Exercices sur les groupes

Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 1. Un nouveau groupe R 2. Groupe diédral 3. Groupe cyclique d ordre 12 4. Générateurs et relations dans un groupe 5. Centre de S n 6. Parties génératrices de S n 7. Partie génératrice à deux éléments de S n 8. Isomorphisme entre groupes quotients 9. Automorphismes intérieurs 10. Centre d un p-groupe 11. Groupes d ordre premier 12. Quotient par le centre Exercices sur les groupes

Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur les groupes Énoncés

1. Un nouveau groupe R On munit l ensemble R de la loi de composition interne définie par : x, y R x y = 5 x 5 + y 5 Montrer que (R, ) est un groupe isomorphe à (R, +). Indication Solution F. Geoffriau

2. Groupe diédral Soit (B, ) le groupe des bijections de C sur C et n un entier supérieur ou égal à 3. On désigne par r et s les deux éléments de B définis par : z C r(z) =ze 2iπ/n et s(z) =z a. Montrer que r n = id C, s 2 = id C, r s r = s et que pour tout p Z, r p s r p = s. b. Démontrer que D = {r h s k ; h, k Z} est un sous-groupe de B et en déduire que tout élément de D peut s écrire de manière unique : r h s k avec h {0, 1,..., n 1} et k {0, 1} Quel est l ordre de D? Le groupe D est appelé groupe diédral. c. Déterminer une figure géométrique dont D est le groupe des isométries la conservant globalement. Indication Solution F. Geoffriau

3. Groupe cyclique d ordre 12 Soit G un groupe cyclique d ordre 12. Montrer qu il existe un sous-groupe H d ordre 4, et un seul. Étudier le groupe G/H. Généraliser pour un groupe cyclique d ordre n. Indication Solution F. Geoffriau

4. Générateurs et relations dans un groupe Soit G un groupe engendré par deux éléments distincts a et b (et distincts de l élément neutre e) et satisfaisant les relations a 3 = e, b 2 = e et abab = e. Décrire le groupe et indiquer un groupe classique isomorphe. Indication Solution F. Geoffriau

5. Centre de S n Montrer que, pour tout n 2, le centre du groupe S n se réduit à la permutation identique de l ensemble {1,..., n}. Étudier pour cela la commutativité d une permutation quelconque σ du centre avec une transposition arbitraire τ ij =(i, j) et montrer que σ laisse invariante la partie {i, j}. En déduire que σ est l identité. Indication Solution F. Geoffriau

6. Parties génératrices de S n Soit P la partie de S n constituée des n 1 transpositions de la forme (i, i + 1) avec i {1,..., n 1}. a. Montrer que P engendre S n. Pour cela, établir que toute transposition (i, i + k) (avec k 1) est un produit d éléments de P. b. Montrer que si l on supprime un élément de P, la partie P obtenue engendre un sous-groupe propre de S n (on dit que P est une partie génératrice minimale). Indication Solution F. Geoffriau

7. Partie génératrice à deux éléments de S n On considère la transposition τ = (1, 2) et le cycle σ = (1, 2,..., n) du groupe S n. Calculer σ k τσ k pour k {1,..., n 2}. En déduire que τ et σ engendrent S n. Indication Solution F. Geoffriau

8. Isomorphisme entre groupes quotients Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. a. On suppose que H est distingué dans G. Montrer que H K est distingué dans K, que HK = {hk; h H et k K} est un sous-groupe de G et que K/(H K) HK/H b. On suppose H et K distingués dans G et H K. Montrer que H est un sous-groupe distingué de K, que K/H est un sous-groupe distingué de G/H et que (G/H) / (K/H) G/K Indication Solution F. Geoffriau

9. Automorphismes intérieurs Soit G un groupe. a. Soit a G. Montrer que l application ϕ a : G G; x axa 1 est un automorphisme de G, on l appelle automorphisme intérieur de G associé à a. b. À quelle condition nécessaire et suffisante l automorphisme intérieur de G associé à a G est-il confondu avec l application identique? c. Montrer qu un sous-groupe de G est distingué si et seulement s il est stable par tous les automorphismes intérieurs de G. d. Montrer que l ensemble des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe distingué du groupe des automorphismes de G. Indication Solution F. Geoffriau

10. Centre d un p-groupe Soit p un nombre premier et G un groupe fini de cardinal p α, α N (un tel groupe est appelé p-groupe). Montrer que son centre Z n est pas réduit à l élément neutre. Indication Solution F. Geoffriau

11. Groupes d ordre premier Soit p un nombre premier. Montrer que tous les groupes de cardinal p sont isomorphes à (Z/pZ, +). Indication Solution F. Geoffriau

12. Quotient par le centre a. Soit Z le centre d un groupe G. Montrer que si G/Z est cyclique, alors G est abélien. b. En déduire que si G est fini de cardinal p 2, où p est un nombre premier, alors G est abélien. Indication Solution F. Geoffriau

Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur les groupes Indications

L isomorphisme est l application x x 5. 1. Un nouveau groupe R Indication Énoncé Solution F. Geoffriau

a. Calculer b. De même. c. Un polygone par exemple. 2. Groupe diédral Indication Énoncé Solution F. Geoffriau

3. Groupe cyclique d ordre 12 Indication Si a engendre G, H = {a 3,a 6,a 9,a 12 } et G/H est un groupe cyclique d ordre 3. Énoncé Solution F. Geoffriau

4. Générateurs et relations dans un groupe Indication On a G = {e, a, a 2, b, ab, a 2 b}, il est isomorphe à S 3. Énoncé Solution F. Geoffriau

5. Centre de S n Indication Montrer que, que pour tout k / {i, j}, alors σ(k) / {i, j}. Considérer ensuite deux transpositions (i, j) et (i, k) avec j k. Énoncé Solution F. Geoffriau

6. Parties génératrices de S n Indication a. Faire une récurrence. b. Si on supprime la transposition (k, k + 1), considérer les parties {1,..., k} et {k + 1,..., n}. Énoncé Solution F. Geoffriau

7. Partie génératrice à deux éléments de S n Indication On montre que σ k τσ k =(k +1,k+ 2) et on conclue grâce à l exercice 6. Énoncé Solution F. Geoffriau

8. Isomorphisme entre groupes quotients Indication a. Considérer l application f: HK K/(H K); hk k (montrer qu elle est correctement définie) ou l application g: K HK; k k. b. Considérer l application g: G/H K/H qui à la classe de x modulo H associe la classe de x modulo K (montrer qu elle est correctement définie). Énoncé Solution F. Geoffriau

9. Automorphismes intérieurs Indication a. Clair. b. Il faut et il suffit que a appartienne au centre de G. c. Écrire. d. On a ϕ a ϕ b = ϕ ab, ϕ 1 a = ϕ a 1 et ϕ ϕ a ϕ 1 = ϕ ϕ(a) pour a, b G et ϕ Aut G. Énoncé Solution F. Geoffriau

10. Centre d un p-groupe Indication En faisant opérer G sur lui-même par conjugaison (a x = axa 1 pour a, x G), écrire l équation aux classes p α = G = a Ω [G : G a] où Ω est un ensemble contenant un et un seul élément de chaque classe de conjugaison. Montrer que Z Ω et que tout a Ω \ Z, [G : G a ] divise G = p α. Énoncé Solution F. Geoffriau

11. Groupes d ordre premier Indication Considérer l ordre des éléments de G et montrer que G est cyclique. Énoncé Solution F. Geoffriau

12. Quotient par le centre Indication a. Soit x G tel que x engendre G/Z. Montrer que, pour tout y G, il existe k Z et c Z tel que y = x k c. b. Utiliser les exercices 11 et 10. Énoncé Solution F. Geoffriau

Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur les groupes Solutions

1. Un nouveau groupe R Solution La loi est clairement commutative. Soit x, y, z R, on a (x y) z) = 5 (x y) 5 + z 5 = 5 x 5 + y 5 + z 5 = 5 x 5 +(y z) 5 = x (y z) et donc la loi est associative. Soit x R, on a x 0= 5 x 5 +0 5 = x et x ( x) = 5 x 5 +( x) 5 =0 donc 0 est l élément neutre pour et x est l opposé de x pour. Ainsi (R, ) est un groupe. On considère l application ϕ: R R; x x 5. Il est clair que ϕ est bijective. Soit x, y R, on a ϕ(x y) = (x y) 5 = x 5 + y 5 = ϕ(x)+ϕ(y) Donc ϕ est un isomorphisme du groupe (R, ) sur le groupe (R, +). Énoncé Indication F. Geoffriau

2. Groupe diédral Solution Énoncé Indication F. Geoffriau

3. Groupe cyclique d ordre 12 Solution Le groupe G étant cyclique, il existe un élément a G engendrant G. Supposons qu il existe un sous-groupe H de G ayant 4 éléments. Soit x H. D après le théorème de Lagrange, x 4 = e où e est l élément neutre de G. Et comme a engendre G, il existe n {0,..., 11} tel que x = a n, d où a 4n = e et donc 12 divise 4n (a est d ordre 12), i.e. 3 divise n. Ainsi H {e, a 3,a 6,a 9 } et comme H admet 4 éléments, on a H = {e, a 3,a 6,a 9 }. Réciproquement la partie {e, a 3,a 6,a 9 } de G est un sous-groupe de G, c est le sousgroupe engendré par a 3. Donc il existe un et un seul sous-groupe d ordre 4 de G et ce sous-groupe est cyclique. Le groupe G/H est d ordre 3 = 12/4, ses éléments sont H, ah et a 2 H. L élément ah est d ordre 3 dans G/H (on a (ah) 3 = a 3 H = H car a 3 H), donc G/H est un groupe cyclique d ordre 3. On aurait pu dire que 3 étant premier, G/H est isomorphe à Z/3Z mais ce raisonnement ne se généralise pas. Soit G un groupe d ordre n N et p un diviseur de n. On montre qu il existe un et un seul sous-groupe H d ordre p de G, qu il est cyclique ainsi que G/H. Énoncé Indication F. Geoffriau

4. Générateurs et relations dans un groupe Solution Puisque le groupe G est engendré par a et b, il contient les éléments e, a, a 2, b, ab, a 2 b. Ces éléments sont deux à deux distincts car e, a et b le sont et que a 3 = e (donc a 2 e). Puisque a 3 = e et que b 2 = e, on a a 1 = a 2 et b 1 = b. De plus abab = e, donc On a ba = a 1 b 1 = a 2 b e e = e e a = a e a 2 = a 2 e b = b e ab = ab e a 2 b = a 2 b a e = a a a = a 2 a a 2 = e a b = ab a ab = a 2 b a a 2 b = b a 2 e = a 2 a 2 a = e a 2 a 2 = a a 2 b = a 2 b a 2 ab = b a 2 a 2 b = ab b e = b b a = a 2 b b a 2 = ab b b = e b ab = a 2 b a 2 b = a ab e = ab ab a = b ab a 2 = a 2 b ab b = a ab ab = e ab a 2 b = a 2 a 2 b e = a 2 b a 2 b a = ab a 2 b a 2 = b a 2 b b = a 2 a 2 b ab = a a 2 b a 2 b = e On remarque qu il y a trois éléments d ordre 2 qui sont b, ab et a 2 b et deux éléments d ordre 3 qui sont a et a 2. En identifiant a avec le cycle (1, 2, 3) et b avec la transposition Énoncé Indication F. Geoffriau

(1, 2), on montre que G est isomorphe au groupe S 3. La bijection entre les deux ensembles est G S 3 e id {1,2,3} a (1, 2, 3) a 2 (1, 3, 2) b (1, 2) ab (1, 3) a 2 b (2, 3) et pour montrer qu il s agit d un morphisme de groupes, il suffit de comparer les tables de chacun des deux groupes. Énoncé Indication F. Geoffriau

5. Centre de S n Solution Soit σ une permutation du centre de S n. Soit i, j, k {1,..., n} deux à deux distincts. La permutation σ commute avec la transposition τ ij, donc σ(k) =σ τ ij (k) =τ ij σ(k) donc σ(k) n appartient pas à {i, j}. Ainsi σ laisse invariante la partie {1,..., n} \ {i, j} et comme c est une bijection, elle laisse aussi invariante la partie {i, j}. De même, σ laisse invariante la partie {i, k}, donc par intersection il en est de même pour la partie {i}. Ainsi σ(i) = i. Ceci étant vrai pour tout i {i,..., n}, σ = id E. Le centre de S n est réduit à l identité. Énoncé Indication F. Geoffriau

6. Parties génératrices de S n Solution a. Soit i {1,..., n 1}. La transposition (i, i+1) appartient à P, c est donc un produit d éléments de P. Soit k {1,..., n i 1}, supposons que la transposition (i, i + k) soit un produit d éléments de P. Alors (i, i + k + 1) = (i + k, i + k + 1)(i, i + k)(i + k, i + k + 1) (regarder les images de i, i+k et i+k+1 par le produit). Donc la transposition (i, i+k+1) est un produit d éléments de P. Ainsi par récurrence, pour tout k {1,..., n i}, la transposition (i, i + k) est un produit d éléments de P. En conclusion, toute transposition est un produit d éléments de P et par conséquent toute permutation est un produit d éléments de P, la partie P est une partie génératrice de S n. b. Soit k {1,..., n 1}. On pose P = P \{(k, k + 1)}, I = {1,..., k} et J = {k +1,..., n}. Les transpositions de P laissent stables les parties I et J, donc leurs produits laissent aussi ces parties stables. Or la transposition (k, k + 1) ne laisse pas ces parties stables, cette transposition ne peut donc pas s écrire comme un produit d éléments de P. Ainsi P n est pas une partie génératrice de S n et P est une partie génératrice minimale de S n. Énoncé Indication F. Geoffriau

Attention : contrairement aux espaces vectoriels, les parties génératrices minimales n ont pas toutes même cardinal, voir l exercice 7 pour une autre partie génératrice minimale de S n, celle-ci n ayant que 2 éléments. Énoncé Indication F. Geoffriau

7. Partie génératrice à deux éléments de S n Solution Soit k {1,..., n 2}. La permutation σ k envoie k sur 1, k + 1 sur 2 et envoie donc les autres sur des éléments distincts de 1 et 2. Soit i {1,..., n}\{k, k +1}, σ k (i) est distinct de 1 et de 2, il est donc invariant par τ, et De plus σ k τσ k (i) =σ k( σ k (i) ) = i σ k τσ k (k) =σ k τ(1) = σ k (2) = k +1 σ k τσ k (k + 1) = σ k τ(2) = σ k (1) = k Donc σ k τσ k est la transposition (k, k + 1). Ainsi toute transposition de la forme (k, k + 1) est produit de σ et de τ. Comme ces transpositions engendrent S n (6), toute permutation de S n est produit de σ et de τ. La partie {σ, τ} est une partie génératrice de S n, elle est évident minimale. Énoncé Indication F. Geoffriau

8. Isomorphisme entre groupes quotients Solution a. Soit a K et x H K, on a axa 1 H K car H est distingué dans G et car K est un sous-groupe de G. Donc H K est un sous-groupe distingué de K. Soit x, y HK, il existe h, h H et k, k K tels que x = hk et y = h k. Comme H est distingué dans G, on a kk 1 h k k 1 H, donc hk (h k ) 1 = hkk 1 h = ( h(kk 1 h k k 1) (kk 1 )) HK De plus HK est non vide, donc HK est un sous-groupe de G. Le sous-groupe H est inclus dans HK et étant distingué dans G, il est distingué dans HK, ainsi le quotient KH/H a du sens. En composant l injection canonique de K dans HK avec la surjection canonique de HK sur HK/H, on obtient le morphisme ϕ K HK/H x Hx Par définition de HK, ce morphisme est surjectif (toute classe d éléments de HK a un représentant dans K). Et son noyau est H K, il induit donc un isomorphisme de K/(H K) sur HK/H. Énoncé Indication F. Geoffriau

b. Il est clair que si H est distingué dans G, il est à fortiori distingué dans K. La partie K/H de G/H est non vide. Soit α, β K/H, il existe a, b K tels que α = ah et β = bh. Alors αβ 1 = ah b 1 H = ab 1 H et comme ab 1 K, αβ 1 K/H. Ainsi K/H est un sous-groupe de G/H. Soit α G/H et ξ K/H, il existe a G et x K tels que α = ah et ξ = xh. Alors αξα 1 = ah xh a 1 H = axa 1 H Comme K est distingué dans G, axa 1 K et αξα 1 K/H. Donc K/H est distingué dans G/H. On considère la surjection canonique de G sur G/K. Son noyau est K et puisque H K, elle induit un morphisme (surjectif) ψ G/H G/K xh xk dont le noyau est K/H. On obtient donc un isomorphisme de groupes entre G/K et (G/H) / (K/H). Énoncé Indication F. Geoffriau

a. Soit x, y G, on a 9. Automorphismes intérieurs Solution ϕ a (x)ϕ a (y) =axa 1 aya 1 = axya 1 = ϕ a (xy) Donc ϕ a est un morphisme de groupes. Notons e l élément neutre de G. Soit x G, on a ϕ a (x) =e axa 1 = e x = a 1 ea = e Donc ker(ϕ a )={e} et ϕ a est injective. Soit x G, on a ϕ a (a 1 xa) =a(a 1 xa)a 1 = x Donc ϕ a est surjective. Ainsi ϕ a est un automorphisme de groupes. b. On a ϕ a = id G x G ϕ a (x) =x où Z(G) est le centre de G. x G x G a Z(G) axa 1 = x ax = xa Énoncé Indication F. Geoffriau

c. Soit H un sous-groupe de G. Supposons que H soit un sous-groupe distingué. Soit a G, on a ah = Ha, d où ϕ a (H) =aha 1 = H et ainsi H est stable par ϕ a. Réciproquement, supposons H stable par tout automorphisme intérieur. Soit a G, on a ϕ a (H) H et ϕ a 1(H) H, d où aha 1 H et a 1 Ha H, i.e. ah Ha et Ha ah, ainsi ah = Ha. Et donc le sous-groupe H est distingué. d. On a id G = ϕ e, l identité est donc un automorphisme intérieur. Soit a, b G, on a x G ϕ a ( ϕb (x) ) = abxb 1 a 1 = abx(ab) 1 = ϕ ab (x) donc ϕ a ϕ b est un automorphisme intérieur. De plus ϕ a ϕ a 1 = ϕ e = id G et ϕ a ϕ a 1 = ϕ e = id G donc ϕ a a pour inverse ϕ a 1 qui est un automorphisme intérieur. Ainsi l ensemble des automorphisme intérieur est un sous-groupe du groupe des automorphismes de G. On remarque que l application qui à a G associe ϕ a est un morphisme de groupes. Soit a G et ϕ un automorhisme. On a x G ϕ ϕ a ϕ 1 (x) =ϕ(aϕ 1 (x)a 1 )=ϕ(a)xϕ(a 1 )=ϕ ϕ(a) (x) Donc ϕ ϕ a ϕ 1 = ϕ ϕ(a) qui est un automorphisme intérieur. Ainsi le sous-groupe des automorphismes intérieur est distingué dans le groupe des automorphismes de G. Énoncé Indication F. Geoffriau

10. Centre d un p-groupe Solution Le groupe G agit sur lui-même par conjugaison : pour a, x G, a x = axa 1. Soit Ω un ensemble contenant un et un seul élément de chaque classe de conjugaison. Soit a Ω, la classe de a est la partie G a = {xax 1 ; x G}. Si a est dans le centre de G, alors il commute avec tout élément de G et sa classe est {a}. Soit G a = {x G; xax 1 = a} le stabilisateur de a dans G. Soit x, y G tels que y xg a, il existe z G a tel que y = xz et yay 1 = xzaz 1 x 1 = xax 1 car z G a. Ainsi on peut définir l application ϕ:(g/g a ) g G a qui à x associe xax 1 où x est un représentant de x. Cette application est clairement surjective et elle est injective ; en effet soit x, y G tels que xax 1 = yay 1, alors a = x 1 ya(x 1 y) 1, d où x 1 y G a et y xg a. C est donc une bijection. Ainsi comme G est fini, card(g a) =[G : G a ] (l indice de de G a dans G). Comme l ensemble des classes G a, a Ω, forme une partition de G, on a G = a Ω card(g a) = a Ω[G : G a ] Et pour tout a Ω\Z, [G : G a ] divise G = p α (en effet on a G = G a [G : G a ]), donc Énoncé Indication F. Geoffriau

puisque [G : G a ] n est pas réduit à un élément (a / Z), il est multiple de p. Et ainsi p α = a Z 1+ a Ω\Z [G : G a ]= Z mod p donc Z = 0 mod p, Z contenant au moins un élément (l élément neutre), il contient au moins p éléments. Énoncé Indication F. Geoffriau

11. Groupes d ordre premier Solution Soit G un groupe de cardinal p. Soit a un élément de G distinct de l élément neutre e de G. Son ordre est distinct de 1 et divise p, l ordre de G. L entier p étant premier, l ordre de a est p. Ainsi les éléments e, a,..., a p 1 sont deux à deux distincts et puisque G est de cardinal p, G = {a k ; k =0,..., p 1} et donc le morphisme de groupes Z G k a k est surjectif et son noyau est pz. Donc G est isomorphe à Z/pZ. Énoncé Indication F. Geoffriau

12. Quotient par le centre Solution a. Supposons que G/Z est cyclique et que G n est pas abélien. Soit x G \ Z. Puisque x/ Z, sa classe x modulo Z est distincte de la classe de l élément neutre e. Puisque G/Z est cyclique, x engendre G/Z. Soit y G, il existe donc k Z tel que et il existe c Z tel que y = x k c. Mais alors y = x k = x k yx = x k cx = x k xc = xx k c = xy Donc x commute avec tout élément de G et ainsi x Z, ce qui est contraire à l hypothèse sur x. Donc si le groupe G/Z est cyclique, le groupe G est abélien. b. Supposons que G ne soit pas abélien. L ordre du sous-groupe Z divise l ordre p 2 du groupe G. Puisque p est premier, l ordre de Z est soit 1, soit p, soit p 2. D après 10, Z n est pas réduit à l élément neutre, donc Z n est pas de cardinal 1. Puisque Z G, Z n est pas de cardinal p 2 Ainsi Z est de cardinal p et le groupe G/Z est de cardinal p 2 /p = p. Puisque p est premier, d après 11, G/Z est cyclique. Et d après la question précédente, G est abélien. Contradiction. Donc G est abélien. Énoncé Indication F. Geoffriau