Feuille d exercices de Théorie des Jeux Alexandre Marino 1
1 Equilibre de Nash Exercice 1. Etudier les équilibres purs des jeux matriciels suivants : ( ) 2, 1 0, 0 1. Bach ou Stravinsky : 0, 0 1, 2 ( ) 2, 2 0, 0 2. Mozart ou Mahler : 0, 0 1, 1 ( ) 1, 1 0, 4 3. Le dilemme du prisonnier : 4, 0 3, 3 ( ) 3, 3 1, 4 4. 4, 1 0, 0 ( ) 1, 1 1, 1 5. Matching pennies : 1, 1 1, 1 Exercice 2. Deux joueurs se disputent un objet. Chacun des joueurs i {1, 2} attribue une valeur v i > 0 à l objet. Le mécanisme de transaction suivant peut être appelé jeu d arrêt : Chaque joueur décide quand il concède l objet. En d autres termes : Le joueur J 1 (resp J 2 ) fixe une date t 1 N (resp t 2 N). Si t 1 < t 2 : J 1 concède l objet à J 2 à la date t 1. Si t 2 < t 1 : J 2 concède l objet à J 1 à la date t 2. Si ils arrêtent en même temps t 2 = t 1, ils reçoivent : v i 2 ( i = 1, 2). Avant l arrêt du jeu, chaque joueur perd une unité de valeur par unité de temps écoulée. Ecrire le jeu précédent sous forme stratégique et montrer que si (t 1, t 2 ) est un équilibre de Nash, alors t 1 = 0 ou t 2 = 0. Exercice 3. Un groupe de touristes passe ses vacances sur une station balnéaire dotée de deux plages A et B. Chaque touriste doit choisir de se rendre à A ou à B. On adopte les notations suivantes : N = {1,..., n} est l ensemble de joueurs (touristes). X i = {A, B} (x i = A si le joueur décide d aller à A). De plus, l utilité tirée par un joueur de sa présence en A (esp B) est une fonction décroissante du nombre a (resp b) de joueurs ayant choisi A (resp B). Cette utilité est représentée par la fonction f A (resp f B ). 1. Montrer l équivalence (a) (b) : (a) Il existe un équilibre de Nash où a joueurs choisissent A et b joueurs choisissent B, a + b = n. (b) f B (b + 1) f A (a ) et f A (a + 1) f B (b ), a + b = n 2
2. Vérifier que, pour qu un tel équilibre existe, il suffit d avoir : a + b = n, f A (a ) = f B (b ) 3. Etudier le ou les équilibres du cas suivant : n = 100, f A (a) = [max(100 a, 0)] 2, f B (b) = 5max(100 b, 0). Exercice 4. Calculer les équilibres des Nash en stratégies pures du jeu : G := (S 1, S 2, g 1, g 2 ) où S 1 = S 2 = R +, et pour tout couple (s 1, s 2 ) S 1 S 2 : g i (s 1, s 2 ) = max(0, s 2 i + 2α i s i s j + 2s i ) i, j = 1, 2 ; i j α 1 > 0 et α 2 > 0 étant des paramètres. (Indications : calculer la correspondance de meilleure réponse et chercher un point fixe). Exercice 5. Chasse au cerf et au lapin. Une société de chasseurs est composée de n menbres n 2. Chaque individu dispose d une unité de temps qu il répartit entre la chasse au cerf et la chasse au lapin. La chasse au cerf nécessite une coopération entre les chasseurs mais pas la chasse au lapin. La productivité de la chasse au cerf est a, celle de la chasse au lapin est b. Formellement, on considère le jeu suivant : N = {1,..., n}, X 1 = X 2 =... = X n = [0, 1]. La stratégie x i du joueur i est la portion de temps qu il consacre à la chasse au cerf, sa fonction de paiement est : g i (x 1,..., x n ) = a[ min h=1,...,n x h] + b(1 x i ) où a et b sont des paramètres > 0. 1. On suppose a < b. Déterminer les fonctions de meilleures réponse et les équilibres de Nash. 2. Même question en supposant a > b. Exercice 6. Deux marchands de glace proposent leur produits sur une plage. La densité des consommateurs le long de la plage est homogène et un consommateur préfère se rendre chez le marchand le plus proche. Où doivent se positionner les marchands? Formellement on représent la plage comme un intervalle [0, 1] et le nombre de consommateur comme la mesure de Lebesgue. On considère le jeu G = 3
(X, Y, U 1, U 2 ) où : X = Y = [0, 1] et (x, y) X Y : U 1 (x, y) = x + 1 (y x) si x < y 2 = 1 si x = y 2 = (1 y) + 1 (x y) si y < x 2 U 2 (x, y) = 1 U 1 (x, y) (x, y) X Y 1. Interpréter le modèle : stratégies, paiements. 2. Calculer la correspondance de meilleure réponse et les équilibres de Nash du jeu. Exercice 7. On considère deux firmes produisant un même bien homogène. Les firmes se font concurrence en quantités et prennent leur décision simultanément. Quand la quantité totale est Q := q 1 + q 2 (q i 0 étant la quantité produite par la firme i), le prix est donné par : p = f(q) = 1 1 + Q Chaque firme i {1, 2} a un coût total linéaire C i (q i ) = cq i où 0 < c < 1. 1. Ecrire les fonctions de paiement des deux firmes et le jeu sous forme stratégique ainsi défini. 2. Représenter graphiquement le paiement du joueur 1 en fonction de q 1, q 2 étant fixé. 3. Déterminer les correspondances (fonctions) de meilleures réponse. 4. Calculer le ( ou les ) équilibres de Nash du jeu ( stratégies pures). Discuter selon la valeur de c. Exercice 8. On considère un oligopole N = {1, 2,..., n}. Chaque joueur i N produit la quantité x i [O, [= X i au coût c i (x i ). Le prix s établit alors à p( n x i ) et le profit de chaque producteur i est : i=1 u i (x 1,..., x n ) = x i p( n x i ) c i (x i ) ; x i [0, [, i = 1,..., n i=1 1. On suppose que les conditions suivantes sont satisfaites : p(0) > 0, p est concave décroissante non constante. Montrer qu il existe s > 0, tel que p(s) = 0, p(y) < 0 pour y < s. 2. On suppose de plus que c est convexe croissante. Montrer alors que les fonctions x i u i (x i, x i ) sont concaves et que 4
l on peut réduire les espaces de stratégies à [0, s] = X i. En déduire que le jeu G = (X i, u i, i N) admet un équilibre de Nash. (c est l équilibre de Cournot de l oligopole). Exercice 9. Calcul des équilibres de Nash des jeux suivants : G = (X 1, X 2, g 1, g 2 ) où X 1 = X 2 = [0, 1]. { g1 (x 1. 1, x 2 ) = 5x 1 x 2 x 1 x 2 + 2 g 2 (x 1, x 2 ) = 5x 1 x 2 3x 1 3x 2 + 5 2. 3. { g1 (x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 2x 2 1 + 7x 2 2 g 2 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 1) 2 { g1 (x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 2x 2 1 + 7x 2 2 g 2 (x 1, x 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 Exercice 10. On considère le jeu G = (X i, u i, i N) où X i = {0, 1} pour tout i dans N. a 0 ( n x i ), si x i = 0 i=1 u i (x i, x i ) = a 1 ( n x i ), si x i = 1 i=1 où a o est croissante, a 1 décroissante, et {t entier a 0 (t) = a 1 (t)} est réduit à un singleton. L interprétation est la suivante : N est l ensemble de populations (voyageurs) d une ville qui ont le choix entre x i = 0 (prendre la voiture), x 1 = 1 (prendre le transport en commun). 1. Montrer qu il existe un équilibre de Nash (x 1,..., x n ). 2. Quelle est la population à l équilibre qui prend le transport en commun? Exercice 11. (Enchères) Une enchère est organisé pour la vente d un bien indivisible. Un commissaire priseur fixe un prix de reserve r > 0. Le mécanisme de l enchère est le suivant : Chaque enchérisseur (joueur) i {1,..., n} annonce sous pli cacheté un prix x i [r, [= X. Le bien est accordé à celui qui annonce le prix le plus élevé et plus généralement si S {1,..., n} est l ensemble des joueurs ayant annoncé le prix le plus élevé le bien revient à θ(s) où θ : P (N)\{ } S tel que θ(s) S. Si x = (x 1,..., x n ) est le vecteur des annonces, on notera w(x) le gagnant de l enchère et t(x) le montant du transfert de w(x) vers le commissaire priseur. 5
Le mécanisme est alors défini comme l application X n associe Π(x) = (w(x), t(x)) où : N R qui à x w(x) = θ({i x i = max j=1,...,n x j}), x X n On suppose que l enchérisseur i évalue le bien à a i si bien que sa fonction d utilité sur N R est définie par : { ai t si j = i u i (j, t) = 0 si j i Nous allons distinguer deux mécanismes qui différent par le prix payé par le gagnant de l enchère. 1. Enchères au premier prix. On suppose que le prix payé par le gagnant est le prix maximum annoncé. Ecrire le jeu (X 1,..., X n ; g 1,..., g n ) où X i = [r, [( i = 1,..., n) et déterminer l ensemble des stratégies non dominées de chaque joueur. 2. Enchères au second prix (Vickrey). Les règles sont les mêmes que dans le cas précédent sauf sur un point : le prix payé par le gagnant de l enchère w(x) est t(x) = min x j. Montrer que pour le joueur i une j w(x) stratégie dominante est x i = max(r, a i ). 6
2 Existence d un equilibre de Nash Rappel : Théorème de Kakutani Soit X un sous-ensemble convexe compact de R n et f : X X une correspondance telle que : Pour tout x X, l ensemble f(x) est non vide et convexe ; Le graphe de f est fermé.( i.e Soient x n, y n tels que y n f(x n ) pour tout n, x n x, et y n y alors y f(x)) Alors il existe x dans X, tel que x f(x). Exercice 12. Montrer que les hypothèses du théorème de Kakutani sont nécessaires. Exercice 13. (Jeu Symétrique) On considère un jeu symétrique, c est à dire un jeu à 2 joueurs : G := (S 1, S 2, g 1, g 2 ) où S 1 = S 2 = X. et g 1 (x 1, x 2 ) = g 2 (x 2, x 1 ) x 1, x 2 X On fait les hypothèses suivantes : X est un ensemble convexe compact non vide de R n g 1 est continue sur X X Pour tout x 2 X, x 1 g 1 (x 1, x 2 ) est concave, continue. Montrer qu il existe x X tel que ( x, x) est un équilibre de Nash du jeu G. Indications : Appliquer le théorème de Kakutani. 7
3 Jeux a deux joueurs à Somme nulle : équilibres purs Rappel de cours : Théorème : Soit G := ({1, 2}; A 1, A 2 ; u) un jeu à somme nulle. 1. Si (x, y ) est un équilibre de Nash de G alors x (resp y ) est une stratégie optimale pour le joueur 1 (resp joueur 2). 2. Si (x, y ) est un équilibre de Nash de G alors max x min y u(x, y) = min y max x u(x, y) = u(x, y ), et donc les équilibres de Nash engendre tous la même valeur, appelée valeur de G et notée v(g). 3. Si max x min y u(x, y) = min y max x u(x, y), x est une stratégie optimale pour le joueur 1, y est une stratégie optimale pour le joueur 2 alors (x, y ) est un équilibre de Nash de G. Remarque : Connaître les notions : Garantir, stratégies optimales Exercice 14. Soit A une matrice réelle à m lignes et n colonnes : A = (a i,j ) i=1,...,m;j=1,...,n. On considère le jeu à 2 joueurs suivant : Le joueur 1 choisit une ligne dans {1,..., m}, soit i. connaissant le choix de 1, le joueur 2 choisit une colonne dans {1,..., n}, soit j. Le paiement du joueur 1 est alors a i,j celui du joueur 2 est a i,j. Réduire ce jeu à la forme stratégique. Préciser notamment les ensembles de stratégies des joueurs. Montrer que le jeu a une valeur ; laquelle? Que se passe-t-il si on fait jouer le joueur 2 en premier? Exercice 15. Calculer le supinf, le infsup et déterminer si il y a lieu la valeur des jeux suivants : 1. S = T = R, g(s, t) = st 2. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = st 3. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = st 4. S = T = R, g(s, t) = s + t 5. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = s + t 6. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = s + t 7. S = T = R, g(s, t) = s t 8. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = s t 9. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = s t 8
Exercice 16. Montrer que l ensemble S des équilibres de Nash d un jeu à deux joueurs à somme nulle G = (X 1, X 2, g) vérifie la propriété suivante : (x 1, x 2 ) S, (y 1, y 2 ) S (x 1, y 2 ) S, (y 1, x 2 ) S En déduire que S s écrit sous la forme d un produit S = S 1 S 2. 9
4 Strategies mixtes Exercice 17. (x, y) est un EN du jeu matriciel A si et seulement si : i I : x i > 0 e i Ay = max e i i Ay I j J : y j > 0 xaf j = max xaj j j J Applications : ( ) 1 1 A := 1 1 Faire le graphe des meilleures réponses. Exercice 18. On considère le jeu bimatriciel : ( a1, a 2 b 1, b 2 ) c 1, c 2 d 1, d 2 1. Supposons que (1, q) (q ]0, 1[) est un équilibre de Nash. Vérifier que nécessairement a 2 = b 2 et que (1, 1) ou (1, 0) est un équilibre de Nash. 2. Supposons qu il existe un équilibre de Nash sur la frontière du carré [0, 1] [0, 1]. Montrer qu il existe un équilibre de Nash pur. 3. En déduire que si le jeu n admet pas d équilibre pur alors il a un équilibre unique qui est complètement mixte. Calculer les équilibres de Nash des jeux : ( 2, 3 0, 0 0, 0 3, 2 ), ( 1, 1 1, 0 2, 1 0, 3 ), ( 1, 1 0, 1 0, x 1, y Exercice 19. Montrer que dans tout équilibre de Nash, une action pure strictement dominée ( par une action mixte) a un poids nul. En déduire les équilibres de Nash du jeu bimatriciel : 3, 0 0, 5 4, 2 0, 5 3, 0 4, 2 1, 3 1, 3 1, 5 Exercice 20. Calculer la valeur (mixte) du jeu matriciels : a 0 a 1...... a n 1 a n 1 a 0 a 1... a n 2 a n 2 a n 1 a 0... a 1. a 1 a 2 a 3... a 0 10 )
On pourra remarquer l existence d un x (avec i x i = 1) tel que Ax = λj, où J est le vecteur colonne contenant des 1. Exercice 21. On considère l espace M(m, n) des matrices réelles à m lignes et n colonnes. On note v(m) la valeur du jeu matriciel M. Avec = max i,j m i,j, montrer que pour tous A M(m, n) et B M(m, n) on a : v(a) v(b) A B En déduire que v est continue sur M(m, n). Exercice 22. Soit A une matrice carrée antisymétrique représentant un jeu matriciel à somme nulle. Montrer que x n, t xax = 0 En déduire que si (x, y) est un EN, alors : t xay = 0, Ax 0, Ay = 0 Exercice 23. Soit A une matrice réelle antisymétrique d ordre n (i.e. a ij = a ji ) et soit I la matrice identité d ordre n. 1. Montrer que la valeur du jeu matriciel A + 1 est strictement positive (raisonner par l absurde). 2. En déduire qu il existe un vecteur x R n + tel que (A+I)x >> 0 (toutes les composantes sont strictement positives). 11