Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors nécessairement f(a). On écrit alors lim f(x) f(a) x a Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout point de I. Graphiquement, la courbe de f se dessine d un seul trait, sans lever le stylo. f est continue sur [a; b] La fonction Partie Entière n est pas continue sur son domaine de définition. y=e(x) y = f(x) a o b o Conséquence : Toute fonction construite comme somme, produit et composée de fonctions continues est continue. Les fonctions usuelles sont continues. Théorème : (admis) Si f est dérivable en a alors elle est continue en a. Généralisation : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable pour toute valeur a de I, alors f est dérivable sur I. Si f est dérivable sur I alors elle est continue sur I. Théorème des valeurs intermédiaires (admis) Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] alors pour tout compris entre f(a) et f(b),l équation f(x)= admet au moins une solution x o comprise entre a et b. L exemple ci-contre montre que l équation f(x) = a trois solutions, donc au moins une. f(a) f(b) [ ] a x x x 2 b 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page Terminale S
L image d un intervalle [a; b] par une fonction continue est toujours un intervalle [m; M], où m est un minorant de f sur [a; b] et M un majorant. Pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c tel que f ( c) k. II. Résolution d équation f(b) Théorème : Si f est une fonction continue strictement croissante sur l intervalle I = [a; b] alors :. L image de I par f est l intervalle [f(a) ; f(b)] 2. Pour tout dans [f(a); f(b)], l équation f(x)= a une unique solution dans I. f(c) f(a) [ ] a c b Démonstration :. Soit x un réel de l intervalle [a; b] alors a x b. f étant strictement croissante sur I, f(a) f(x) f(b). Ainsi, f (I) est inclus dans [f(a) ; f(b)]. Soit un réel de [f(a) ; f(b)]. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = admet au moins une solution dans [a;b] donc [f(b), f(a)] est inclus dans f (I). Il vient alors que [f(b), f(a)] = f (I). 2. f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x de [a ; b], x < x, f(x) < f(x ) et donc f(x) f(x ). Supposons que l équation f(x) = admette deux solutions x et x, alors f(x ) = f(x ). Or, f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x de [a ; b], x < x, f(x) < f(x ) et donc f(x) f(x ). Ce qui infirme la supposition. Donc l équation f(x) = admet une unique solution dans I. Ce théorème est le même si f est une fonction continue strictement décroissante. III. Révisions et compléments sur la dérivation. Nombre dérivé. Fonction dérivée Définition : Dérivabilité d une fonction en x Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et h un réel non nul. Dire que la fonction f est dérivable en x de ]a;b[ signifie qu il existe un réel A tel que f(x h) f(x ) f( x) f ( x ) lim A ou encore que lim A h h xx x x Le nombre A est appelée nombre dérivé de f en x. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 2 Terminale S
Définition 3 : Fonction dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f qui à tout x de I associe f (x). 2. Nombre dérivé et tangente Définition 4 : Nombre dérivé coefficient directeur Le nombre dérivé de f en x est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (x,f(x )) Définition 5 : Equation réduite de la tangente Soit f une fonction dérivable sur I et x un point de I. Une équation réduite de la tangente à C f en M (x, f(x )) est y = f (x )(x x ) + f(x ) La distance MP mesure la valeur absolue de l erreur commise par l approximation affine. Plus h est proche de, plus l erreur est petite. f(a+h) f(a) + hf (a) o a M P a + h f(a) A 3. Dérivées usuelles Fonction Dérivée Domaine Expression Domaine Expression R f(x)= k R f (x)= R f(x)= x n, n R f (x) = n x n- R + f(x)= x R +* f (x)= 2 x 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 3 Terminale S
4. Opérations sur les fonctions dérivables Nous admettons les résultats suivants : a. Dérivée de u + v Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. La dérivée de la somme, notée (u+ v), est égale à la somme des dérivées, notée u + v. (u + v) = u + v b. Dérivée de u v Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. La dérivée du produit, notée (u v), est égale à : (u v) = u v + u v = u v + u v Cas particulier : la dérivée de la fonction ku, notée (ku), est ku. c. Dérivée de v Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que pour tout x, v(x). Alors la fonction est v dérivable sur I et : d. Dérivée de v u ' v ' 2 v v. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Et pour tout x, v(x). Alors la fonction quotient ' u v est dérivable sur I et : u u' v uv' v v² e. Cas usuels : Toute fonction polynôme est dérivable sur R. Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout ensemble inclus dans son ensemble de définition. 5. Fonction f u Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur I. La fonction f définie par f(x) = u(x) est dérivable sur I et pour tout x de I, f (x) = Principe de la démonstration Soit t appartenant à I le taux d accroissement de f en t est : lim 2 u' (x) 2 u(x). 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 4 Terminale S
6. Fonction f : x uax b Soit u une fonction s dérivable sur un intervalle I. La fonction f : x uax b pour tout x de I, f ' x au' ax b est dérivable sur I et Principe de la démonstration Soit t appartenant à I le taux d accroissement de f en t est : On pose et. lim lim 7. Dérivation de la fonction u n Soit u une fonction dérivable sur I et n un entier naturel non nul. La fonction f définie par f(x) = (u(x)) n est dérivable sur I, et pour tout x de I, f (x) =n(u(x)) n- u (x). Si n<, alors il faut rajouter l hypothèse, pour tout x de I, u(x) mais la formule est toujours valable. On remplace alors avant de calculer la dérivée Démonstration ex 6 p 8. Dérivation d une fonction composée (admis) 9. Application à la dérivation Théorème fondamental (admis) f est un fonction dérivable sur un intervalle I. Lorsque f est strictement positive sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle s annule, f est strictement croissante sur I. Lorsque f est strictement négative sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle s annule, f est strictement décroissante sur I. Lorsque f est nulle sur I, f est constante sur I. Théorème : Soit f dérivable sur un intervalle I et c un réel de I. Si la dérivée f s annule en c en changeant de signe alors f(c) est un extremum local de f sur I. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 5 Terminale S
IV. Comportement d une fonction à l infini. Limite infinie Définition : Limite infinie en + Soit f une fonction numérique définie sur [x ;+[ avec x un réel. Si f(x) est aussi grand que l on veut dès que x est assez grand, on dit que f a pour limite + en +. On écrit lim f ( x). Autrement dit Pour toute valeur A aussi grande que l on veut, il existe une valeur x, telle que pour tout x > x, f(x) > A, ou encore que tout intervalle ]A ;+[ contient toutes les valeurs de f(x). y =A y = f(x) 2. Limite finie o x Définition : Limite finie en + Soit f une fonction numérique définie sur [x ;+[ avec x un réel et un réel. Si la distance f (x) est aussi petite que l on veut dès que x est assez grand, on dit que : f a pour limite en +. On écrit lim f( x). y= f(x) y = o x A partir de x assez grand, x > x, tout intervalle de centre contient toutes les valeurs de f(x). 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 6 Terminale S
Définition : Dire que lim f( x), c est dire que lim ( f( x) ). Définition : Asymptote horizontale Si fonction f. lim x f(x), on dit que la droite d équation y = est asymptote horizontale en à la courbe de la Dans l exemple ci-dessus, la droite d équation y = est asymptote horizontale en +. Tout cela reste vrai au voisinage de Limite au voisinage de + et des fonctions de référence lim x 2 lim x 3 lim x 2 lim x 3 lim x lim lim x x V. Limite d une fonction en a, a réel Définition : Limite infinie en a Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert en a. Si f(x) est aussi grand que l on veut dès que x est assez proche de a, on dit que : f a pour limite + en a. On écrit lim f(x) x a Dans l exemple ci-contre, on remarque que lim f ( x ) xa et lim f( x ) xa xa Limite particulière : lim et x x x xa lim x x x o x = a y= f(x) Définition : Asymptote verticale Si lim f ( x ), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f en xa Commentaire : La courbe de la fonction inverse admet une asymptote verticale d équation x =. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 7 Terminale S
VI. Opérations sur les limites Soit f et g deux fonctions numériques dont les limites sont données dans un même voisinage. Si Alors lim f(x) = lim g(x) = lim [ f(x)+ g(x)] = lim f(x)g(x) = lim L L L + L LL L L ' L L L + + L + si L < + si L < + + + + + + si L > si L > f(x) = g(x) avec règle des signes () () La limite de ce type de fonction est + ou, selon le signe de L et si g(x) tend vers zéro par valeurs positives ou négatives. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 8 Terminale S
VII. Théorèmes de comparaison Théorème de majoration, minoration. Si pour x assez grand, f(x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) 2. Si pour x assez grand, f(x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) Démonstration : D après la définition, lim gx ( ) signifie que tout intervalle ]M ;+ [ contient toutes les valeurs de g(x). Comme, pour x assez grand, f(x) g(x), tout intervalle ]M ;+ [ contient aussi toutes les valeurs de f(x). Ainsi, lim f( x). On démontre de la même façon le résultat 2. Théorème d encadrement dit «des gendarmes» (admis) Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I =]a, +[ et un réel. Si pour x assez grand, h(x) f(x) g( x) et si lim g( x) lim h( x) alors lim f( x). Autrement dit : Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I =]a, +[ et un réel. Si pour x assez grand, on a f( x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) Démonstration : L inégalité f ( x) g( x) signifie que pour tout x assez grand, g(x) f(x) + g(x). Or, lim g( x). D après les règles opératoires, g x et lim g( x) lim ( ) x x gendarmes», lim f( x). x. En utilisant le théorème précédent dit «des 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 9 Terminale S
VIII. Limite de fonction composée Définition de la composée de deux fonctions Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit incluse dans J ( ui ( ) J). La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v et est notée v u. v u( x) v u x. Pour tout réel x de I : Théorème Limite de fonction composée (admis) Soit f, g et h trois fonctions telles que f = goh. Chaque lettre a, b, et c désigne soit un réel, soit +, soit. Si lim hx ( ) b et si lim g ( X ) c alors lim g ( hx ( )) c. x a X b x a f ( x) 2x. Application : Déterminer la limite en + de la fonction définie par 2 Déterminer la limite en + de la fonction définie par f (x) x² x. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page Terminale S