SOMMAIRE LIMITES DE FONCTIONS *. 1. LIMITES D UNE FONCTION... 2 LIMITES A L INFINI... 2 LIMITE REELLE ( OU FINIE) EN + ET -... 2 LIMITE INFINIE EN + ET -... 2 LIMITES EN UN REEL A... 3 LIMITE INFINIE EN A (DU DOMAINE DE DEFINITION DE F, OU UNE BORNE)... 3 LIMITE FINIE EN A (DU DOMAINE DE DEFINITION DE F, OU UNE BORNE)... 3 LIMITES A DROITE, A GAUCHE... 4 *. 2. LIMITES ET OPERATIONS... 4 LIMITES D UNE SOMME... 4 LIMITES D UN PRODUIT... 4 LIMITES D UN QUOTIENT... 5 FORMES INDETERMINEES... 5 CAS PARTICULIERS... 5 *. 3. THEOREMES DE COMPARAISON... 5 THEOREME D ENCADREMENT DIT THEOREME DES GENDARMES... 5 COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS... 6 *. 4 LIMITES D UNE FONCTION COMPOSEE... 6 THEOREME (ADMIS)... 6 *. 5 EXERCICES... 6 touchaplimiess 1/6
*. 1. Limites d une fonction Limites à l infini Limite réelle ( ou finie) en + et - Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le nombre l en + signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f() prises pour tous les assez grands. On écrit : lim f() = l Les valeurs de f(), pour les grandes valeurs de, «s accumulent autour de l.» On dit que f() tend vers l quand tend vers + Interprétation graphique : Dans un repère la droite d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + Eemples : Les fonction 1, 1 ², 1 n, 1 ont pour limite 0 en + et - Limite infinie en + et - Définitions : Dire qu une fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert ]M ; + [ contient toutes les valeurs f() prises pour tous les assez grands. On écrit : lim f() =+ Les valeurs de f() finissent, pour les grandes valeurs de, par dépasser n importe quel nombre M aussi grand soit-il. On dit que f() tend vers + quand tend vers + Dire qu une fonction f a pour limite - en + signifie que tout intervalle ouvert ]- ; M [ contient toutes les valeurs f() prises pour tous les assez grands. On écrit : lim f() =- On dit que f() tend vers - quand tend vers + Eemples : Les fonction, ², n pour n entier naturel non nul, ont pour limite + en + Les fonction ², n pour n entier naturel pair non nul, ont pour limite + en - Les fonction, n pour n entier naturel impair non nul, ont pour limite - en- Asymptote oblique : a et b sont des réels, a non nul, dire que la droite y = a + b est asymptote oblique à la courbe représentative de f en + signifie lim [f() -(a+b)] = 0 touchaplimiess 2/6
NB : idem pour - Limites en un réel a Limite infinie en a (du domaine de définition de f, ou une borne) Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le nombre + en a signifie que tout intervalle ]M ; + [contient toutes les valeurs f() prises pour tous les proches de a, c'est-à-dire tous les de Df et dans un intervalle de la forme ]a α ; a + α[. On écrit : lim a f() = + Les valeurs de f(), pour les valeurs de de plus en plus proches de a, finissent par dépasser n importe quel nombre M aussi grand soit-il. On dit que f() tend vers + quand tend vers a Interprétation graphique : Dans un repère la droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f en + Eemple: Soit la fonction 1, définie sur D = ]0 ; + [. Quelle est la limite de f en 0? Conjecture à la calculatrice : il semble que f() prenne des valeurs de plus en plus grande. Donc que lim f() = +. 0 est une borne de D. 0 On aura 1 > M dès que 0 < < 1 M Ainsi, aussi grand que soit le réel M, les nombres f() dépassent M pour tout de ]0 ; 1 M [ Conclusion : lim 0 f() = +. Limite finie en a (du domaine de définition de f, ou une borne) Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le nombre k lorsque tend vers a signifie que tout intervalle ouvert de centre k contient toutes les valeurs f() prises pour tous les proches de a, c'est-à-dire tous les de Df et dans un intervalle de la forme ]a α ; a + α[. On écrit : lim f() = k a Les valeurs de f(), pour les valeurs de de plus en plus proches de a, finissent par s accumuler autour de k, c'est-à-dire que les distances de f() à k tendent vers 0. lim f() = k signifie donc que lim f() - k = 0 a a On dit que f() tend vers k quand tend vers a Interprétation graphique : Si a est dans D et si f a une limite k en a alors cette limite est f(a). Autrement dit : a étant un élément de l ensemble de définition de f et si f est une fonction usuelle (polynôme, sin, cos, rationnelle, ) alors f admet une limite en a et lim f() = f(a) a touchaplimiess 3/6
Eemple: Soit la fonction 1, définie sur D = ]0 ; + [. Quelle est la limite de f en 0? Conjecture à la calculatrice : il semble que f() prenne des valeurs de plus en plus grande. Donc que lim f() = +. 0 est une borne de D. 0 On aura 1 > M dès que 0 < < 1 M Ainsi, aussi grand que soit le réel M, les nombres f() dépassent M pour tout de ]0 ; 1 M [ Conclusion : lim 0 f() = +. Limites à droite, à gauche Eemple : la fonction f : - 1 n a pas de limite en 0. Mais sur ]0 ; + [ elle a pour limite + en 0 et on écrit : lim f(). n dit que f a une limite à droite en 0. 0+ De même sur ] - ; 0[ f a une limite à gauche en 0 car lim f() = - 0- *. 2. Limites et opérations Limites d une somme Si f a pour limite l l l + + - Si g a pour limite l' + - + - - alors f + g a pour limite l + l' + - +????? - Limites d un produit Si f a pour limite l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + - Si g a pour limite l' + - + - alors f g a pour limite ll' + - - + + + 0 0 - - + - - +?????????? touchaplimiess 4/6
Limites d un quotient Si f a pour limite l l l + + - - - ου + Si g a pour limite l' + - l' > 0 l' < 0 l' > 0 l' < 0 - ου + alors f/g a pour limite l/l' 0 0 + - - +????? Si f a pour limite l > 0 l < 0 + - + - l > 0 l < 0 0 Si g a pour limite 0 + 0 + 0 + 0 + 0-0 - 0-0 - 0 alors f/g a pour limite + - + - - - - +????? Formes indéterminées Les résultats notés????? sont appelés des formes indéterminées. On ne peut pas conclure directement, il faut étudier cas par cas. Cas particuliers La limite d un polynôme en - et + est la limite de son terme de plus haut degré. La limite d une fonction rationnelle en - et + est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. *. 3. Théorèmes de comparaison Théorème d encadrement dit théorème des gendarmes Théorème f, g, h sont trois fonctions définies sur I = ]b ; + [ et l un réel. Si pour tout dans I, g() f() h() et si g et h ont pour limite l en +, alors lim f() = l Démonstration : Par hypothèse, tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs de g() et de h() pour assez grand (et supérieur à b) et donc toutes les valeurs de f() puisque g() f() h() donc lim f() = l Eemple : Soit f() = sin pour tout réel de ]0; + [, on a -1 sin() + 1 et donc - 1 f() 1 or lim 1/ = lim -1/ = 0 alors d après le théorème, lim f() = 0 touchaplimiess 5/6
Comparaison de deu fonctions Théorème Soit f et g deu fonctions définies sur un intervalle I = = ]b ; + [. Si pour tout dans I f() g() et si lim Si pour tout dans I f() g() et si lim Démonstration : g() = + alors lim g() = - alors lim f() = + f() = - Par hypothèse, tout intervalle de la forme ]M ; + [ contient toutes les valeurs de g() pour assez grand (et supérieur à b) et donc toutes les valeurs de f() puisque g() f() donc lim f() = + Eemple : soit f() = + cos. Limite de f en +? Pour tout réel, cos -1 donc + cos -1 + soit f() 1. Or lim ( - 1) = +, + inf d après le théorème, lim f() = +. *. 4 Limites d une fonction composée Théorème (admis) Théorème f, g, h sont trois fonctions telles que h() = g(f()) et a, b, c sont trois réels ou + o u -. Si lim f() = b et si lim g() = c alors lim h() = c a b a Eemple : Cherchons la limite de h() = ² - + 1 en + h -------------------------------------------------- ² - + 1 f g ---------------- ² - + 1 --------------------- ² - + 1 comme lim (² - + 1) = + et lim g()= + alors lim h() = + *. 5 Eercices 7, 9, 10 p.80 13, 14, 15, 16, 18 p. 81 20, 22, 26 p.82 35, 41 p. 83 touchaplimiess 6/6