Mathématiques. Exemple de tâche complexe avec trois degrés de complexité

Mathématiques Exemple de tâche complexe avec trois degrés de complexité

Une version purement mathématique Degré 1 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et ABCD est un carré dont les sommets sont sur le cercle. En utilisant le théorème de Pythagore calculer le côté du carré. un théorème utilisable est cité et la figure est codée de telle façon qu elle indique dans quel triangle utiliser le théorème. Il ne reste plus qu à traiter l information (diamètre rayon), calculer AB² et passer à la racine carrée. Degré 2 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et ABCD est un carré dont les sommets sont sur le cercle. Calculer le côté du carré. Diagonales tracées. Reconnaître une configuration connue (diagonales perpendiculaires) faire référence à un théorème connu ce qui ramène au degré 1 ou autre. Degré 3 : Le cercle c de centre O a pour diamètre 8 cm et ABCD est un carré dont les sommets sont sur le cercle. Calculer le côté du carré. Mettre en place une stratégie (tracé des diagonales par exemple)

Version contextualisée Degré 3 Dans un jardin public il y a un bassin circulaire de diamètre 8 mètres. Au centre du bassin il y a une statue. On veut protéger la statue en l entourant d une barrière métallique de 1,50 mètre de hauteur. Il a été décidé que cet enclos aura la forme d un carré dont les sommets seront sur le pourtour du bassin. La barrière utilisée coûte 80 le mètre linéaire. Déterminer, à l euro près, ce que l on devra dépenser pour cette barrière. Degré 2 Voici un schéma de la situation. Degré 1 Voici un schéma de la situation. (on pourra utiliser le théorème de Pythagore). Degré 1 et 2: la situation est schématisée et fortement incitative sur le plan stratégique dans le degré 1. Ce schéma est une aide au traitement et à l organisation de l information utile et à la compréhension de la situation (élimination de l information sur la hauteur de la barrière et montre qu il faut s intéresser à une longueur). Le degré 1 induit une seule stratégie (aide à la réalisation). Dans le degré 3 : tout le traitement de l information est à réaliser, se représenter la situation, comprendre la notion de mètre linéaire ) percevoir qu il suffit de calculer le périmètre

Réalisation en classe de quatrième dans le cadre d un travail en groupe. Dans chaque groupe, les élèves cherchent individuellement puis font une mise en commun de leur recherche. Tous les élèves ont eu un problème sur l expression «80 le mètre linéaire». Le professeur a répondu sans donner d indice sur le fait qu il fallait calculer une longueur ou une aire. La réalisation du dessin à l échelle a posé des difficultés (inscription d un carré dans un disque). C est déjà en soi une tâche complexe.

Degré 2 Groupe A et D: les 4 élèves commettent une erreur dans le calcul du périmètre d un carré. Exemple A1. Incités par le professeur à faire la mise en commun, ils s accordent sur le calcul du périmètre et, en réalisant leur synthèse, ils utilisent le théorème de Pythagore alors que leurs schémas faits à l échelle leur donnaient une réponse correcte. Synthèse A Groupe F: utilisation de Pythagore par un élève F1 Un autre élève veut utiliser le cosinus (ce qui est possible) mais se «rallie» à Pythagore F2. Synthèse F Un élève confond la hauteur de la barrière et le côté du carré. Malgré les aides fournies (degré2 et 1) il reste sur sa position. Des élèves ont eu aussi des difficultés pour se représenter la situation. Pour certains la barrière devait entourer le jardin public

Degré 3 Des stratégies différentes : Dessin à l échelle Trigonométrie Pythagore Degré1 Productions «académiques» exemple. Ce type de tâche suscite peu d intérêt chez certains élèves mais reste indispensable pour d autres De façon générale, proposer des tâches de degré 3 et devant certaines difficultés «descendre» vers les degrés 2 ou 1 en fournissant des aides adaptées. * * On constate tout de même que les élèves les plus en difficultés ont beaucoup de mal à réaliser la tache de degré 1. Cela pose la question de la nature des aides (implicite/explicite, capacités de verbalisation/lecture) mais aussi de la méthodologie mise en place au niveau de la formulation des problèmes.

Compétence et expertise Mesure du côté du carré À l échelle : 5,7 m Pythagore: 32 5, 656 Trigonométrie : 8 Cos( 45 ) 5, 656 Les deux résultats sont arrondis par les élèves à 5,7 m 5,7 4 80 = 1824 Intervention du professeur: «c est trop cher!» 32 4 80 1810, 193 Somme arrondie à 1810 Travailler avec des valeurs «exactes» - + Expertise A signaler un autre degré d expertise : la rédaction formalisée de l argumentation: justification des diagonales perpendiculaires etc.

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