à la McPherson-Procesi Une application aux valeurs zêta multiples Ismaël Soudères Le 3 janvier 2009
: étude de cas Exemples d applications 2 Rappels sur les valeurs zêta multiples et : ζ(2)ζ(2) et 3 Espaces de modules de courbes et espaces X n
L exemple simple de ζ(2) Le nombre ζ(2) défini par la série + n= n 2 admet l écriture suivante sous forme d intégrale ζ(2) = dt dt 2. t 2 t 0<t <t 2<
L exemple simple de ζ(2) Le nombre ζ(2) défini par la série + n= n 2 admet l écriture suivante sous forme d intégrale ζ(2) = dt dt 2. t 2 t En effet, 0<t <t 2< 0<t <t 2< dt dt 2 = t 2 t = = 0 t 2 0 t 2 0 ( t2 ) dt dt 2 0 t ( ) t2 + t n dt dt 2 0 ( + t 2 n= n=0 n tn+ 2 ) dt 2 = + n= n 2.
Représentation simpliciale de ζ(2) On note dans la suite n = {0 < t < < t n < }. La situation géométrique correspondant à ζ(2) se décrit ainsi : singularités de la forme intégrée : t 2 = 0, t =. bord du domaine d intégration : t = 0, t = t 2, t 2 =. 2 t 2 t dt dt 2 Divergence a priori en (0, 0) et (, ). Pour résoudre le problème en (0, 0) : Passage en coordonnées polaires Intégrer sur un cube
Passage en coordonnées polaires Le changement de variables t = r cos(θ) donne ζ(2) = dt dt 2 2 t 2 t = π/2 / sin(θ) π/4 r=0 C est tronquer le simplexe en un sens "remplacer" (0, 0) par un petit arc de cercle "à ε près". t 2 = r sin(θ) r sin(θ)( r cos(θ)) r dr dθ.
Intégrer sur un cube Le changement de variables t 2 = x, t = x x 2 donne ζ(2) = dt dt 2 = 2 t 2 t La transformation géométrique correspondante est t = t 2 = 0 t = t 2 t = 0 0 x ( x x 2 ) x dx dx 2. t = 0 t 2 =
Interprétation géométrique de ces changements de variables Remplacement de (0, 0) par l ensemble des directions arrivant sur (0, 0) : Coordonnées polaires :
Interprétation géométrique de ces changements de variables Remplacement de (0, 0) par l ensemble des directions arrivant sur (0, 0) : Coordonnées polaires : changement de variables : t 2 = x, t = x x 2. t 2 t 2 = x = t
Interprétation géométrique de ces changements de variables Remplacement de (0, 0) par l ensemble des directions arrivant sur (0, 0) : Coordonnées polaires : changement de variables : t 2 = x, t = x x 2. t 2 t 2 = x = t C est l éclatement de (0, 0) dans R 2.
d un éclatement Description abstraite Soit X une variété lisse et Y une sous-variété lisse fermée, on note N X Y le fibré normal de Y. L éclatement de X le long de Y est la donnée d une variété lisse Bl Y X et d un morphisme p : Bl Y X X tel que p induit un isomorphisme Bl Y X \ p (Y ) X \ Y, on a un isomorphisme p (Y ) P(N X Y ).
d un éclatement Description abstraite Soit X une variété lisse et Y une sous-variété lisse fermée, on note N X Y le fibré normal de Y. L éclatement de X le long de Y est la donnée d une variété lisse Bl Y X et d un morphisme p : Bl Y X X tel que p induit un isomorphisme Bl Y X \ p (Y ) X \ Y, on a un isomorphisme p (Y ) P(N X Y ). En termes d équations Supposons Y donnée dans A n par x = = x k = 0. Bl Y X A n P k Alors Bl Y X A n P k est donné par p p A n x i X j = x j X i.
Des éclatements pour quoi faire? Supprimer des singularités Éclatement de la courbe C : y 2 x 2 (x + ) vue par Hartshorne Les équations de C dans Bl 0,0 A 2 : y 2 = x 2 (x + ), xu = ty, [u, t] P. Pour t 0, y = xu et x 2 u 2 = x 2 (x + ).0 0.5 0.0 0.5.0.0 0.5 0.0 0.5.0
Des éclatements pour quoi faire? "Bonnes compactifications" Il s agit à partir d une variété ouverte X, d obtenir une variété compacte X contenant X et telle que D = X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple).
Des éclatements pour quoi faire? "Bonnes compactifications" Il s agit à partir d une variété ouverte X, d obtenir une variété compacte X contenant X et telle que D = X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple). Exemples Espaces de configurations. Soit X une variété (projective), et C n (X ) X n l ouvert défini par x i x j. [FM94] (994, Fulton, MacPherson) Espaces de modules de courbes. est en un sens l espace de configuration de C n 3 (P \ {0,, }).
Des éclatements pour quoi faire? "Bonnes compactifications" Il s agit à partir d une variété ouverte X, d obtenir une variété compacte X contenant X et telle que D = X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple). Exemples Espaces de configurations. Soit X une variété (projective), et C n (X ) X n l ouvert défini par x i x j. [FM94] (994, Fulton, MacPherson) Espaces de modules de courbes. est en un sens l espace de configuration de C n 3 (P \ {0,, }). Les arrangements de sous-espaces ; par exemple A n \ H i. [DCP95] (995,Concini, Procesi) En partant de X X une variété compacte munie d une stratification par des fermés S de X \ X, on cherche à obtenir une compactification X à partir de la stratification. [MP98] (998, MacPherson, Procesi)
Philosophie Soit X une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ) de sous-variétés lisses fermées. Supposons que l on veuille éclater le long de chaque S i. Alors avant d éclater une strate S i, il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j S i.
Philosophie Soit X une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ) de sous-variétés lisses fermées. Supposons que l on veuille éclater le long de chaque S i. Alors avant d éclater une strate S i, il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j S i. Exemple dans A 3 On veut éclater le long de (0, 0, 0), (t, t, t) et (0, 0, t) :
Philosophie Soit X une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ) de sous-variétés lisses fermées. Supposons que l on veuille éclater le long de chaque S i. Alors avant d éclater une strate S i, il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j S i. Exemple dans A 3 On veut éclater le long de (0, 0, 0), (t, t, t) et (0, 0, t) : On veut éclater le long de (0, 0, 0), (,, ), (t, t, t), (0, 0, t) et (t,, ) :
Théorème (2003, Hu [Hu03]) Soit X 0 un ouvert d une variété lisse X. On suppose que X \ X 0 = i I D i avec D i lisses fermées irréductibles et i, j I, D i et D j sont d intersection lisse et T X (D i ) T X (D j ) = T X (D i D j ) ; 2 pour tout i, j I, D i D j = ou D l. En posant D = {D i } i I, il existe alors une suite telle que Bl D X Bl D k X Bl D 0 X X
Théorème (2003, Hu [Hu03]) Soit X 0 un ouvert d une variété lisse X. On suppose que X \ X 0 = i I D i avec D i lisses fermées irréductibles et i, j I, D i et D j sont d intersection lisse et T X (D i ) T X (D j ) = T X (D i D j ) ; 2 pour tout i, j I, D i D j = ou D l. En posant D = {D i } i I, il existe alors une suite telle que Bl D X Bl D k X Bl D 0 X X Bl D X est lisse ; (Bl D X ) \ X 0 = i I D i est un diviseur à croisements normaux ; 2 Pour tout entier k, D i D ik est non vide si et seulement si D i,..., D ik sont comparables.
Rappels sur les valeurs zêta multiples des Pour tout p-uplet k = (k,..., k p ) d entier avec k 2, la valeur zêta multiple () ζ(k) est définie par ζ(k) = n >...>n p>0 n k. nkp p
Rappels sur les valeurs zêta multiples des Pour tout p-uplet k = (k,..., k p ) d entier avec k 2, la valeur zêta multiple () ζ(k) est définie par ζ(k) = n >...>n p>0 n k nkp p Relations de doubles s Ces nombres réels satisfont deux familles de relations quadratiques, appelées double ou shuffle et stuffle. Le stuffle ou vient de la représentation en termes de séries ci dessus, le shuffle ou vient d une représentation en termes d des valeurs zêta multiples..
Rappels sur les valeurs zêta multiples Représentation intégrale sur un simplexe Soit k un p-uplet de poids n = k + + k p (k 2). On associe à k k = ( 0,..., 0,,..., 0,..., 0, ) = (ε }{{}}{{} n,..., ε ). k fois k p fois En notant n = {0 < t <... < t n < }, on a ζ(k) = ( ) p d n t. n t ε t n ε n
Rappels sur les valeurs zêta multiples Représentation intégrale sur un simplexe Soit k un p-uplet de poids n = k + + k p (k 2). On associe à k k = ( 0,..., 0,,..., 0,..., 0, ) = (ε }{{}}{{} n,..., ε ). k fois k p fois En notant n = {0 < t <... < t n < }, on a ζ(k) = ( ) p d n t. n t ε t n ε n Dans le cas n = 3 : C 3 (P \ {0,, }) = M 0,6 hyperplan au bord de 3 : t = 0, t = t 2, t 2 = t 3, t 3 = lieu des singularités : t =, t 2 = 0, t 2 =, t 3 = 0 et t = t 3 pour la symétrie.
ou Combinatoire du Soit k = (k 0, k p ) (k 0 = (k,..., k p )) et l = (l 0, l q ) (l 0 = (l,..., l q )) deux uplets d entiers. (Stuffle) Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule (k) (l) = (k l 0 ) l q + (k 0 l) k p + (k 0 l 0 ) (k p + l q ) () et k () = () k = k. On écrira σ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k l. Exemple (n) (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m) (u) (v, w) = (u, v, w)+(v, u, w)+(v, w, u)+(u+v, w)+(v, u+w).
ou valeurs zêta multiple Proposition (Relations de stuffle) Soit k = (k,..., k p ) et l = (l,..., l q ) deux uplets d entiers avec k, l 2. On a alors l égalité ζ(k)ζ(l) = Exemple ζ(k)ζ(l) = = n >...>n p>0 σ st(k,l) + + n= m= ζ(σ). n k m l = n k nkp p n>m>0 = ζ(k, l) + ζ(l, k) + ζ(k + l). n k m l + m >...>m q>0 m>n>0 m l mlq q m l n k + n=m n k+l
et : ζ(2)ζ(2) comme intégrale sur un cube On a vu que ζ(2) = 2 dt 2 t 2 dt t. Le changement de variables t n = x, t n = x x 2,..., t = x...x n, (2) correspondant à une suite à l origine, donne pour n=2 dx x dx 2 dx dx 2 ζ(2) = =, [0,] x 2 x x 2 [0,] x 2 x 2
et : ζ(2)ζ(2) comme intégrale sur un cube On a vu que ζ(2) = 2 dt 2 t 2 dt t. Le changement de variables t n = x, t n = x x 2,..., t = x...x n, (2) correspondant à une suite à l origine, donne pour n=2 dx x dx 2 dx dx 2 ζ(2) = =, [0,] x 2 x x 2 [0,] x 2 x 2 et pour n = 4 d 4 x ζ(4) = ζ(2, 2) = [0,] x 4 x 2 x 3 x 4 et ζ(2)ζ(2) = x x 2 d 4 x [0,] ( x 4 x 2 )( x x 2 x 3 x 4 ) [0,] 4 x x 2 x 3 x 4 d 4 x.
et : ζ(2)ζ(2) ζ(2)ζ(2) par les Pour toute variable α et β on a l égalité ( α)( β) = α ( α)( αβ) + β ( β)( βα) + αβ. (3) En posant α = x x 2 et β = x 3 x 4 dans (3), on retrouve la relation de stuffle ( x x 2 ζ(2)ζ(2) = [0,] ( x 4 x 2 )( x x 2 x 3 x 4 ) ) x 3 x 4 + ( x 3 x 4 )( x 3 x 4 x x 2 ) + d 4 x (4) x x 2 x 3 x 4 c est à dire, ζ(2)ζ(2) = ζ(2, 2) + ζ(2, 2) + ζ(4).
et comme intégrale sur un cube : cas général Soit k = (k,..., k p ) un p-uplet d entiers et n = k + + k p. On définit la fonction f k,...,k p de n variables sur [0, ] n comme f k,...,k p (x,..., x n ) = x x k x x k x x k+k 2 x x k x k+ x k+k 2 x x k+k 2+k 3 x x k+...+k p x x k+ +k p. (5)
et comme intégrale sur un cube : cas général Soit k = (k,..., k p ) un p-uplet d entiers et n = k + + k p. On définit la fonction f k,...,k p de n variables sur [0, ] n comme f k,...,k p (x,..., x n ) = x x k x x k x x k+k 2 x x k x k+ x k+k 2 x x k+k 2+k 3 x x k+...+k p x x k+ +k p. (5) Proposition Pour tout p-uplet d entiers (k,..., k p ) avec k 2, on a (n = k + + k p ) ζ(k,..., k p ) = f k,...,k p (x,..., x n ) d n x. (6) [0,] n
et Préliminaires : notations Soit k = (k,..., k p ) = (k 0, k p ) un p-uplet d entiers et n = k + + k p. On se donne n variables x,..., x n. Notation Pour tout uplet a = (a,..., a r ), on écrira Q a = a a r. On écrira x pour (x,..., x n ) et x 0 pour (x,..., x n kp ). Si l est un q-uplet avec l + + l q = m, on introduira m variables x = (x,..., x m). Si σ st(k, l) alors y σ est la suite en les x i et x j telle que : certaines sous suites sont à leurs places respectives par rapport à la position des k i et des l j. Remarque Soit (k,..., k p ) = (k 0, k p ) comme précédemment, Q x0 f k,...,k p (x) = f k,...,k p (x 0 ) Q x. (7)
et Représentation intégrale du Stuffle Proposition Soit k = (k,..., k p ) et l = (l,..., l q ) deux uplets avec n = k + + k p et m = l + + l q. On a alors f k,...,k p (x) f l,...,l q (x ) = σ st(k,l) f σ (y σ ). (8) Idée On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L objectif est de retrouver la formule de récurrence () du produit stuffle pour les fonctions f k,...,k p.
et Représentation intégrale du Stuffle Proposition Soit k = (k,..., k p ) et l = (l,..., l q ) deux uplets avec n = k + + k p et m = l + + l q. On a alors f k,...,k p (x) f l,...,l q (x ) = σ st(k,l) f σ (y σ ). (8) Idée On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L objectif est de retrouver la formule de récurrence () du produit stuffle pour les fonctions f k,...,k p. Si p = q =, f n (x)f m (x ) = Q x Q (3) x = Q x ( Q x)( Q x Q x ) + Q x ( Q x )( Q x Q x) + Q x Q x. (9)
et Représentation intégrale du Stuffle : preuve Pas de la récurrence Soit (k,..., k p ) = (k 0, k p ) et (l,..., l q ) = (l 0, l q ) deux uplets. La remarque (7) donne Q Q f k0,k p (x 0, x(k, p))f l0,l q (x 0, x x0 x (l, q)) = f k0 (x 0 ) Q x f l 0 (x 0 0 ) Q x. En appliquant la formule (3) à α = Q x et β = Q x, on trouve que le membre de droite de l équation précédente est égal à f k0 (x 0 )f l0 (x 0 ) ( Q x 0 Q ( Q x x 0) ( Q x)( Q x Q x ) + Q ) x ( Q x )( Q x Q x) + ( Q x Q x. )
et Représentation intégrale du Stuffle : preuve Q Q Q Q x x! f k0 (x 0 )f l0 (x 0 )( x0 x 0 ) ( Q x)( Q x Q x + ) ( Q x )( Q x Q + x) ( Q x Q x. )
et Représentation intégrale du Stuffle : preuve f k0 (x 0 )f l0 (x 0 )( Q x0 Q x 0 ) Q Q x x! ( Q x)( Q x Q x + ) ( Q x )( Q x Q + x) ( Q x Q x. ) Suite et fin En développant et en utilisant la remarque (7) on obtient, f k0,k p (x)f l0,l q (x ) = ( f k0,k p (x)f l0 (x 0 ) ) ( fk0 (x 0 )f l0,l q (x ) ) Q x Q x 0 Q x Q x + Q x Q x 0 Q x Q x + (f k0 (x 0 )f l0 (x 0 )) Q x0 Q x 0 Q x Q x. On voit donc que le produit des fonctions f k,...,k p et f l,...,l q satisfait la relation de récurrence () qui définit le produit stuffle.
Espaces de modules de courbes et Soit k = (k,..., k p ) avec k 2, n = k + k p. Objectifs Il s agit d écrire ζ(k) = Φ n ω k où le lieu A des singularités de ω k n intersecte pas le bord de Φ n. Ce n est pas le cas dans la représentation ζ(2) = dt dt 2. t 2 t 0<t <t 2< Par contre après éclatement de (0, 0) (, ) (et (, )) 0 0
Espaces de modules de courbes et espaces +3 et éclatements L espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués est l ensemble des sphères de Riemann avec n points marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.
Espaces de modules de courbes et espaces +3 et éclatements L espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués est l ensemble des sphères de Riemann avec n points marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués. Concrètement L ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL 2 (C) d où +3 = {(z 0,..., z n+2 ) P (C) tel que z i z j }/ PSL 2 (C). Et PSL 2 (C) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z 0, z n+ et z n+2 par ex.) sur 0, et : +3 (P (C) \ {0,, }) n \ {grande diagonale}.
Espaces de modules de courbes et espaces +3 et éclatements Exemples pour n = on a M 0,4 P (C) \ {0,, }. Pour n = 2 on a M 0,5 (C) (P (C)\{0,, }) 2 \{t t 2 }. Il existe une compactification qui continue à être un espace de modules. Théorème ([DM69],[Knu83]) est projectif, irréductible lisse. Le bord de est un diviseur à croisements normaux. 0 0 Fig.: M 0,5 in P (R) 2 Fig.: M 0,5(R)
Espaces de modules de courbes et espaces +3 et L espace +3 Soit β : +3 (P ) n définie sur l ouvert par l identification +3 (P \ {0,, }) n. Le morphisme β est la suite à la MacPherson-Procesi (thm de Hu) le long des sous-variétés de la forme t i = = t ik = ε, ε = 0,,, t i = = t ik.
Espaces de modules de courbes et espaces +3 et L espace +3 Soit β : +3 (P ) n définie sur l ouvert par l identification +3 (P \ {0,, }) n. Le morphisme β est la suite à la MacPherson-Procesi (thm de Hu) le long des sous-variétés de la forme t i = = t ik = ε, ε = 0,,, t i = = t ik. Théorème ([GM04]) Soit k un uplet d entiers de poids n. On note ω k le pull-back β (ω k ) et Φ n la préimage β ( n ). Le diviseur des singularités de ω k n intersecte pas le bord de Φ n et ζ(k,, k p ) = ω k. Φ n
Éclatement et espaces X n Problème et stratégie d évitement espace de modules On cherche à transposer le calcul f k,...,k p (x) f l,...,l q (x ) = σ st(k,l) f σ (y σ ) en une situation du type : δ : +m+3 +3 M 0,m+3 δ ( fk,...,k p (x) f l,...,l q (x )) = σ st(k,l) f σ (y σ ).
Éclatement et espaces X n Problème et stratégie d évitement espace de modules On cherche à transposer le calcul f k,...,k p (x) f l,...,l q (x ) = σ st(k,l) f σ (y σ ) en une situation du type : δ : +m+3 +3 M 0,m+3 δ ( fk,...,k p (x) f l,...,l q (x )) = σ st(k,l) f σ (y σ ). Problème Dans la décomposition du produit f 2, (x, x 2, x 3 )f 2, (x 4, x 5, x 6 ) on trouve le terme x x 2 x 4 x 5 dx dx 2 dx 3 dx 4 dx 5 dx 6 ( x x 2 x 4 x 5 )( x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ) qui n est pas holomorphe sur M 0,9.
Éclatement et espaces X n Problème et stratégie d évitement Au vu de l exemple précédent et de ce que l on fait avec uniquement des, il s agit de pouvoir permuter les x i. Ce n est pas possible de le faire sur +3 car les coordonnées cubiques sont extrêmement "locales" sur +3. Ces coordonnées proviennent d une première suite de (P ) n et n ont pas de signification globale sur +3. Pour n = 2, on a : Bl (0,0) A 2 Fig.: vers M 0,5 Fig.: A 2
Éclatement et espaces X n Stratégie : le cas de n = 3 Description de la situation pour M 0,6 Fig.: vers M 0,6 éclatement de (0,0,0) puis de (0,0,z) Fig.: A 3 Le fait que la symétrie soit brisée apparaît nettement sur ces dessins.
Éclatement et espaces X n Stratégie : le cas de n = 3 Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x i =, les 3 diviseurs x i x j = 0, le diviseur x x 2 x 3 = 0. L union de ces diviseurs n est pas à croisements normaux. Fig.: A 3
Éclatement et espaces X n Stratégie : le cas de n = 3 Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x i =, les 3 diviseurs x i x j = 0, le diviseur x x 2 x 3 = 0. L union de ces diviseurs n est pas à croisements normaux. Fig.: A 3 On doit donc éclater un point, 3 lignes, 3 courbes hyperboles.
Éclatement et espaces X n Construction abstraite Soit n 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A n : A I = { Q i I x i = 0} pour tout I [[, n]], I ; Dn = A I = {x i = } ( A I ) ; I i I, I 2 Dn 0 = {x i = 0} et B n = Dn 0 ( i {x i = }) ; enfin D n = Dn 0 D n.
Éclatement et espaces X n Construction abstraite Soit n 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A n : A I = { Q i I x i = 0} pour tout I [[, n]], I ; Dn = A I = {x i = } ( A I ) ; I i I, I 2 Dn 0 = {x i = 0} et B n = Dn 0 ( i {x i = }) ; enfin D n = Dn 0 D n. Lemme Soit D n l ensemble (ordonné par l inclusion) des composantes irréductibles de toutes les intersections possibles entre les diviseurs A I. Alors D n satisfait les hypothèses du théorème de Hu. p n La variété X n A n est définie comme le résultat de l application du théorème de Hu à la situation X = A n et D = Dn.
Éclatement et espaces X n Comparaison avec M 0,r+3 Un léger souci On pourrait vouloir obtenir le stuffle directement avec les espaces X n. Cela impliquerait de savoir relier X n X m à X n+m. Lemme Soit r 2 un entier. On notera A r une union particulière de composantes irréductibles de M 0,r+3 \ B r. Il existe alors une suite de drapeaux F,..., F N, d éléments de D r vérifiant certaines conditions telle que X r = Bl FN,...,F A r α r M0,r+3 \ A r = Bl Fr,...,F A r δr A r. (0) La situation cubique (simplexe après deux éclatements) de départ est :
En éclatant : le point (,, ) les droites (,, z) et (x,, ) on obtient M 0,6 \ A 3. Puis l éclatement de la dernière ligne donne : On éclate enfin le long des hyperboles (ce qui ne change pas le dessin).
Conclusion Pour conclure on utilise le diagramme suivant X n+m +m+3 décomposition +3 M 0,m+3 permutation des x i X n+m X n+m +m+3
C. De Concini and C. Procesi, Wonderful models of subspace arrangements, Selecta Math. (N.S.) (995), no. 3, 459 494. Pierre Deligne and D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Pub. Math. Institut des Hautes Etudes Scientifiques (969), no. 36, 75 09. William Fulton and Robert MacPherson, A compactification of configuration spaces, Ann. of Math. (2) 39 (994), no., 83 225. A. B. Goncharov and Yu. I. Manin, Multiple ζ-motives and moduli spaces, Compos. Math. 40 (2004), no., 4. Yi Hu, A compactification of open varieties, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 2, 4737 4753 (electronic). Finn F. Knudsen, The projectivity of the moduli space of stable curves. II. The stacks M g,n, Math. Scand. 52 (983), no. 2, 6 99. R. MacPherson and C. Procesi, Making conical compactifications wonderful, Selecta Math. (N.S.) 4 (998), no., 25 39.