chapitr 2 : Simplification ds fonctions logiqus Obtntion d la form minimal : tabl d couvrtur a.d a.b.c b.c.d a.b.d a.b.c b.c.d Colonn dominant 3 5 7 9 2 3 Form minimal : Z(a,b,c,d) = a.d + a.b.c + b.c.d Lign dominé a b c d 26..9 7
Chapitr 2 : Rprésntation ds fonctions logiqus F(,d,c,b,a) b a d c db = (,,5,7,8,,2,,6,7,2,25,26,28,29,3, 3) = = b a d c cdb 8 2 dca 5 3 9 3 2 7 6 5 6 2 28 bd 2 7 2 cd 29 25 9 8 23 22 3 3 27 26 F = cb + ca + dc + cda + dcb 26..9 8
Chapitr 2 : fonctions incomplètmnt spécifiés Si pour divrss raisons (tchnologiqus, physiqus, ), k valurs sont non spécifiés, la méthod d simplification s trouv modifié : Cas d l affichur 7 sgmnts x x 2 x 3 x Affichur 7 sgmnts La sorti a st égal à, l sgmnt horizontal l plus haut, commandé par ctt variabl s allum (mêm chos pour b,c,d,,f,g). C systèm comport ntrés (x,x 2,x 3,x ) t 7 sortis (a,b,c,d,,f,g,h). a d g c f b 26..9 9
Chapitr 2 : fonctions incomplètmnt spécifiés Tabl d vérité : 2 3 5 6 7 8 9 2 3 5 x x 3 x 2 x a b c d f g Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ 2 3 5 6 7 8 9 2 3 5 26..9 2
Chapitr 2 : fonctions incomplètmnt spécifiés Si pour divrss raisons (tchnologiqus, physiqus, ), k valurs sont non spécifiés, la méthod d simplification s trouv modifié : Rchrch ds impliquants prmirs : on commnc par détrminr ls groupmnts d ou d conditions indéfinis ls plus grands possibls (impliquants prmirs). Sélctionnr, parmi tous ls impliquants prmirs, tous cux qui couvrnt au moins un cas qu ils sont ls suls à couvrir (impliquants prmirs ssntils). x 3 x 2 x 2 x x x 3 Φ Φ Φ Φ Φ Φ x 3 x 2 x 2 x x g = x + + x3x2 + x3 x2 x2 x Exprssion sans cas indéfini? 26..9 2
Chapitr 2 : fonctions incomplètmnt spécifiés 3 2 3 x 2 x x x 3 2 3 2 2 g = + 3 2 + 3 2 + 3 2 2 26..9 22
dc ba Chapitr 2 : Tablau à variabls introduits Il put êtr plus intérssant d manipulr un tablau d Karnaugh à variabls n introduisant ls variabls supplémntairs dans c tablau. Exmpl précédnt à 5 variabls : ( ) F =,,5,7,8,,2,,6,7,2,25,26,28,29,3, 3 = = ba dc 8 2 5 3 9 3 2 7 6 5 6 2 28 2 7 2 29 25 9 8 23 22 3 3 27 26 26..9 23
ba dc 2 8 5 3 9 3 2 7 6 5 ba dc 6 2 28 2 7 9 8 2 23 22 29 25 3 3 27 26 8 2 5 3 9 3 2 7 6 26..9 2 5
Chapitr 2 : Tablau à variabls introduits Commncr par ls cass indépndants ds variabls introduits ( la valur ds cass st donc ), Complétr ls cass dont la valur dépnd ds variabls introduits (ici ). ba dc 8 2 5 3 9 3 2 7 6 5 26..9 25
Chapitr 2 : Tablau à variabls introduits Form minimal avc un tablau à variabls introduits : Cas à Cas ayant un variabl introduit bcd d ca bd b a d c 8 2 5 3 9 3 2 7 6 5 = + cd da 26..9 26
Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus Exmpl : L distributur d boisson Un distributur d sirops doit rmplir ls fonctions suivants : E : Distribution d au M : Distribution d sirop d mnth C : Distribution d sirop d citron R : Rstitution d la pièc d monnai Il st commandé par trois touchs : : au m : mnth c : citron Il st muni d'un détctur d pièc : p Cahir ds chargs Variabls d sorti Variabls d ntré L fonctionnmnt doit s fair d la façon suivant : l'au sul st gratuit on doit fournir d l'au avc du sirop on n doit pas mélangr mnth t citron n cas d paimnt on doit rndr la pièc si la dmand st rroné 26..9 27
Tabl d vérité : Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus p m c E M C R 26..9 28
Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus Diagramms d Karnaugh : Mnth p mc M = pmc Citron p mc C = pmc 26..9 29
Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus Diagramms d Karnaugh : Eau p mc Rstitution p mc E = + pmc + pmc R = pmc + pmc 26..9 3
Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus Résultats évidnts a priori, n fft : E = + p. (m. c + c. m) On obtint d l'au si on dmand d l'au ou bin si on mt un pièc t qu l'on dmand d la mnth ou du citron. M = m. p. c On a d la mnth si on dmand d la mnth sans dmandr aussi du citron t si on mt un pièc. C = p. c. m On a du citron si on dmand du citron sans dmandr aussi d la mnth t si on mt un pièc. R = p. (c. m + c. m ) On rstitu la pièc si il y a à la fois un dmand d mnth t d citron ou lorsqu l'on n dmand rin du tout (just d l'au). 26..9 3
Chapitr 2 : Synthès d fonctions logiqus Réalisation à l aid d ports logiqus : E = + p (m c+m c) + p ( m c+ m c) m m m c & m c+ m c > c c & c. m > & p ( m c+ m c) p 26..9 32
Chapitr 2 : Analys d fonctions logiqus Réalisation à l aid d ports logiqus : + p ( m c+ m c) m m c & m c+ m c > c & c. m > & p ( m c+ m c) p E = + p (m c+m c) 26..9 33