Chapitre 1 Arithmétique Partie 2 : Division euclidienne Propriété d'archimède Soit b un entier naturel non nul Pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < b n Cela revient à dire que si b est positif, il existe toujours un multiple positif de b plus grand que n importe quel entier naturel a fixé au préalable Démonstration Nous donnons ici deux démonstrations de la proposition précédente Démo 1 : comme b est un entier naturel non nul, 1 b Donnons nous un entier a quelconque En multipliant l égalité précédente par l entier positif a + 1, on tire : ( a+ 1) b ( a+ 1) or a< a+ 1 et finalement : a< b ( a+ 1) Choisissons n = a + 1 et nous avons ainsi bien trouvé un entier n vérifiant a< b n, ce qu il fallait démontrer Démo 2 : Ecrivons notre propriété avec des quantificateurs : Soit b N, b 0 ( a N, n N / a< b Faisons une démonstration par l absurde : supposons que le contraire de la proposition( a N, n N / a< b soit vrai, on aurait donc( a N / n N, a b ce qui équivaut (b étant non nul) à l existence d un entier naturel a tel que pour tout entier n, a n b Tout entier n serait donc plus petit qu un nombre réel a b fixé ce qui ne se peut pas La proposition contraire de la proposition à montrer étant fausse, notre propriété est vraie Si b = 5 et a = 51 dès que l on choisit un entier n 11, on a < b n Rappel : Technique de la division d'entiers naturels Poser la division de 71 par 9 On peut écrire 71 = 9 x 7 + 8 71 s'appelle le dividende, 9 le diviseur, 7 le quotient et 8 le reste On a 8 < 9, le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur 71 9 8 7 Pour chercher le quotient q de la division de a entier naturel par b entier naturel non nul, on cherche en pratique les multiples du diviseur b et on choisit celui qui précède immédiatement le multiple strictement supérieur au dividende Si q b, q N est le multiple recherché, alors q est le quotient et r= a b q est le reste de la division de a par b TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 1
Propriété 1 : Division euclidienne dansn (Admis) Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul Il existe un unique couple (q ; r) d'entiers naturels tel que : a= b q+ r et 0 r< b On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b Démonstration On considère l ensemble H = { n N / a< b n} Commençons par quelques remarques utiles pour la suite : Tout entier naturel élément de H vérifie a< b n, tout entier naturel qui n appartient pas à H vérifie donc a b n (P1) Comme a 0, on peut écrire a b 0 ce qui entraîne par (P1) que 0 H (P2) H est non vide, en effet la propriété d Archimède assure de l existence d un entier naturel n vérifiant a< b n (P3) H est une partie den par construction (P4) En utilisant (P3) et (P4) on déduit que H admet un plus petit élément d après la propriété 0 du polycopié précédent Notons p cet élément et étudions ses propriétés : p est un élément de H donc a< b p a b p< 0 (P5) 0 H par (P2) donc p 0 et comme p est un entier naturel, p 1 p 1 0 p 1 N (P6) p 1 N par (P6) et p 1est strictement plus petit que p qui est le plus petit élément de H, donc p 1 H a b p 1 (P7) et ainsi par (P1) ( ) Existence du couple (q ; r) : Posons q = p 1 En utilisant (P6) et (P7) on déduit que q N et a b q 0 Posons r= a b q r est un entier et d après ce qui précède r 0 donc r N De plus r= a b q= a b ( p 1) = a b p + b< b strictement négatif par( P5) On a donc bien montré l existence de deux entiers naturels p et q tels que a= b q+ r et 0 r< b Unicité du couple (q ; r) : Supposons qu il existe deux couples (q ; r) et (q ; r ) solutions du problème initial, on aurait donc : a= b q+ r et a= b q' + r ' Quitte à soustraire membres à membres les deux égalités précédentes on obtient : r r= b q q (P8) ( ) Comme de plus : 0 r< b et 0 r < b, on a 0 r< b et b< r 0, en ajoutant membre à membre on tire b< r r< b (P9) b< b q q < b ce qui équivaut puisque b est Combinons (P8) et (P9) pour obtenir ( ) strictement positif après simplification à ( q q ) On a donc a= b q+ r et a= b q+ r ' donc r= r L unicité du couple (q ; r) est finalement démontrée 1< < 1et par suite 0 q q = q= q Z TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 2
Si le reste r est nul, alors a est divisible par b et réciproquement Division euclidienne de 249 par 7: 249 = 7 x 35 + 4 a = 249 ; b = 7 ; q = 35 et r = 4 Remarquons que l on a bien 0 r< 7 Avec une calculatrice On dit qu un nombre réel x admet pour partie entière a si et seulement si a est l unique entier relatif tel que a x< a+ 1 Par exemple la partie entière de 208,32 est 208 ; celle de 249 est 249 lui-même, celle de -17,31 est -18! Pour faire par exemple avec une calculatrice quelconque la division euclidienne de a par b si a est entier naturel et b entier naturel non nul : Evaluer a/b, si le résultat est un entier c est le quotient et le reste est nul Sinon prendre la partie entière q du résultat obtenu et calculer r= a b q q est le quotient et r est le reste de la division de a par b Dans l exemple ci contre, on a réalisé la division euclidienne de a = 1815 par b = 17, on trouve q = 106 et r = 13 Programme de division euclidienne de deux entiers naturels pour une TI 82 PROGRAM:DIVISION :ClrHome :Lbl A :Disp "B>0" :Input "A=",A :Input "B=",B :If B<=0 :Goto A :int(a/b) Q :A-B*Q R :Disp "Q=",Q :Disp "R=",R Programme de division euclidienne de deux entiers naturels pour une Casio "A"? A "B"? B Int(A B) Q A-B Q R "LE QUOTIENT EST" Q "LE RESTE EST" R Le reste d'une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1 Tout nombre pair s'écrit sous la forme 2k avec k Z Tout nombre impair s'écrit sous la forme 2k + 1 avec k Z TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 3
Propriété 2 : Division euclidienne dansz (Admis) Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul Il existe un unique couple (q ; r) q Z et r N tel que : a= b q+ r et 0 r< b On dit que a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b On dit que le couple unique (q ; r) est le résultat de la division euclidienne de a par b Ce résultat bien qu admis est démontré en annexe de cette leçon la méthode de division d un entier relatif a par un entier naturel non nul b à l aide d une calculatrice est strictement identique à celle décrite dans le cadre de la division dansn Par exemple pour la division euclidienne de -477 par 13 : Evaluer -477/13 et en prendre la partie entière : attention la partie entière de -36,69 est -37!! Calculer -477-(-37 13) = 4 On a donc q = -37 et r = 4 Exercices sur la division euclidienne Exercice 1 a/ Quels peuvent être le diviseur et le quotient d une division dont le dividende est 557 et le reste 89? b/ Quels peuvent être le diviseur et le reste d une division dont le dividende est 1517 et le quotient 75? Exercice 2 La différence de deux entiers naturels est 538 Si l on divise l un par l autre, le quotient est 13 et le reste est 22 Quels sont ces entiers? Exercice 3 Soit x est un entier relatif tel que le reste de la division euclidienne de x par 7 est 2 Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 7 de x 2 et de x 3? Exercice 4 Quel est le reste dans la division euclidienne par 11 de 10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000 Quelle conjecture peut-on faire sur le reste dans la division euclidienne par 11 de10 n lorsque n N? Exercice 5 Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n 2 1est divisible par 8 Exercice 6 Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne d'un entier naturel n par 3 En déduire que tout entier relatif peut s'écrire sous l'une des formes 3k ; 3k + 1 ou 3k + 2 avec k Z Exercice 7 Le 9 septembre 2010 est un jeudi, quel jour de la semaine sera le 9 septembre 2011? TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 4
Annexe Démonstration de la division euclidienne dansz On peut effectuer une démonstration utilisant celle effectuée dansn qui traîne dans n importe quel livre de terminale S Nous présentons ici une démonstration valable dans le cas de la division euclidienne dansn etz Son seul désavantage est de faire intervenir un nombre réel, ce qui dans le cadre de l étude des propriétés des entiers est mal venu Sa simplicité reste le meilleur argument en sa faveur Existence du couple (q ; r) On considère le réel a et q sa partie entière On a donc q Z et q a < q+ 1et quitte à b b multiplier chaque membre de l inégalité par b positif on déduit : b q a< b q+ b Posons r= a b q : r est entier relatif et des inégalités précédentes on tire 0 r et r< b L existence du couple (q ; r) est démontrée Unicité du couple (q ; r) Elle est strictement identique à celle démontrée dans le cadre de la division euclidienne dansn TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 5