ESD 2014 16 : Géométrie plane 1. Le sujet A. L exercice proposé au candidat Exercice proposé par le professeur Dans un repère orthonormé, placer les points A(2, 6), B(2, 0), C(-2, 2), D(7, 1), E(2, 2), F(0,4) et G(5, 3). 1. Démontrer que les points A, C, F sont alignés, ainsi que les points A, E, B et A, G, D. 2.1. Déterminer une équation de la droite (EF) et une équation de la droite (BC). En déduire les coordonnées du point I, intersection des droites (EF) et (BC). 2.2. On appelle J le point d intersection de (EG) et (BD), et H le point d intersection de (FG) et (CD). On admet que J (-13,-3) et H (25,-1). Démontrer que les points I, J, H sont alignés. L extrait d un manuel Le théorème de Desargues 1. À l aide du logiciel, reproduire la vue en perspective cavalière de la pyramide ABCD ci-contre en s aidant du quadrillage. 2. Construire le point I, intersection de (BC) et (EF), et le point J, intersection de (BD) et (EG). 3.1. Construire le point H, point d intersection des droites (CD) et (FG). 3.2. Déplacer les points E, F, G et conjecturer la position des points I, J et H. 3.3. Démontrer le résultat obtenu en considérant les plans (EFG) et (CBD). C. Le travail à exposer devant le jury 1. Comparez les deux versions de l exercice en analysant les différentes compétences que chacune d elles vise à développer chez les élèves. 2. Exposez une correction de la question 2 de l exercice proposé par le professeur comme vous le feriez devant une classe de seconde, puis une correction de l exercice du manuel. 3. Présentez deux ou trois exercices sur le thème géométrie plane, dont l un au moins fait appel à un logiciel de géométrie dynamique. Vous motiverez vos choix en indiquant les compétences que vous cherchez à développer chez les élèves. G. Julia, 2014 1
2. Eléments de correction Il y a plusieurs versions du théorème de Desargues. Dans ce contexte, on considère deux triangles d un espace affine BCD et EFG tels que B et E, C et F, D et G soient des points distincts et que (BE), (CF) et (DG) soient des droites concourantes. On s intéresse aux propriétés d incidence des droites (BC) et (EF), (CD) et (FG), (DB) et (GE). 1. La version professeur de l exercice présente un exemple de configuration de Desargues dans un plan muni d un repère. L objectif est d entraîner les élèves à l utilisation de l outil de la géométrie analytique pour résoudre des problèmes d incidence. Le programme de seconde cite comme l un des objectifs de l enseignement de la géométrie plane «la démonstration d un alignement de points..., la recherche des coordonnées du point d intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée.» Les compétences visées sont : S engager dans une démarche. Exercer l intelligence du calcul. La version «manuel» présente une démonstration générale du théorème de Desargues en considérant que la figure plane que les élèves doivent reproduire est l image par perspective cavalière d une figure de l espace. Cette version a pour objectif de développer une meilleure vision de l espace et également de développer le sens d une démarche scientifique (on conjecture puis on démontre). Conformément au programme, il vise à «entraîner les élèves à l utilisation autonome d un logiciel de géométrie dans l espace». Les compétences développées sont : Expérimenter en utilisant des outils logiciels. Emettre une conjecture. Conduire une démonstration pour confirmer ou infirmer une conjecture. Ainsi, alors que l exercice professeur vise l acquisition de connaissances et de méthodes, l exercice manuel vise des compétences plus transversales (prise d initiative, créativité, rigueur). Remarques particulières aux deux énoncés Exercice professeur 1. Le caractère «orthonormé» du repère est inutile, le problème ne traitant que des questions d intersection et d alignement. Il serait intéressant justement de faire travailler à cette occasion dans un repère «quelconque» pour souligner que ces problèmes d incidence n ont rien à voir avec la géométrie euclidienne. Peut-être ce choix justifie-t-il (mais n excuse pas...) le fait qu il n y a pas de recherche de repère optimal pour étudier la situation (?). 2. Le professeur reconnaît lui-même que le travail demandé est répétitif et fastidieux. Il fait rechercher le point d intersection de l une des trois paires de droites en cause mais fait admettre la position des deux autres points d intersection. L utilisation d un logiciel pourrait s avérer pertinente pour corriger la première question de l exercice et faire «apparaître» les points H et J. gilbertjulia2014 Dans le cas d un travail en classe par groupes, on peut répartir la recherche des coordonnées des trois points entre les groupes. G. Julia, 2014 2
Exercice manuel 1. L utilisation d un quadrillage apporte une touche «euclidienne» qui n a rien à voir avec le sujet. Son seul intérêt est (peut-être...?) d ancrer l idée que la figure à reproduire est bien une figure de géométrie plane. 2. Le terme «construire» est inapproprié, les points d intersection demandés sont ceux d objets déjà présents sur la figure (il suffit de tracer les droites supportant des segments déjà là ; c est le menu «création de points et de droites» et non le menu «constructions» qui, avec un logiciel de géométrie, fera obtenir ces points). 3. Est-il bien opportun de citer explicitement dans l énoncé les plans (BCD) et (EFG), citation qui livre la clef de la résolution? Il devrait appartenir aux élèves de se rendre compte par eux-mêmes que ces plans ont un lien avec la démonstration demandée. 2.1. Correction de la question 2 de l exercice professeur. Une méthode générale permettant d obtenir une équation cartésienne d une droite : Expliciter les coordonnées d un de ses vecteurs directeurs. En l occurrence ( 2 ; 2) 1 2 ( 1 ; 1) EF en est un autre plus commode. Un point M de coordonnées ( y) EM ( x 2 ; y 2) EF en est un, et x ; appartient à la droite (EF) si et seulement si le vecteurs est colinéaire au vecteur directeur u r choisi. det EM ; u r. Cette colinéarité s exprime par la nullité du déterminant ( ) Faire remarquer que l on peut aussi utiliser des opportunités «circonstancielles». Par exemple, le point F appartient à l axe Oy. Si y = a x + b est l équation cartésienne standard de (EF) recherchée, l ordonnée à l origine b est l ordonnée de F. Il suffit d utiliser les coordonnées de E pour déterminer le coefficient directeur a de (EF). De façon à peu près analogue, la droite (BC) va avoir une équation de la forme y = a x 2 puisque cette droite coupe l axe Ox en C d abscisse 2. ( ) Une autre propriété «circonstancielle» dont il n y a pas lieu de se priver est qu il est évident que le point I est le milieu de [HJ] puisque ses coordonnées sont clairement les demi sommes des coordonnées des points H et J. Il n y a donc pas lieu d inventorier les méthodes permettant de démontrer un alignement. La configuration choisie par le professeur présente de ce fait un défaut : on ne sait pas très bien quelles sont les propriétés «permanentes» de la configuration de Desargues (est-ce que I est toujours le milieu de [HJ]?). Il sera certainement bienvenu auprès d un jury de relever cette particularité et éventuellement suggérer une 8 ; 0. modification de l énoncé, par exemple attribuer à G les coordonnées ( ) 2.2. Correction de l exercice manuel. L exercice du manuel vise une démonstration du théorème de Desargues en considérant la figure proposée comme étant une projection plane d une figure de l espace. Cependant, cette version de l exercice semble admettre comme allant de soi l existence dans tous les cas des points I, J, H. Le fait de «déplacer les points E, F, G» devrait pourtant remette en cause cette idée reçue, si l on pousse assez loin l expérimentation. Il appartient au professeur de la classe de soulever (ou non...) ce lièvre. De toute manière, au plus tard en synthèse de l exercice, l examen de plusieurs cas de figure devrait apparaître : Premier cas : les trois paires de droites sont sécantes deux à deux en I, J, H. Alors ces trois points sont alignés sur la droite d intersection des plans (EFG) et (BCD). Sur la figure de géométrie plane, les points I, J, K le sont sur l image de cette droite par la perspective cavalière. Deuxième cas : une exactement des trois paires de droites est constituée de deux droites parallèles (par exemple (EF) et (BC)). Alors, seuls deux des trois points I, J, H existent. Dans l exemple choisi, seuls J et H existent, situés sur la droite d intersection des plans (EFG) et (BCD) qui est parallèle à G. Julia, 2014 3
(BC) et (EF). Ces propriétés se retrouvent sur la perspective cavalière compte tenu de la conservation du parallélisme par projection plane. Troisième cas : Deux des paires de droites sont des paires de droites parallèles. Il en est de même de la troisième paire, les plans (EFG) et (BCD) étant dans ce cas des plans parallèles. Aucun des points I, J, H n existe. 3. Pour aller plus loin. On peut retrouver les conclusions précédentes à l aide de l outil de la géométrie analytique et de quelques calculs où un logiciel de calcul former est un auxiliaire intéressant. On rapporte l espace au repère ( A AB, AC, AD) ;. Dans ce repère, les droites (BC) ; (CD) ; (DB) ont pour équations paramétriques respectives : x = δ x = 0 x = γ = δ, δ R ;, R gilbertjulia2014 = β β ; gilbertjulia2014 = 0, γ R = 0 = β = γ Désignons par ( e,0,0) ; ( 0, f,0) et (,0, g) réels non nuls. 0 les coordonnées respectives des points E, F, G, où e, f, g sont trois Les droites (EF) ; (FG) ; (GE) ont pour équations paramétriques, respectivement : x = e u e x = 0 x = we = u f, u R ; = f v f, v R ; = 0, w R. = 0 = v g = g w g Un candidat au CAPES peut se proposer : 1. De discuter l existence des points I, J, K et le cas échéant déterminer en fonction de e, f, g leurs coordonnées. 2. D étudier les positions relatives de ces points (leur alignement éventuel). 4. Conclusion Les deux versions de l exercice ne favorisent pas le même profil d élèves. La version professeur a pour but de faire acquérir des méthodes sans réel souci de généraliser le contexte de la situation «parachutée» qu il propose (le théorème de Desargues n est qu un prétexte). Le professeur ne prend pas un grand risque en proposant cet exercice où la part d initiative laissée aux élèves est très réduite. En contrepartie, les élèves ne peuvent acquérir une vision d ensemble de la configuration étudiée. La version manuel s adresse quant à elle à des élèves qui ont acquis une certaine autonomie et ont une bonne vision de l espace (capables notamment de considérer la même figure de deux façons, en 2D et en 3D). Sa réussite s appuie sur un esprit d initiative et une motivation de la part des élèves, peut-être difficile à obtenir d une classe de seconde indifférenciée. On peut imaginer cependant que ces deux exercices soient proposés à une même classe, de façon assez rapprochée dans le temps. On fait d abord travailler l outil de la géométrie analytique (exercice professeur, quitte à apporter quelques aménagements) puis on propose la démonstration générale (exercice manuel). Dans la synthèse de ce dernier exercice, on fait le rapprochement entre les deux activités. G. Julia, 2014 4
5. Pour aller plus loin, une résolution Prêter attention aux permutations circulaires des différentes lettres utilisées (en particulier des lettres e, f, g), permutations qui dispensent d effectuer trois fois un même calcul. 1. Les droites (BC) et (EF ) sont coplanaires dans le plan d équation z = 0. En général, elles se coupent au e point I de (EF) associé à la valeur u = de son paramètre, c est à dire au point I de coordonnées e f e f e f ; e f e f ; 0, à moins que e = f auquel cas les droites (BC) et (EF) sont parallèles. Les droites (CD) et (FG ) sont coplanaires dans le plan d équation x = 0. En général, elles se coupent au f point H de (FG) associé à la valeur v = de son paramètre, c est à dire au point H de coordonnées : f g f g f g 0 ; ;, à moins que f = g auquel cas ces droites sont parallèles. f g f g Les droites (DB) et (GE ) sont coplanaires dans le plan d équation y = 0. En général, elles se coupent au point J de (GE) associé à la valeur g w = de son paramètre, c est à dire au point J de coordonnées : g e g e g e ; 0 ;, à moins que g = e auquel cas ces droites sont parallèles. g e g e 2. Cas où les trois points I, H, J existent. Les trois réels e, f, g sont deux à deux distincts. g e e f e f Alors IJ a pour coordonnées + ; g e e f e f e f coordonnées e f e f f g f g ; + ;. e f f g f g g e ; g e tandis que HI a pour Les trois déterminants extraits de la matrice des coordonnées de ces vecteurs sont nuls, comme en témoigne la capture d écran cicontre. Ces deux vecteurs sont colinéaires et les trois points I, H, J sont des points alignés. Cas où il y a un parallélisme et un seul. Deux des trois réels e, f, g sont égaux. Par exemple parallèles, les autres paires non. e = f tandis que f g : les droites (BC) et (EF ) sont G. Julia, 2014 5
e g e g Le point H a pour coordonnées : 0 ; ; et le vecteur HJ pour coordonnées e g e g g e g e ; ;0 g e g e et (EF ). Cas où il y a deux parallélismes. Alors il y en a trois car e = f = g.. Ce vecteur est colinéaire à BC. La droite (HJ) est parallèle aux droites (BC) G. Julia, 2014 6