Nombres p-adiques : prise de notes

Nombres p-adiques : prise de notes Joël Cohen 20 octobre 2010 Table des matières 1 Motivation 1 1.1 Perspective.............................................. 1 1.2 Equations diophantiennes...................................... 2 2 Construction de l anneau Z p 3 2.1 Définition............................................... 3 2.2 Extension de Z............................................ 4 3 Topologie de Z p 5 3.1 Valuation p-adique.......................................... 5 3.2 Norme p-adique............................................ 5 3.3 Arithmétique de Z p.......................................... 5 3.4 Topologie............................................... 6 3.5 Propriétés de la topologie de Z p................................... 6 3.5.1 Compact........................................... 6 3.5.2 Ultramétrique......................................... 6 3.5.3 Totalement discontinu.................................... 7 4 Définition et topologie de Q p 7 5 Lemme de Hensel 7 Ce sont les notes personnelles d un exposé d introduction aux nombres p-adiques donné pour le séminaire des doctorants du laboratoire de Mathématiques de l Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand. Rien de plus. 1 Motivation 1.1 Perspective Pour chaque p premier, on va construire de nouveaux nombres, appelé nombres p-adiques. D une part un anneau topologique noté Z p (entiers p-adiques) qui étend l anneau Z des entiers, et d autre part un corps topologique noté Q p (nombres p-adiques) qui étend le corps Q des rationnels. Les nombres p-adiques Q p forment le corps des fractions des entiers p-adiques Z p (c est-à-dire que tout élément de Q p est un quotient de deux éléments de Z p ), tout comme Q est le corps des fractions de Z. Il est essentiel de noter que ces deux 1

1 MOTIVATION 2 ensembles sont munis conjointement d une structure algébrique (anneau ou corps) et d une topologie (ce qui fait en grande partie leur intérêt). Z complétion Z p fractions fractions Q complétion Q p Il s agit bien de constructions vraiment nouvelles au sens où Q p muni de sa topologie ne peut pas s injecter dans C de manière continue, et le corps Q p est strictement plus grand que Q (et de dimension inifinie sur Q). Par ailleurs les nombres p-adiques dépendent réellement du choix du nombre premier p. En effet, pour p l deux nombres premiers distincts, les anneaux Z p et Z l sont différents (non isomorphes) et de même pour Q p et Q l. 1.2 Equations diophantiennes Problème : Soit f Z[X 1,..., X d ] un polynôme à d variables à coefficients entiers, on cherche d entiers (x 1,..., x d ) Z d tels que f(x 1,..., x d ) = 0 (1) C est ce qu on appelle une équation diophantienne. C est un problème souvent très difficile, notamment parce que Z est un ensemble infini (il n est pas question d essayer toutes les possibilités unes à unes) et relativement pauvre en structures (pas d inversion, pas de limites etc). Exemple 1.1. On peut citer les exemples classiques d équations diophantiennes : 1. Savoir si le polynôme P = n k=0 a kx k possède une racine rationnelle revient à chercher des solutions (x, y) Z 2 à n a k x k y n k = 0 k=0 avec y 0, auquel cas le quotient x y est racine de P. Par exemple, montrer que 2 est irrationnel revient à montrer que l équation f = X 2 2Y 2 n admet pas de zéros entiers non nuls. 2. Pour f = X 2 + Y 2 Z 2, on trouve une équation qui admet de nombreuses (une infinité) solutions non triviales appelées triplets pythagoriciens, comme (3, 4, 5). On peut donner une description complète de tous les triplets pythagoriciens. Le triplet (x, y, z) est pythagoricien si et seulement s il existe des entiers u, v, w Z tels que (à permutation près de x et y) x = w(u 2 v 2 ) y = 2uvw z = w(u 2 + v 2 ) 3. Pour p 3 premier et f = X p +Y p Z p, on retrouve l équation de Fermat. Ce dernier avait conjecturé qu elle n admettait pas de solution hormis celles évidentes obtenues en annulant x, y ou z. Il a fallu environ 350 ans pour parvenir à le prouver (A. Wiles, 1994).

2 CONSTRUCTION DE L ANNEAU Z P 3 Une idée est de réduire l équation (1) modulo n (pour n N ), ce qui ramène à un problème fini dans (Z/nZ) d. La philosophie est que si l équation (1) admet une solution, alors l équation résiduelle (modulo n) admet une solution. Ou en contraposée (1) admet une solution = (1) admet une solution modulo n (1) n a pas de solution modulo n = (1) n a pas de solution Exemple 1.2. Donnons pour illustrer une démonstration de l irrationnalité de 2 qui utilise ce principe. Posons f = X 2 2Y 2. Supposons par l absurde que f(x, y) = 0 admet une solution (x, y) Z 2 non nulle. Quitte à diviser x et y par leur pgcd (ce qui reste solution), on peut supposer qu ils sont premiers entre eux. Modulo 3, on a x 2 2y 2 y 2 mod 3 Comme x et y sont premier entre eux, l un d eux est non nul modulo 3, et donc finalement aucun n est nul modulo 3. En particulier, y est inversible modulo 3, notons y 1 son inverse modulo 3. On a donc ( xy 1 ) 2 1 mod 3 Mais par le petit théorème de Fermat, on trouve par ailleurs ( xy 1 ) 2 1 mod 3 Ce qui est manifestement absurde. En conclusion f(x, y) = 0 n admet aucune solution non nulle, et 2 est irrationnel. Malheureusement, la réciproque est fausse en général. Donc bien souvent, regarder modulo un seul entier n ne suffit pas. Une idée pour augmenter les chances d une réciproque consiste à considérer ensemble un paquet d équations résiduelles (modulo n pour tout n N ). On peut effectuer deux réductions du fait que ces équations résiduelles ne sont pas indépendantes les unes des autres. La première résulte du théorème suivant. Théorème 1.3 (Théorème des restes chinois 1 ). Si a, b Z sont deux entiers premiers entre eux, alors on a un isomorphisme d anneaux Z/aZ Z/bZ Z/abZ Le théorème nous assure que résoudre l équation (1) modulo a et b (dans ses notations) équivaut à la résoudre modulo ab. Si on veut, on peut donc se contenter de regarder l équation modulo p n pour tout nombre premier p et entier 2 n N. 2 Construction de l anneau Z p 2.1 Définition Dans toute la suite, on fixe donc p un nombre premier (p = 2, 3, 5, 7,..., 2 43112609 1,... ). La seconde réduction est que si l on connaît la solution de (1) modulo p n+1, on la déduit modulo p n (où n N). 1. C est le théorème qui est chinois. 2. L équation modulo p 0 = 1 n a pas grand intérêt, mais je la rajoute pour des questions de notation.

2 CONSTRUCTION DE L ANNEAU Z P 4 Formellement, si n N, on a dispose du morphisme d anneaux ϕ n : Z/p n+1 Z Z/p n Z x mod p n+1 x mod p n qui est bien défini (au sens où l image ne dépend pas du choix du représentant x) parce que si x y mod p n+1, alors en particulier x y mod p n. Et ϕ n transforme une solution modulo p n+1 en solution modulo p n (puisque ϕ n est un morphisme d anneaux). En définitive, le paquet des solutions modulo p n vit donc dans l anneau suivant (les opérations somme et produit sont définies terme à terme). { Z p = 2.2 Extension de Z (x n ) n N n N On a alors le morphisme de plongement diagonal } Z/p n Z, ϕ n (x n+1 ) = x n = lim Z/p n Z ϕn i : Z Z p x (x mod p n ) n N qui est injectif (si x mod p n = 0 pour tout n N, alors tous les p n divisent x). Ce qui permet de considérer Z Z p Exemple 2.1. Pour illustrer que Z p est strictement plus grand, regardons Z 3. Dans Z 3 on considère l entier 3-adique suivant n 1 x = ( 3 k mod 3 n ) n N k=0 C est effectivement un entier 3-adique puisque la suite vérifie bien la condition de réduction (on a n n 1 k=0 3k mod 3 n ). On vérifie par ailleurs que k=0 3k 2x = (3 n 1 mod 3 n ) n N = ( 1 mod 3 n ) n N = 1 Donc x est dans Z 3 mais pas dans Z. On prolonge l exemple précédent si on remarque qu un entier est inversible dans Z/p n Z si et seulement si p ne le divise pas. On en déduit que tous les entiers premiers à p ont un inverse dans Z p (les inverses modulo p n existent tous et sont compatibles aux morphismes de réductions ϕ n ). Mais p n admet pas d inverse dans Z p. Si l est un nombre premier distinct de p, alors Z p possède un inverse à l mais pas à p, tandis que Z l possède un inverse à p mais pas à l. Cela montre que Z p et Z l sont deux anneaux non isomorphes, et qu aucun n est inclus dans l autre.

3 TOPOLOGIE DE Z P 5 3 Topologie de Z p 3.1 Valuation p-adique Définition 3.1. Soit x = (x k ) k N Z p, on définit la valuation p-adique de x, notée v p (x), par v p (x) = max {k N, x k = 0} Avec la convention que le maximum d un ensemble non borné est +, ce qui donne v p (0) = + Si x Z est un entier, alors v p (x) correspond à l exposant de p dans la décomposition de x en facteurs premier. On établit facilement les propriétés suivantes. Proposition 3.2. Pour tous x, y Z p, on a 1. v p (x) = + x = 0 2. v p (xy) = v p (x) + v p (y) 3. v p (x + y) min(v p (x), v p (y)) Ajoutons, que si x, y Z p sont deux entiers p-adiques de valuation différente, alors l inégalité 3 devient une égalité. 3.2 Norme p-adique Définition 3.3. Pour x Z p, on définit la norme p-adique de x, notée x p, par avec la convention 0 p = 0. x p = p vp(x) Exemple 3.4. On a 10 2 = 1 2, 10 3 = 1 et 10 5 = 1 5. Par exponentiation, on déduit les propriétés de la norme p-adique à partir de celles de la valuation p-adique. Proposition 3.5. Pour tous x, y Z p, on a 1. x p = 0 x = 0 2. xy p = x p y p 3. x + y p max( x p, y p ) x p + y p 3.3 Arithmétique de Z p On remarque que les propriétés 1 et 2 de la norme p-adique entrainent en particulier que l anneau Z p est intègre (c est-à-dire que xy = 0 entraine x = 0 ou y = 0). Et un entier p-adique est inversible si et seulement si il est de norme 1 (c est clairement nécessaire, et réciproquement c est le même argument qu en 2.2 pour les entiers premiers à p). En conséquence, l arithmétique de Z p est simple. Moralement, p est le seul nombre premier de Z p (tous les autres sont devenus inversibles). Précisément, on a le résultat suivant. Proposition 3.6 (Z p est local). L anneau Z p est intègre, et possède un unique idéal maximal c est pz p, l idéal engendré par p, qui est aussi l ensemble des entiers p-adiques de norme strictement inférieure à 1. On a Z p /pz p Z/pZ

3 TOPOLOGIE DE Z P 6 3.4 Topologie D après les propriétés de la norme p-adique, on définit une distance sur Z p par d(x, y) = x y p (pour x, y Z p ) et donc une topologie pour laquelle les opérations (somme, produit, et inverse quand il est défini) sont continues. Notons surtout que pour la norme p-adique, on a p n 0 n Et le théorème suivant permet de se donner une image mentale de Z p comme des séries entières en p (ou des nombres dont le développement en base p serait infini vers la gauche ). Théorème 3.7 (développement de Hensel). Pour toute suite (a n ) n N [0, p 1] N, la série a n p n converge dans Z p. En outre, pour tout x Z p, il existe une unique suite (a n ) n N [0, p 1] N telle que Et on a alors x = a n p n n=0 v p (x) = min{n N, a n 0} Les entiers positifs sont exactement 3 les entiers p-adiques dont le développement de Hensel est fini. Nous avions déjà dit que Z p est plus grand que Z, mais le développement de Hensel fournit une bijection (ensembliste) entre Z p et [0, p 1] N. En particulier Z p est non dénombrable, donc beaucoup plus grand que Z. 3.5 Propriétés de la topologie de Z p 3.5.1 Compact Théorème 3.8 (Z p est compact). Pour la norme p-adique, Z p est compact, et Z (et même N) est dense dans Z p. Cette propriété est fondamentale. Elle assure que Z p est un bon ensemble pour faire de l analyse. En particulier il est complet (lire sans trou ), et si on accepte de faire des approximations (regarder à ɛ > 0 près), on se ramène à des problèmes finis (on peut recouvrir Z p par un nombre fini de boule de rayon ɛ). Remarquons que la compacité de Z p montre qu il ne peut pas s injecter continument dans C. En effet, soit f : Z p C est un morphisme continu d anneau. On pose a = f(1) alors on trouve f(z) = az (puisque f est un morphisme d anneau). Mais comme f est continu, son image est compacte dans C en particulier bornée, donc a = 0 et f est nulle sur Z, et par densité f = 0. 3.5.2 Ultramétrique La distance issue de la norme p-adique vérifie une inégalité plus restrictive que l inégalité triangulaire, on dit qu elle est ultramétrique. Cette inégalité étant plus forte, il est souvent plus facile de montrer des convergence dans Z p, mais en contrepartie il faut oublier son intuition géométrique. A titre de curiosité, on peut vérifier que l inégalité ultramétrique entraine que tout triangle est isocèle et que tout point d une boule ouverte est au centre 4. 3. Pour les entier négatifs, on par exemple 1 = n=0 (p 1) pn. 4. Précisément si l on prend 3 points dans Z p, alors parmi les distances 2 à 2, alors deux d entre elles sont égales. Et si l on prend un point x Z p dans une boule ouverte B de rayon r > 0, alors B est aussi la boule centre x et de rayon r.

5 LEMME DE HENSEL 7 3.5.3 Totalement discontinu La norme p-adique sur Z p ne peut prendre comme valeur que 1, 1 p, 1 p,.... En particulier les boules ouvertes 2 de rayon 1 1 p sont aussi fermées de rayon n p (et vice versa). On vérifie qu à part les points, aucune partie n+1 de Z p n est connexe. On dit que la topologie est totalement discontinue. 4 Définition et topologie de Q p On a vu que Z p est intègre, ce qui nous autorise à définir Q p comme le corps des fractions de Z 5 p. La norme et la valuation p-adique s étendent naturellement à Q p (en conservant les propriétés 1, 2, 3) pour a b Q p (avec a, b Z p ) par ( a ) v p = v p (a) v p (b) b et a = a p b p b p On a alors que Q est dense dans Q p, et Q p est obtenu à partir de Z p en rajoutant un inverse à p : Q p = Z p [p 1 ] = n Z p n Z p 5 Lemme de Hensel Revenons à notre objectif initial de trouver des solutions à des équations diophantiennes. Grâce à la topologie de Z p on peut résoudre certaines équations polynomiales par approximation successives (un peu comme ce que l on ferait sur R). On dispose notamment du résultat suivant qui moralement permet de construire une racine à un polynôme dont on connait une racine approchée. Théorème 5.1. (Lemme de Hensel) Soit f Z p [X]. On suppose que l on dispose d un α 0 Z p tel que Alors il existe α Z p tel que f(α 0 ) p < f (α 0 ) 2 p f(α) = 0 et α α 0 p < f (α 0 ) p Démonstration. La démonstration consiste à définir la suite d entier p-adiques (α n ) n N par récurrence sur n N par α n+1 = α n f(α n) f (α n ) Tout en vérifiant par réccurence que cette suite est bien définie et converge. Ce résultat est à rapprocher de la méthode de Newton sur R pour trouver les zéros d une fonction C 1 qui consiste à supposer que l on parte d un réel α 0 par trop loin d un zéro et tel que la pente en α 0 soit suffisante et on définit α n+1 comme l abscisse en laquelle la tangente à f en α n coupe l axe des abscisses (c est la formule donnée plus haut). Il faut noter que la complétude de Z p est essentielle dans la démonstration 6 de ce résultat qui n est pas vrai dans Z comme on peut le voir sur l exemple suivant. 5. C est-à-dire le quotient Q p = { (a, b) Z 2 p, b 0} /, où est la relation d équivalence définie par (a, b) (c, d) ac = bd 6. En fait, il est possible pour des anneaux non complets de satisfaire le lemme de Hensel, on les appelle anneaux Henseliens.

RÉFÉRENCES 8 Exemple 5.2. Considérons p = 5, f = X 2 + 1 et α 0 = 2. Alors on a et f(α 0 ) 5 = 5 5 = 1 5 f (α 0 ) 5 = 4 5 = 1 Donc on peut appliquer le lemme de Hensel, et on obtient α Z 5 tel que α 2 = 1. Mais f n a clairement aucune racine dans Z. Références [1] Yvette Amice. Les nombres p-adiques. Presses universitaires de France, 1975. [2] Pierre Colmez. Les nombres p-adiques. Notes du cours de M2. [3] Jurgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 322. Springer, 1999. [4] Jean Pierre Serre. Corps Locaux. Hermann, 1979.