Calcul matriciel. Laydi M.R.

alcul matriciel Laydi M.R.

Sommaire Notations principales 5. Nombres, ensembles......................... 5. Vecteurs................................ 5.. Produit scalaire........................ 6.. Orthogonalité........................ 6..3 Normes............................ 6..4 Inégalité de Schwarz................... 6.3 Matrices................................ 7.4 Exercices............................... 8 Matrice symétrique ou hermitienne. Exemples................................ Remarques.............................. 4 Normes sur les matrices 7. Norme................................. 7. Norme matricielle........................... 8.3 Norme matricielle subordonnée................... 9.4 aractérisation de la norme kk..................5 aractérisation de la norme kk.................. 3 Lien de la norme avec le rayon spectral 3 3. Majoration du rayon spectral par la norme matricielle Théorème de rowne............................... 3 3. Majoration d une norme par le rayon spectral........... 5 3.3 onvergence d une suite de matrices................ 7 3.4 Stabilité d un système itératif.................... 9 3.5 pplication à la méthode de Jacobi................. 3 4 Localisation des valeurs propres Th. de Gershgorin 33 5 Matrice dé nie positive 37 5. Inversibilité d une matrice dé nie positive............. 37 5. as d une matrice symétrique.................... 38 3

4 SOMMIRE 6 Matrice à diagonale fortement dominante 39 7 Matrice réductible ou irréductible 4 7. Matrice réductible.......................... 4 7. Matrice irréductible......................... 45 7.3 Localisation des valeurs propres................... 47 7.4 Matrice à diagonale fortement dominante............. 5 7.5 as d une matrice symétrique.................... 5 8 Matrice positive 53 9 Matrice monotone 55 9. ondition su sante pour les M-matrices.............. 55 9. orne de l inverse d une matrice monotone............. 56 9.3 Stabilité d une matrice........................ 58 nalyse d erreurs dans les systèmes linéaires 6. Introduction.............................. 6. Perturbation de la matrice...................... 6.. Estimation de l erreur.................... 63.. Optimalité de l estimation.................. 66.3 Perturbation du second membre................... 68 Exercices 7

Notations principales. Nombres, ensembles N ensemble des entiers naturels et N Nn fg R ensemble des nombres réels. ensemble des nombres complexes. M n (R) ensemble des matrices carrées réelles d ordre n; n entier. M n () ensemble des matrices carrées complexes d ordre n si i j i;j symbole de Kronecker i;j si i 6 j. nombre complexe conjugué de, i.e. Re () i jj module d un nombre complexe, i.e. jj p. Vecteurs e i i ème vecteur colonne de la base canonique de R n, i.e. e ; e ; ; e n i Im (), où q Re () + Im () x (x i ) n vecteur colonne, de i ème composante complexe x i, i.e. x x x x e + + x n e n x n 5

6. NOTTIONS PRINIPLES x t vecteur ligne (x ; ; x n ) () () x y pour x; y R n si x i y i 8i. On dit que x est positif x x > y pour x; y R n si x i > y i 8i. si.. Produit scalaire P hx; yi n x i y i produit scalaire de vecteurs x (x i ) ; y (y i ) n. On a i hx; yi x t y hy; xi x; y n hx; yi hx; yi, x; y n hx; yi hx; yi, x; y n hx + y; zi hx; zi + hy; zi x; y; z n hx; y + zi hx; yi + hx; zi x; y; z n.. Orthogonalité On dit que x; y n sont orthogonaux si hx; yi Un ensemble fb ; b ; ; b n g est orthogonal si hb i ; b j i 8i 6 j Un ensemble orthogonal est orthonormal si hb i ; b i i 8i, i.e. est orthonormal si hb i ; b j i i;j...3 Normes np kxk hx; xi jx i j norme euclidienne sur n. i kxk max jx ij norme du max sur n in..4 Inégalité de Schwarz Pour x; y n, on a x i y i i jhx;yij i jx i j! kxk i! jy i j kyk

.3. MTRIES 7.3 Matrices (a i;j ) matrice de M n () ; d éléments a i;j he j ; e i i. On écrit a ; a ;n.. a n; a n;n O () matrice nulle. I ( i;j ) matrice identité. P (p i;j ) matrice de permutation associée à une application bijective de f; ; ng dans f; ; ng, dé nie par P e i e (i) 8i diag(d) ; où d (d i ) n, matrice diagonale, telle que (diag (d)) i;j di 8i j 8i 6 j diag() ; où (a i;j ) M n (), matrice diagonale, telle que (diag ()) i;j ai;i 8i j 8i 6 j pour ; M n (R) si a i;j b i;j 8i; j. On dit que est positive si O. On a O, fx 8x R x g det () déterminant d une matrice p () det( I) polynôme caractéristique de () valeur propre d une matrice, i.e. p () S Sp () spectre d une matrice, i.e. Sp () n f i ()g. () max Sp() i jj rayon spectral d une matrice x k vecteur propre associé à une valeur propre k (), i.e. x k k x k, x k 6 matrice inverse d une matrice inversible. Rappelons que inversible, Sp (), p () det () 6, fx ) x g

8. NOTTIONS PRINIPLES t a t i;j matrice transposée de, dé nie par a t i;j a j;i. On a hx; yi x; t y ; 8x; y n ; 8 M n (R) Pour une matrice de permutation P (p i;j ), on a P P t Les opérations matricielles courantes ( t ) t M n () ( + ) t t + t ; M n () () t t, M n () () t t t ; M n () det ( t ) det () M n () t ( t ) pour les matrices inversibles M n () a i;j matrice adjointe de, dé nie par a i;j a j;i. On a hx; yi hx; yi ; x; y n ; M n () Les opérations matricielles courantes ( ) M n () ( + ) + ; M n () (), M n () () ; M n () det ( ) det () M n () ( ) pour les matrices inversibles M n ().4 Exercices Exercice - Soit () ; () 4; (3) ; (4) 3. Véri er que P Exercice - Soit une matrice de permutation P (p i;j ). Véri er que p i;k i;(k) En déduire que P P t I

.4. EXERIES 9 Exercice 3 - alculer l inverse de Rép., Exercice 4 - alculer le déterminant de Rép. det (), det () 4 4 et de i i i + i et de Exercice 5 - alculer l inverse ainsi que le polynôme caractéristique de Rép. Exercice 6 - soit, p () 4 + 3, x ; x ; x 3 Véri er que x ; x ; x + x 8 R et x 3 sont des vecteurs propres de Véri er que fx ; x ; x 3 g est une base orthogonale de R 3. Exercice 7 - alculer le spectre de. Déduire () 3 Rép. ; + i; 3 i; donc () p 5 i Exercice 8 - Soit. alculer les valeurs propres i k et les vecteurs propres associés x k ; tels que hx k ; e k i. i Rép. ; ; x ; x i Déduire n et exp () P Rép. n P n n i P i n! n n P et exp () P exp ( ) exp ( ) 3. P ;

. NOTTIONS PRINIPLES Donner le cas général.

Matrice symétrique ou hermitienne Dé nition - Une matrice est hermitienne si Dé nition - Une matrice est symétrique si et M n (R). i Exemple - Pour i i, on a + i t i i + i i ; i i i + i Donc est hermitienne. Par contre, est une matrice non hermitienne, puisque 3 3 6 Rappelons un résultat important concernant les valeurs propres d une matrice hermitienne.

. MTRIE SYMÉTRIQUE OU HERMITIENNE Théorème - Les valeurs propres d une matrice hermitienne M n (K), K ou K R, sont réelles, i.e. Sp () R. De plus, il existe une base orthonormale fb ; b ; ; b n g de K n ; formée de n vecteurs propres de. Preuve de Sp () R. Soit une valeur propre de et x 6 un vecteur propre associé, tel que x x Donc * + * + {z} x ; x x hx; xi np x i x i i x; {z} x x hx; xi P n x i x i i kxk kxk D où ) R Orthogonalité des vecteurs propres. Si x et x sont deux vecteurs propres d une matrice hermitienne ; associés respectivement à et, avec 6 ; alors x et x sont orthogonaux. En e et, on sait déjà que et sont réelles. Donc, si x x et x x ; alors * i.e.. Exemples x {z} x ; x + hx ; x i * x ; {z} x x hx ; x i ( ) hx ; x i ) hx ; x i 6 Exemple - onsidérons la matrice hermitienne i i i. + i i p () i i + i ++ 3 ( + ) + 3 Les valeurs propres de sont bien réelles ; 3 + p 5; 3 3 + p 5

.. EXEMPLES 3 Un calcul élémentaire montre que x i i x i pour x i i ; x i ( i) ( ) x 3 i 3. omme les valeurs propres sont distinctes, alors fb ; b ; b 3 g ; ( i) ( 3 ) où b i xi kx ik ; est une base orthonormale de 3 Exemple 3 - De même pour la matrice hermitienne e que x i i x i pour + p 3 x x 3 x On déduit que fb ; b ; b 3 g ; b i p p p. On véri- xi kx ik ; est une base orthonormale de R 3 Exemple 4 - onsidérons le cas oùune valeur propre est double. Par exemple pour ; on a x i i x i pour ; 3 3 x x x 3 Il est clair que 6 3 ) hx ; x 3 i 6 3 ) hx ; x 3 i Par contre, pour la valeur propre double, on a hx ; x i 6 On peut remplacer x par fx de la forme fx x + x 8 R En e et, fx est aussi vecteur propre de, associé à la valeur propre, puisque fx x + x x + {z} x (x + x ) fx

4. MTRIE SYMÉTRIQUE OU HERMITIENNE Il véri e en plus hoisissons alors ; tel que hfx ; x 3 i hx ; x 3 i + hx ; x 3 i hfx ; x i ) ( + ; + ; ) insi ) 3 ) fx 3 hfx ; x i hfx ; x 3 i hx ; x 3 i On déduit donc que fb ; b ; b 3 g ; où b fx kfx k fx, b x kx k p 3 x, b 3 x 3 kx 3 k p x 3 est une base orthonormale de R 3. Remarques Remarque - Puisque ( ) ( ) ; alors, est symétrique pour M n (R) et hermitienne pour M n (). Remarque - Les vecteurs propres d une matrice hermitienne ne sont pas orthogonaux, en général. Prendre la matrice identité, x et x. Remarque 3 - Les valeurs propres de la matrice non symétrique 3 sont complexes. En e et, p () 3 3+6 3 ( ) 4 + 5 D où ; + i; 3 i et exemple montre que le fait que la matrice soit hermitienne est nécessaire pour établir le théorème.

.. REMRQUES 5 Remarque 4 - Les valeurs propres de la matrice non symétrique sont réelles. p () Donc 3 + 4 4 ; ; 3 et exemple montre que la symétrie d une matrice n est pas nécessaire pour que les valeurs propres soient réelles. De manière générale, on a Lemme - Pour une matrice tridiagonale d ordre n de la forme 3 a b. c a b............, où a, b; c R et bc > ; 6 4..... 7.. a b 5 c a les valeurs propres k () sont données par r c k k a + b b cos ; k ; ; ; n (.) n + Preuve. On écrit sous la forme et on pose de sorte que ai + r c k k a + b b cos ; n + k x k k x k, x k ( k a) x k k Le problème donc revient à montrer que k est une valeur propre de dans le cas où b; c >. Utilisons la solution générale de br r + c

6. MTRIE SYMÉTRIQUE OU HERMITIENNE i.e. où i.e. r c r b r k cos n + r c b insi, pour cos r p et r + p b b k 4bc 4bc sin n + k n + k i sin n + + i sin k n + r c b exp r c b exp k i n + i x s r s r s, s ; ; ; n; n + ) x x n+ ; et pour tout j ; ; n, on a (x) j (x) j cx j + bx j+ x j c r j r j + b r j r j+ r j+ br r + c + r j br k n + r j r j r + c Remarque 5 - La valeurs propre k ; k n, admet pour vecteur propre x k (x j ), où x j rj r j r c k i b sin j n + Exercice 9 - Déduire les valeurs propres des matrices et

Normes sur les matrices On distingue trois types de normes sur M n (). norme.. norme matricielle. 3. norme matricielle subordonnée.. Norme Dé nition 3 - Une norme sur M n () est une application N de M n () dans R, telle que N) N () ) O N) N () jj N () 8, 8 M n () N3) N ( + ) N () + N () 8; M n () Exercice - Il résulte de la dé nition que Exercice - L application N (O) et N () 8 M n () (.) N () max ja i;jj ; i;jn est une norme sur M n (). Par contre, l application M n ()! min ja i;jj ne l est pas. i;jn Exercice - L application N () ja i;j j i;j est une norme sur M n (). est la norme de Schur. 7 ;

8. NORMES SUR LES MTRIES Exercice 3 - L application N () () n est pas une norme sur M n (). Prendre.. Norme matricielle Dé nition 4 - Une norme matricielle sur M n () est une norme N sur M n (), véri ant N4) N () N () N () 8; M n () (.) Exercice 4 - La norme N n est pas une norme matricielle. Prendre ; Exemple 5 - La norme de Schur est une norme matricielle. La propriété N4) est une conséquence directe de l inégalité de Schwarz. Preuve. En e et, soit, i.e. (c i;j ) où c i;j a i;k b k;j 8 i; j f; ; ng k Donc jc i;j j i.e.! ja i;k j k i j n X k jc i;j j np jc i;jj jn ()j i;j jb k;j j! ) jc i;j j i k! ja i;k j k!! ja i;k j! jb k;j j k np ja i;k j jn ()j i;k N () N () N () j k jb k;j j! np jb k;j j jn ()j k;j Exercice 5 - Si N est une norme matricielle sur M n (), l application N D () N D D ; où D est une matrice inversible, l est aussi.

.3. NORME MTRIIELLE SUORDONNÉE 9.3 Norme matricielle subordonnée Les normes vectorielles les plus couramment utilisées sur n sont De manière générale kxk max jx ij in np kxk jx i j i Dé nition 5 - Une norme sur n est une application kk de n dans R, telle que N) kxk ) x N) kxk jj kxk 8, 8x n N3) kx + yk kxk + kyk 8x; y n Exercice 6 - L application kxk jx i j i est une norme sur n. Par contre, l application x n! min in jx ij ne l est pas. Dé nition 6 - Soit kk une certaine norme vectorielle. On dé nit une norme matricielle, appelée norme matricielle subordonnée à la norme kk, par kk max x n nfg kxk kxk Exercice 7 - Il résulte de la dé nition que P) kik P) kxk kk kxk 8x n, 8 M n () P3) kk kk kk 8; M n () Exercice 8 - La norme de Schur n est pas une norme matricielle subordonnée, i.e. elle n est pas induite par une norme vectorielle. Prendre N (I) Dé nition 7 - partir de la norme vectorielle kk q, q ; ou ; on note la norme matricielle subordonnée kk q max x n nfg kxk q kxk q

. NORMES SUR LES MTRIES.4 aractérisation de la norme kk Lemme - Soit M n (). lors Preuve. Montrons d abord kk max in j kk max ja i;j j (.3) in j ja i;j j Par dé nition n kxk max j(x) in i j où (x) i X a i;j x j j Or Donc j(x) i j a i;j x j j kxk kxk max in j j ja i;j j jx j j kxk {z} kxk ja i;j j ) kk max ja i;j j j in j ja i;j j Il reste à montrer En e et, soit k un indice, tel que et soit x, tel que insi et (x) k a k;j x j j kk max in j ja k;j j max j x j j in j ja i;j j ja i;j j ; ( ak;j ja k;j j si a k;j 6 si a k;j kxk ; ( ak;j a k;j ja k;j j si a k;j 6 a k;j si a k;j jak;j j si a k;j 6 n a k;j si a k;j X ja k;j j j j

.5. RTÉRISTION DE L NORME kk Donc lors, kxk (x) k kk kxk kxk ja k;j j max j in j kxk max in j ja i;j j ja i;j j Exemple 6 - Pour 3, on a kk max f; 5; 3g 5 et t max f3; 3; 4g 4 Exemple 7 - La matrice de Hilbert kk n P k k. n n 3 n+ a pour norme.. n+ n.5 aractérisation de la norme kk Lemme 3 - Soit M n (). lors () kk p ( ) pour les matrices hermitiennes. cas général. (.4) Preuve. On sait, pour une matrice hermitienne, qu il existe une base orthonormale de n ; formée de vecteurs propres b ; b ; ; b n. Donc 8x n et l on a insi, kxk n X i;j x x i {z} i hx;b i i x b i, kxk x i b i i i x i i x j hb i ; b j i i;j i n X i x i i b i i {z} () jx i j ; j i j jx i j () n X i jx i j ( () kxk ) kxk

. NORMES SUR LES MTRIES Il résulte kxk kxk () 8x n n fg ) kk () Par ailleurs, pour un certain indice k, tel que j k j (), on a aussi b k k b k ) kb k k k k b k k j k j kb k k {z} () ) kb kk kb k k () ) kk () D où le résultat recherché pour les matrices hermitiennes. Le cas général se déduit de manière similaire. Exemple 8 - Soit la matrice symétrique On véri e que les valeurs propres de sont ; p + ; 3 p Donc kk () p + Exemple 9 - Soit la matrice non symétrique valeurs propres sont ) () Par (.4), on obtient ) ( ) 3 + p 5, ( ) 3 p 5 r 3 ) kk + p 5 On constate que () 6 kk, mais () < kk. On voit que les La symétrie de la matrice est donc nécessaire pour établir (.4).

3 Lien de la norme avec le rayon spectral 3. Majoration du rayon spectral par la norme matricielle Théorème de rowne Théorème (rowne 98) - Soit N une norme matricielle, subordonnée ou non. lors, () N () 8 M n () (3.) Preuve. Soit une valeur propre, tel que jj (). Donc, x x pour x 6 On lui associe la matrice M M n () dé nie par M xx t x x x x x n x x x x x n x n x x n x x n 6 O lors, () N {z} xx t N xx t {z} M M jj N (M) N (M) N () N (M) {z} 6 6 D où le résultat. 3

4 3. LIEN DE L NORME VE LE RYON SPETRL Exemple - Pour, on a N () p 6; kk ; k t k 3 Par le théorème de rowne on obtient () ependant, la valeur exacte est () p ; puisque S p () ; p ; p Remarque 6 - Remarquons que () N () p La propriété N4) est donc nécessaire pour établir (3.). Exemple - Pour ; on a N () 3; kk 4 et k t k 3 On conclut que () 3 n En e et, () +p 3 ; puisque S p () ; +p 3 ; p o 3 Exemple - En choisissant pour norme matricielle N D () D D où D diag(d), d R n ; d > ; le théorème de rowne nous donne np ja i;j j d j j () max {z} in d {z i } (D D) kd Dk ette estimation est optimale. Par exemple, pour, on a 8 M n () () D D pour d d 3 p et d Véri cation D d D d d d d d d 3 d 3 d 3 d d 3 d donc D D max + d + d 3 ; + d + d 3 ; + d + d 8d > d d d 3 d d d d 3 d d 3 ;

3.. MJORTION D UNE NORME PR LE RYON SPETRL 5 Pour d d 3 p et d, on a + d + d 3 d + d + d 3 d + d + d d 3 + p D où D D + p 3. Majoration d une norme par le rayon spectral On a vu dans le cas où M n () est une matrice hermitienne que N () () pour la norme N () kk 8 M n () Dans le cas où la matrice M n () est diagonalisable, i.e. il existe une matrice de changement de base U, telle que on a aussi U U diag () ; N () () pour la norme N () U U 8 M n () Dans le cas général, on remarque que l inégalité suivante N () () ; est toujours fausse pour des matrices telles que () et 6 O. est le cas par exemple de la matrice. ependant, on montre Théorème 3 - Pour M n () et >, il existe au moins une norme matricielle subordonnée kk ;, telle que kk ; () + Preuve. La démonstration se base sur l existence d une matrice de changement de base U, telle que c ; c ;n. U U.......... cn ;n ; n

6 3. LIEN DE L NORME VE LE RYON SPETRL les k étant les valeurs propres de. Sous forme matricielle, on écrit U U diag () + Introduisons la matrice diagonale D diag(d), où d ; ; ; ; n, >, de sorte que (UD ) (UD ) D U UD diag () + D D c ; n c ;n. diag () +........... cn ;n insi, pour, telle que D D max in ji+ j i jc i;j j ; on obtient (UD ) (UD ) kdiag ()k + D D () + () La norme recherchée est kk ; (UD ) (UD ) ; qui s écrit aussi sous la forme (UD ) (UD ) x y kk ; max x6 kxk max y6 (UD ) y (UD ) y max y6 kyk ; kyk ; où kyk ; (UD ) y Exemple 3 - Pour la matrice on peut prendre la norme kk ; (UD ) (UD ) ; < ; où U et D ;

3.3. ONVERGENE D UNE SUITE DE MTRIES 7 car U et D D où D D En e et, on a UD Donc (UD ) (UD ) U insi, comme S p f; ; g f; g, on retrouve kk ; (UD ) (UD ) {z} () diag() + ) (UD ) + {z} () + 3.3 onvergence d une suite de matrices Dé nition 8 - On note k k fois On écrit a (k) i;j lim k! k si lim k! a(k) i;j 8i; j Remarque 7 - e qui est équivalent à lim k! pour M n () et k N. k pour toute norme matricielle, puisque toutes les normes matricielles sur M n () sont équivalentes, i.e. il existe deux nombres et strictement positifs, qui peuvent dépendre de n, tels que kk kk kk 8 M n () Théorème 4 - Soit M n (). Les conditions suivantes sont équivalentes P) lim k! k, P) lim k! k x 8x n ; P3) () < ; P4) kk < pour au moins une norme matricielle subordonnée kk.

8 3. LIEN DE L NORME VE LE RYON SPETRL Preuve. P))P) Résulte de l inégalité k x k kxk P))P3) Si (), on peut trouver un vecteur propre x, tel que x x; jj () lors la suite de vecteurs k x k x ne converge pas vers. P3))P4) hoisissons pour norme kk ;. lors k k ; kk ; ( () + ) k Dans le cas où () <, on peut trouver < < (), telle que k ; r k pour r ()+ <. On conclut que lim k k! ; P4))P) onséquence de l inégalité k kk k Exemple 4 - Soit véri e que insi, Udiag () U a a k U ; a R. On a S p () f; ag On k {z} {z} {z} a k {z} a k U a a On voit que P),P3), i.e. lim k! k, lim a k lim k! k! ()k Exemple 5 - Pour x et x, on a 3 Donc lim k! k 6 On conclut que (). x ) k x k x Lemme 4 - Soit M n (). La série I ++ + converge vers (I ) si et seulement si () <.

3.4. STILITÉ D UN SYSTÈME ITÉRTIF 9 Preuve. Supposons que () <. La matrice (I puisque d après P4), on a ) est donc inversible, (I ) x ) kxk kxk kkkxk ) kk kxk ) x {z} < Posons S k I + + + + k Donc S k (I ) I k+, S k (I ) I k+ Par conséquent, en utilisant la norme de P4), S k (I ) (I ) k+ S k (I ) (I ) k+ (I ) k+ insi, lim S k (I ) (I ) lim k+ k! k! Réciproquement, si la série I + + + existe, on a () < lim k! k, donc 3.4 Stabilité d un système itératif On en déduit le résultat très utile suivant Lemme 5 - Soit M n () et b n. La stabilité d un système itératif x k+ x k + b est liée à la condition (nécessaire et su usante) () < que i.e. pour une norme kk sur n, il existe une constante positive indépendante de m; telle kx m k {z} constante p ositive indép endante de m 8m.

3 3. LIEN DE L NORME VE LE RYON SPETRL 3.5 pplication à la méthode de Jacobi Soit à résoudre le système 8 < x x x + x x 3 x + x 3 i.e. x x x 3 ; x n p ; ; p o ; y ) x La méthode standard de Jacobi consite, en partant de x donné, à calculer de proche en proche x k+ ; k N; par où 8 < x k+ x k x k + x k+ x k 3 x k + x k+ 3 x k+ Jx k + b avec J 8 < x k+ + x k, x k+ x k + x k 3 x k+ 3 + x k ; b De manière générale, la méthode de Jacobi pour la résolution d un système linéaire, de la forme x y; consiste à résoudre ou encore Dx k+ + ( D) x k y; i.e. Dx k+ y+ (D ) x k ; x k+ D (D ) x k + D y J b Véri cation pour l exemple J D (D ) On remarque que ( S p (J) ; p ; p ) p ) (J) <, jj > p insi, le système n est stable que si jj > p

3.5. PPLITION À L MÉTHODE DE JOI 3 Par exemple, pour, i.e. pour J Donc (J) p > lim k! x k On trouve en partant de x x + x x 6 J J J x x + b b 7 6 + 7 x 5 b 7 4 7 ; b, on a ; ) x x ) x x On constate qu on s éloigne de la solution du système x Par contre, pour, i.e. pour x b ; J on constate la converge vers la solution + x x 4 + + 4 p 3 p 6 ) x x 6 8 6 8 p 3 8 ) (J) 3 4 3 4 p < ) x x p 6 ) x x p ) x x 4 4p

3 3. LIEN DE L NORME VE LE RYON SPETRL la limite on trouve lim x x k k!

4 Localisation des valeurs propres Th. de Gershgorin Dans la suite, on associe à une matrice M n () le nombre positif k () ja k;j j où k n On dit que k () est le k disque dé ni par j6k j ième rayon de Gershgorin et on note D k () le D k () fz, jz a k;k j k ()g Théorème 5 ( Gershgorin 93) - Pour tout M n () ; il existe un indice k; k n; pour lequel i.e. j () a k;k j k () n[ D i () 8 Sp () i Preuve. Soit une valeur propre de et x 6 un vecteur propre associé, i.e. x x Soit k un indice, tel que jx k j kxk Le k ième ligne du système algébrique s écrit (x) k (x) k )a k;k x k + X i6k a k;i x i x k ) ( a k;k ) x k X i6k a k;i x i lors j a k;k j jx k j {z} kxk X ja k;i j i6k 33 jx i j {z} kxk X ja k;i j kxk i6k k ()

34 4. LOLISTION DES VLEURS PROPRES TH. DE GERSHGORIN D où j a k;k j k () Exemple 6 - Les valeurs propres de la matrice sont contenues dans la région 3 S i i i D i () formée de la réunion des trois disques D () j ij D () j + j D 3 () j j ) y 6 '$ '$ q i &% q -x - qe &% Exemple 7 - On peut déduire également une nouvelle région où sont localisées les valeurs propres, puisque les valeurs propres d une matrice sont les mêmes que celles de la matrice transposée associée. En appliquant le théorème de Gershgorin à t S i i ; on obtient la région 3 D i ( t ) constituée i des disques D ( t ) j ij ) i D ( t ) j + j D 3 ( t ) j j à comparer avec les valeurs propres de i; ; 3

y 6 35 '$ '$ cq i q -x - q &% &% On conclut nalement que les valeurs propres sont contenues dans la région! 3[ \ [ 3 D i () D i t! i y 6 i # cq i q -x - qc "!....... Exemple 8 - Les valeurs propres de la matrice................... n sont contenues dans! n[ D i () fz ; jz j n g i

36 4. LOLISTION DES VLEURS PROPRES TH. DE GERSHGORIN

5 Matrice dé nie positive Dé nition 9 - On dit que M n (R) est dé nie positive si hx; xi > 8x R n, x 6 Exemple 9 - La matrice hx; xi jx j + jx j + x x est telle que jx j + jx j + (x + x ) > 8x 6 Donc est dé nie positive. Par contre la matrice dé nie positive, puisque h; i n est pas Remarque 8 - En fait, la condition b i;i he i ; e i i > pour qu une matrice M n (R) soit dé nie positive. 8i, est nécessaire 5. Inversibilité d une matrice dé nie positive Lemme 6 - Si est une matrice dé nie positive alors est inversible, i.e. Sp () Preuve. On doit montrer que x ) x En e et, x ) hx; xi Mais, cela n est possible, lorsque est dé nie positive, que si x Remarque 9 - La réciproque est fausse comme le montre la matrice qui est inversible, mais non dé nie positive puisque a ; 37

38 5. MTRIE DÉFINIE POSITIVE 5. as d une matrice symétrique Théorème 6 - Soit M n (R) une matrice symétrique. lors est dé nie positive, les valeurs propres de sont réelles > (5.) Preuve. Il existe, dans le cas symétrique, une base orthonormale fb ; b ; ; b n g de R n ; formée de n vecteurs propres de. En particulier, tout x R n est de P la forme x n x i b i avec kxk P n jx i j Donc i i + hx; xi insi i;j x i x j *b i {z} ib i ; b j i;j est dé nie positive, hx; xi > 8x 6, Exemple - Pour dé nie positive, puisque * hx; xi i x i x j hb i ; b j i i;j i.e. hx; xi i jx i j i i jx i j > 8x 6, i > 8i i ; on a >, mais elle n est pas + ; x x ; et exemple montre que la symétrie de la matrice est nécessaire pour établir (5.). Remarque - Pour toute matrice symétrique M n (R), on a min f i ()g kxk in hx; xi max f i ()g kxk in 8x Rn a b. b......... Exemple - La matrice symétrique......... 6 4.......... b b a positive, si et seulement si, k k a + b cos > 8k ; ; n n + e résultat est obtenu en utilisant (.). 3 7 5 est dé nie

6 Matrice à diagonale fortement dominante Dé nition - On dit que M n () est une matrice à diagonale dominante si ja i;i j i () 8 i ; ; n diagonale strictement dominante si ja i;i j > i () 8 i ; ; n jai;i j diagonale fortement dominante si i () 8 i f; ; ng ja k;k j > k () pour un certain k f; ; ng Exemple - Les rayons de Gershgorin associés à sont 3; et 3 5. La matrice est à a b 3 c diagonale dominante si jaj 3; jbj et jcj 5 diagonale strictement dominante si jaj 8 > 3; jbj > et jcj > 5 < jaj 3; jbj, jcj 5; diagonale fortement dominante si et jaj + jbj + jcj > 9 Exemple 3 - La matrice 3 n n n n ; n ; n est pas à diagonale strictement dominante, mais à diagonale fortement dominante. 39

4 6. MTRIE À DIGONLE FORTEMENT DOMINNTE Théorème 7 - Si M n () est une matrice à diagonale strictement dominante alors est inversible, i.e. Sp () Preuve. On doit montrer que x ) x Soit k un indice tel que jx k j kxk. lors x ) a k;k x k P a k;j x j j6k P ) ja k;k j jx k j ja k;j j jx j j kxk {z} j6k {z} k () kxk kxk ) ja k;k j > ) kxk ) x Exemple 4 - La matrice dominante, donc inversible. k () kxk 3 Exemple 5 - De même, la matrice n 3, est à digonale strictement dominante, donc inversible. est à digonale strictement 3 4 n n n n + Remarque - La réciproque est évidement fausse. La matrice est inversible mais à diagonale non dominante. Remarque - Une matrice à diagonale fortement dominante n est pas nécessairement inversible. est le cas de la matrice,

7 Matrice réductible ou irréductible 7. Matrice réductible Dé nition - Une matrice M n () est réductible s il existe une matrice de permutation P, telle que PP t ; ; ; ; où ; et ; sont deux matrices carrées. Exemple 6 - Remarquons d abord qu on a * P t P i;j P t P e j ; e i P e j ; P e {z} i e e (j ) (i) e (j); e (i) a(i);(j) 3 onsidérons maintenant la matrice. 3 3 33 omme a ; a ;3, on obtient une partition de l ensemble des indices f; ; 3g en K fg et K c f; 3g, de sorte que Donc a i;j 8i K, j K c P t P 3; a (3);() ; P t P 3; a (3);() ; 4 +

4 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE pour (3) K fg ; () ; () K c f; 3g insi, pour le cas () 3; () ; on constate que 3 PP t 3 3 33 33 3 La matrice PP t s écrit donc sous la forme PP t ; ; ; ; 3 ; 33 3 3 3 ; 3 {z } ; ; () {z} où ; et ; sont deux matrices carrées, donc est réductible. De même, pour le cas () ; () 3; on a 3 PP t 3 3 33 3 Exemple 7 - onsidérons la matrice 3 33 ; 3 3 33 3 ; 3 {z } ; ; () {z} 3 4 3 3 33 34 4 4 43 44 omme a ; a ;3 a ;4, on obtient la partition de l ensemble f; ; 3; 4g en K fg et K c f; 3; 4g ; telle que i.e. a i;j 8i K, j K c P t P 4; a (4);() ; P t P 4; a (4);() ; P t P 4;3 a (4);(3) ;

7.. MTRIE RÉDUTILE 43 pour (4) K fg et () ; () ; (3) K c f; 3; 4g e qui donne six permutations 3 4 5 6 () 3 4 3 4 () 3 4 4 3 (3) 4 3 3 4 Pour chaque cas, on obtient P t P ; ; ; ; où ; et ; sont deux matrices carrées, donc est irréductible. Par exemple, pour le cas () ; () 3, (3) 4; on a P t P Exemple 8 - Soit Ici, on a 3 4 3 3 33 34 4 4 43 44 3 4 4 3 3 33 34 4 44 a i;j 8i K f; 4g, j K c f; 3g ; 3 4 3 33 34 4 43 44 3 4 3 33 34 3 4 43 44 4 ; ; 3 4 {z } ; ; () {z} où K et K c est une partition de f; ; 3; 4g. Donc P t P i;j a (i);(j) 8 (i; (i)) f3; 4g K, (j; (j)) f; g K c

44 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE Par exemple pour (3) ; (4) 4; () ; () 3, on trouve 3 4 PP t 4 3 3 33 34 4 44 Donc est réductible. De manière générale, on a 3 3 33 {z } ; {z } ; Lemme 7 - Une matrice M n () est réductible, si et seulement si, il existe une partition de l ensemble f; ; ; ng en K et K c, telle que a i;j 8i K, j K c Preuve. Si M n () est réductible, alors il existe une matrice de permutation P, telle que PP t ; ; ; ; où ; M p () ; p < n; et ; M n p (). Donc, pour i K f (i ) ; p + i ng et j K c f (j ) ; j pg, 3 4 3 33 3 34 4 4 44 4 3 34 {z } ; 4 4 44 {z } ; ; on obtient a i;j a (i);(j ) P t P i ;j Réciproquement, soit une partition de f; ; ; ng en K et K c, telle que On dé nit une permutation, telle que a i;j 8i K; j K c f; ; pg! K fp + ; ; ng! K c On trouve pour i fp + ; ; ng et j f; ; pg P t P i;j a (i);(j) Remarque 3 - Si une ligne k d une matrice est nulle alors est réductible, puisque a i;j 8i K fkg et j K c f; ; ; ng n K

7.. MTRIE IRRÉDUTILE 45 7. Matrice irréductible Dé nition - Une matrice M n () est irréductible si est une matrice non réductible. n, de caractériser ce type de matrice, on associe à M n () un graphe de n sommets notés S ; ; S n. Dé nition 3 (rc) - Un arc du graphe S i y S j relie S i à S j si a i;j 6 Exemple 9 - Le graphe de la matrice comporte 5 arcs liés à 3 sommets. Les arcs du graphe de S y S a ; 6 S y S a ; 6 S y S 3 a ;3 6 S 3 y S a 3; 6 S 3 y S a 3; 6 * us us HHHH HHY H H HjH us 3 Graphe de la matrice Exemple 3 - Pour la matrice 3 3 34 43, on a * us us HHY H H HuS 3 us 4 Graphe de la matrice Dé nition 4 (hemin) - Un chemin du graphe S i y S i y S i y y S ip y S j

46 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE allant de S i à S j est une suite d arcs, si elle existe, telle que soient des arcs du graphe. S i y S i ; S i y S i ; ; S ip y S j, Remarque 4 - Un arc est donc un chemin. Dans l exemple (9), Il n ya pas d arc reliant S à S, par contre S y S 3 y S est un chemin de S à S. Dé nition 5 (Graphe fortement connexe) - Un graphe est dit fortement connexe s il existe au moins un chemin allant de tout sommet S i à tout sommet S j, i; j ; ; n Exemple 3 - insi, le graphe de de l exemple (9) est fortement connexe. Par contre, celui de la matrice ne l est pas, car il n ya pas 3 3 de chemin allant de S à S 3. * us us HHY H H HuS 3 Graphe de la matrice Lemme 8 - Une matrice M n () est irréductible, si et seulement si, son graphe associé est fortement connexe. Preuve. Soit une matrice irréductible. Soit S i un sommet de graphe et E i l ensemble des indices des sommets qui peuvent être joints par un chemin issu de S i. On a nécessairement E i 6 ; (voir remarque 3). Plus précisement on a E i f; ; ; ng, car sinon en posant on aurait K E i et K c f; ; ; ng n K a i;j 8i K, j K c Donc le graphe de est fortement connexe. Réciproquement, supposons que est réductible, i.e. a i;j 8i K, j K c ;

7.3. LOLISTION DES VLEURS PROPRES 47 pour une partition de f; ; ; ng en K, K c. omme le graphe de est fortement connexe, il existe un chemin allant de S i à S j ; ce qui entraîne que a i;j 6 8i K, j K c ; ce qui est impossible. Donc est irréductible. Exemple 3 - La matrice de l exemple (9) est irréductible. Par contre, la matrice de l exemple (3) est réductible. Exemple 33 - Une matrice de la forme est irréductible. terme 6 et terme quelconque, 7.3 Localisation des valeurs propres Théorème 8 (Gershgorin (suite)) - Soit M n () une matrice irréductible. lors, si () est située sur la frontière de la réunion des disques de Gershgorin n S i D i (), tous les cercles de Gershgorin passent par (), i.e. j () a k;k j k () 8k ; ; n Preuve. Soit une valeur propre de et x un vecteur propre associé. Introduisons le sous-ensemble d indices K fk; tel que jx k j kxk g Il est clair que K 6 ;. Posons de sorte que avec y x ; kxk y y; (7.) jy k j 8k K; jy i j < 8i K

48 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE La k-ième ligne de (7.), où k K; s écrit a k;i y i y k Donc i.e. j i a k;k j jy k j a {z} k;i y i i j i6k a k;k j i i6k ja k;i j jy i j {z} k () ; np ja k;i j i i6k ja k;i j jy i j k () (7.) i i6k ns Par ailleurs, si est située sur la frontière de D i (), i.e. n étant pas à i ns l intérieur de D i (), donc il n existe aucun j pour lequel i Donc j a j;j j < j () j a j;j j j () 8j ; ; n De (7.), on a nécessairement j a k;k j ja k;i j jy i j k () 8k K (7.3) i i6k Distinguons deux cas as - K f; ; ng La preuve dans ce cas est triviale, pour les matrices irréductibles ou non, puisque (7.3) s écrit j a k;k j k () 8k ; n as - K 6 f; ; ng Donc pour Or, de (7.3) k () ja k;i j jy i j i i6k jy i j < 8i K c ; K c f; ; ng n K 6 ; ja k;i j jy i j 8k K; {z} i i6k

7.3. LOLISTION DES VLEURS PROPRES 49 ou encore donc ja k;i j jy i j 8i K c ; 8k K; > a k;i 8k K; 8i K c Résultat impossible pour les matrices irréductibles. D où K c ;; ce qui conduit au cas. Exemple 34 - onsidérons le cas de la matrice irréductible 3. * us us HHHH us 4 HHY H H HjH us 3 Graphe de la matrice y 6 '$ nr r 4 D &% -x On peut utiliser le théorème 8 pour déduire, par exemple, que i () 6 4, car le

5 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE point z 4 qui est situé sur la frontière de la réunion des disques où 4S D i (), i D fz ; jzj g ; D fz ; jz j 3g ; D 3 fz ; jzj 3g ; D 4 fz ; jzj g ; ne se trouve pas sur la frontière du disque D 4 Exemple 35 - La matrice est inversible. En e et, les valeurs propres de sont contenues dans la région n[ D i () fz ; jz j g i étant irréductible et le point, situé sur la frontière de trouve pas sur le cercle D (). Donc S p () n S i D i (), ne se 7.4 Matrice à diagonale fortement dominante Lemme 9 - Si M n () est à diagonale fortement dominante et irréductible, alors est inversible. Preuve. La matrice est à diagonale dominante, donc j a k;k j k () 8k ; ; n Si était valeur propre, il serait donc sur la frontière de irréductible, alors j a k;k j k () 8k ; ; n ns D i (). omme e qui contredit le fait que à diagonale fortement dominante, i.e. qu il existe un indice i pour lequel j a i;i j > i () i

7.5. S D UNE MTRIE SYMÉTRIQUE 5 Exemple 36 - La matrice 3 3 est à diagonale fortement dominante et irréductible, donc inversible. 7.5 as d une matrice symétrique Lemme - Soit M n (R) une matrice symétrique, telle que a k;k > 8k ; ; n (7.4) Si est à diagonale fortement dominante et irréductible, alors est dé nie positive. Preuve. On se base sur l équivalence (5.). On sait, grâce à la symétrie que () R. On sait aussi par le théorème 5 que j () a k;k j k () 8k ; ; n Donc De (7.4), on déduit a k;k () k () 8k ; ; n j() a k;k j ja k;k j a k;k k () () 8k ; ; n Or, est inversible d après le lemme 9. D où Exemple 37 - La matrice < () 8k ; ; n du lemme lorsque > 3. Donc est dé nie positive pour > 3 3 3 satisfait aux hypothèses Remarque 5 - Pour < 3, la matrice symétrique est à diagonale fortement dominante et irréductible, mais non dé nie positive, puisque h e 3 ; e 3 i < L hypothèse (7.4) est donc nécessaire pour établir le lemme.

5 7. MTRIE RÉDUTILE OU IRRÉDUTILE

8 Matrice positive Théorème 9 (Frobenius) - Soit M n (R),. lors, on a P) Le rayon spectral () est une valeur propre de. P) Il existe au moins un vecteur propre réel x associé à () P3) () () 8 Si de plus est irréductible, alors P4) Le rayon spectral () est une valeur propre simple. P5) Le vecteur propre x > P6) () > () 8 6 et. Exemple 38 - Le rayon spectral de la matrice valeur propre. eci ne contredit pas P) car Exemple 39 - Pour la matrice positive 3 avec (), x, (), x 3 () 3, x {z} 3 () x n est pas une, on a x k k x k Pour la démonstration voir VRG R.S. (96) Edit. John Wiley, Matrix Iterative nalysis. 53

54 8. MTRIE POSITIVE On véri e bien P) et P), puisque () 3 () et x omme x, on déduit de P5) que n est pas irréductible. Exemple 4 - Soit 3 3 et 3. On a 3 () i, x () i, x On véri e bien P4) et P5), puisque 7 i 7 + 9 i + 7 i 7 9 i 3 () 6, x {z} 3 () x,, () 3 () est une propre simple et x > De P6), on déduit que () > () 6 3 Remarque 6 - Si M n (R) ;, alors kk kk

9 Matrice monotone Dé nition 6 - Une matrice M n (R) est monotone et on dit M-matrice si existe et si O. Exemple 4 - Pour on a. Donc est une M-matrice. Par contre, la matrice ne l est pas puisque 3 Exemple 4 - La matrice a pour inverse 3 a lors est M matrice, a > Remarque 7 - Soit M n (R) lors est une M-matrice, fx R n x ) x g a+ 3 a a a a a a a 9. ondition su sante pour les M-matrices Pour reconnaître une M-matrice nous utiliserons souvent le Théorème - Soit M n (R) une matrice telle que a i;i > 8i f; ; ng ; a i;j 8i 6 j f; ; ng 55

56 9. MTRIE MONOTONE Si est à diagonale dominante et inversible (en particulier, si une matrice à diagonale fortement dominante et irréductible), alors est une M-matrice. Preuve. La matrice diagonale D (d i;j ), telle que d i;i a i;i est donc inversible. On écrit sous la forme Les matrices D et D pour (b i;j ) on a De plus D (D ) D I D (D {z ) } sont positives et donc Plus précisement, b i;i 8i; b i;j ja i;jj ja i;i j X j jb i;j j i () ja i;i j 8i 6 j ; car est à diagonale dominante. D où jjjj. Donc () Montrons maintenant que () 6. En e et, comme ; alors le rayon spectral () est une valeur propre de. Supposons que (), alors il existe x 6, tel que x x. Donc x. eci implique que x car est inversible. e qui est absurde. On conclut nalement que () < La matrice (I ) est donc inversible et (I ) P k D où (I ) D Exemple 43 - La matrice 3, a >, est une M-matrice. a Exemple 44 - La matrice de l exemple 35 est une M-matrice. 9. orne de l inverse d une matrice monotone Théorème - Si M n (R) est une M-matrice, alors k y ) kyk (9.) y ) kyk (9.)

9.. ORNE DE L INVERSE D UNE MTRIE MONOTONE 57 Preuve. On déduit de y (resp. y ) que y (resp. y) car. Le résultat suit en utilisant le fait que. Exemple 45 - Pour la M-matrice, on a y pour y 3 On véri e bien que Donc kyk 3 et donc 3. Exemple 46 - Le résultat est faux pour la matrice non monotone La matrice inverse a pour norme 3. ependant, y pour y ; kyk 6 Lemme - Soit ; deux matrices monotones de M n (R), alors ) Preuve. ompte tenu du fait que, ; on a ) I Exemple 47 - Par exemple ) I ) ) I 3 Les matrices ; sont monotones d après le théorème, donc Véri cation 5 5 5 3 5 5 3 5 ) 7 5 ; 3 ) 4 On a bien. 5 3..

58 9. MTRIE MONOTONE 9.3 Stabilité d une matrice On aura également besoin des résultats utiles suivants Théorème - Soit I où > et [a i;j ] une matrice inversible et à diagonale dominante (en particulier, si une matrice à diagonale fortement dominante et irréductible), telle que a i;i > 8i et a i;j pour i 6 j (9.3) Si alors min ; (9.4) i a i;i ; kk ; () < Preuve. La matrice [b i;j ] est dé nie par ai;i i j b i;j i 6 j a i;j ompte tenu des hypothèses (9.3)-(9.4) Par suite max i 8 9 < X kk max jb i;j j i ; j 8 9 < max i a i;i + X a i;j ; j6i 8 9 >< ja i;i j > X > ja i;j j ; j6i >; or est à diagonale dominante, donc kk Par conséquent, () kk

9.3. STILITÉ D UNE MTRIE 59 Il reste à montrer que () 6 En e et, le rayon spectral () est une valeur propre lorsque. Donc, si (), on aurait! v! v pour! v 6! Il en découle, puisque est inversible, que e qui est absolument absurde. (I )! v! v )! v! )! v! Théorème 3 - Soit (I + ) où > et [a i;j ] une matrice inversible et à diagonale dominante (en particulier, si une matrice à diagonale fortement dominante et irréductible), telle que lors a i;i > 8i et a i;j pour i 6 j (9.5) ; kk ; () < Preuve. On a M où M [m i;j ] est dé nie par i.e. M I + + ai;i m i;j a i;j i j i 6 j Il est facile de voir, compte tenu des hypothèses, que la matrice M est à diagonale strictement dominante. Donc inversible. De plus m i;j > pour i j et m i;j pour i 6 j On conclut immédiatement que M est une M matrice, i.e.. omme M!! ; alors () kk M! Il reste à montrer que () 6

6 9. MTRIE MONOTONE En e et, comme ; alors si (), on aurait! v! v pour! v 6! Par suite (I + )! v! v )! v (I + )! v )! v! )! v! e qui est absurde.

nalyse d erreurs dans les systèmes linéaires. Introduction Une incertitude sur les données M n (R) ; y R n du système linéaire x y; (.) peut donner une solution x entachée d une erreur relative de, fois ou même nettement supérieure. Exemple 48 - En e et, considérons le système élémentaire suivant 9 x 9 x ; de solution 9 8 x 7 x x y Perturbons les coe cients de sa matrice de la manière suivante 89 ex 9 ; 9 8 ex 7 e ex soit une erreur relative commise sur la matrice, en norme kk ; de kk kk 9 5 6 où e L erreur est due, par exemple, aux instruments de mesures, ou simplement les données ; y sont calculées par des méthodes de discrétisation numérique ( di érences nies, éléments nis,...), ou en n par leurs représentations en nombres machine lors de sa résolution par ordinateur. 6

6. NLYSE D ERREURS DNS LES SYSTÈMES LINÉIRES On constate que la solution du système perturbé est égale à ex +6 ex 9. Perturbation de la matrice De manière générale, considérons la résolution du problème (.) pour une matrice inversible donnée. Pour une raison quelconque, supposons que la matrice est remplacée par la matrice ~ + lors, une solution du nouveau système notée par ex x + x; véri e ( + )ex y (.) L erreur commise sur la matrice est d une valeur égale à kk, ou en erreur relative, est égale à kk kk Ici, le symbole k k désigne une norme matricielle subordonnée à dé nir. Nous allons calculer une estimation du rapport d ampli cation des erreurs kxk kx + xk kk kk Pour cela, on a x y ( + )(x + x) y ) x (x + x) On en déduit, puisque existe, que x (x + x) On a donc kxk (x + x) kk kx + xk D où

.. PERTURTION DE L MTRIE 63 kxk kx + xk kk ( kk) kk kk De sorte que l erreur sur les résultats est encore donnée par (.3) pour Dé nition 7 - e nombre kxk kk ond() kx + xk kk (.4) ond() kk (.5) ond() kk ; s appelle le conditionnement de la matrice, relativement à la norme matricielle considérée, et mesure la sensibilité de la solution par rapport aux variations de la matrice... Estimation de l erreur En résumé, on vient de démontrer le Théorème 4 - Soit une matrice inversible. Soient x et ex x + x 6 les solutions respectives des systèmes lors, on a x y et ( + )ex y pour toute norme matricielle subordonnée kk kxk kk ond() kx + xk kk ; (.6) Exemple 49 - Le conditionnement en norme kk de la matrice 9 ) 8 9 ; 9 8 9 est égal à ond () kk {z } 9 36 9 9 Remarque 8 - Le nombre ond() véri e toujours eci vient du fait que ond () I ) kik ) kk ond ()

64. NLYSE D ERREURS DNS LES SYSTÈMES LINÉIRES Remarque 9 - Si nous connaissons le plus petit et le plus grand module des valeurs propres, notés respectivement ; n, de la matrice produit, le calcul de ond () kk peut s e ectuer sans connaître par la formule ond () s n ette relation devient dans le cas où la matrice est symétrique ond () n ; où les j sont les valeurs propres de, rangées de la façon suivante j j j j j n j Exemple 5 - On choisit la norme kk et on se place dans le cadre de l exemple donné par 9 ) 8 9 9 8 9 alcul du conditionnement les valeurs prores de sont 9 + p 8; 9 p 8 La matrice étant symétrique, donc kk et j j ) ond () kk alcul du rapport d ampli cation 8 >< > 59 x ex x 9 +6 x + x ex 9 alculons kk?. La matrice () a pour valeurs propres kxk kx + xk kk kk ) kxk kx + xk?. On a p 59 + 9 p ' 6 + 9 ' 3 89 7 3 et ' 6 8 ) () ; 9 + p 8 9 + p 8 ' 36 ;

.. PERTURTION DE L MTRIE 65 donc e qui donne kk kxk kx + xk kk kk On constate qu on a bien 3 3 4 4 5 5 6 6 7 q () ' p 6 8 ' p 59 +9 p 6 +9 p 6 8 9+ p 8 ' 6 kxk kx + xk ond kk () 36 kk {z } 6 Exemple 5 - onsidérons la résolution du système x y où et y La solution est 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 x 5 6 7 8 9 6 7 8 9 98 68 87 46 36 78 56 865 4 4665 76 onsidérons maintenant le système ( + )ex y où la matrice 5 33 5 6 5 33 5 6 4 + 33 5 6 4 5 6 4 6 4 6 4 9 obtenue en tronquant les nombres après chi res décimaux signi catifs. On trouve 5 88 5 98 6 45 9 68 87 ex 64 38 47 9 au lieu de x 46 36 78 56 49 558 865 4 6 4 4665 76

66. NLYSE D ERREURS DNS LES SYSTÈMES LINÉIRES Soit une erreur relative sur les solutions de kxk 86 5 7 839; kx + xk 47 9 pour une erreur relative sur le matrice de kk kk ' 7 886 3 Le rapport d ampli cation des erreurs est égal à kxk kx + xk kk kk ' 839 7 886 3 ' 3 895 3 On constate que le conditionnement en norme kk est égal à ond () 49 {z} kk.. Optimalité de l estimation 865 4 k k 9 7 79 Exemple 5 - Soit 8 3 3 ; + 7 3 8 3 7 et y 8 ) 3 3 onsidérons le système de départ 5 x y ) x 5 ainsi que le système perturbé ( + )ex y ) {z} ex x+x La matrice inverse 36 63 336 756 756 77 63 4 7 88 68 5 83 6 336 88 564 48 4 5 58 756 68 4 368 8 3969 55 3 756 5 5 3969 44 746 36 77 83 6 58 55 3 746 36 698 544

.. PERTURTION DE L MTRIE 67 En choisissant la norme kk, on trouve 8 >< > kxk kx + xk 4 4 kk 4 kk 8 ) ond () kxk kx + xk kk kk 4 8 {z} kk 4 4 {z} k k i.e. kxk kx + xk kk kk ond () On conclut que l inégalité (.6) est optimale pour la norme kk. De manière générale, pour toute norme matricielle subordonée, on a Théorème 5 - L inégalité (.6) est optimale dans le sens où le nombre ond() est la meilleure constante possible pour toute perturbation de la matrice et tout second membre. Preuve. Raisonnons par l absurde. Supposons qu il existe un nombre c >, tel que 8 < kxk c kk kx + xk kk pour c < ond() (.7) Soit ex6 un vecteur tel que jj zjj max z6 jjzjj k k jj exjj ; jjexjj et considérons une perturbation de la matrice par l identité, i.e. I; avec un second membre donné sous la forme On obtient alors y ( + {z} )ex I y ( + {z} I )(x + x) {z} x +x + ex ex y

68. NLYSE D ERREURS DNS LES SYSTÈMES LINÉIRES i.e. insi, x + ex ) x ex kxk ex kexk On conclut nalement, que k x k kx + xk kk kik kk ond () kk kk > c kk kk La première relation de (.7) est donc fausse, ce qui est absurde..3 Perturbation du second membre Envisageons maintenant le cas d une perturbation des coe cients du second membre, sans changement de la matrice. Théorème 6 - Soit une matrice inversible. Soient x 6 et ex x + x les solutions respectives des systèmes lors, on a x y et ex y + y k x k kxk pour toute norme matricielle subordonnée kk Preuve. Par di érence des deux équations, on a ond () kyk kyk ; (.8) x y ) x y Il résulte donc de la dé nition des normes subordonnées que kxk kyk

.3. PERTURTION DU SEOND MEMRE 69 Par ailleurs, x y ) kyk kxk kk kxk ) kxk kk kyk ; d où, de ces deux dernières inégalités k x k kxk kyk kk kyk ond () kyk kyk Remarque - On peut également montrer que l inégalité (.8) est optimale. Exemple 53 - Soit le système linéaire 3 7 8 7 x 7 5 6 5 6 x 7 8 6 9 4 x 3 5 7 5 9 x 4 x 6 4 4 3 3 3 7 5 y ) x onsidérons le système perturbé, où la matrice restant inchangée et le second membre est modi é de la manière suivante 3 4 y + y 6 9 7 4 3 5 9 Soit une erreur relative sur le seconds membre, en norme kk ; de kyk kyk 4 5 6 4 3 7 5 La solution ex x + x est égale à ex 6 4 9 4 6 4 5 3 3 7 5 Soit une erreur relative sur la solution de kxk 36 36 kxk Le rapport d ampli cation des erreurs est égal à kxk kxk 36 5 544 kyk kyk

7. NLYSE D ERREURS DNS LES SYSTÈMES LINÉIRES Le conditionnement dans ce cas est égal à 3 ond () {z} 33 {z} 36 4488 kk k k 3 La matrice inverse 5 4 6 4 68 7 7 5 3 6 3

Exercices Exercice 9 - Soit la matrice a a a a ; a R. Donner par le théorème de rowne une estimation pour les valeurs propres de. Localiser les valeurs propres de à l aide du théorème de Gershgorin. alculer kk et kk Donner des conditions sur a, en précisant celles qui sont nécessaires, pour que soit ) irréductible, ) dé nie positive, 3) à diagonale fortement dominante, 4) inversible, 5) M-matrice. Exercice - Sans calcul de, déduire de (9.) la valeur de dans les cas suivants 3 3 as ; y 4 3 as, y 4 3 ppliquer (9.) à Expliquer pourquoi le résultat est faux. Exercice - Soit a b 7 où a et b R, ba 6 a + b

7. EXERIES ) alculer k k. ) Pour quelles valeurs de a et b la matrice est-elle inversible? 3) Donner le graphe de. En déduire que est irréductible. 4) Donner des conditions sur a et b pour que soit dé nie positive. 5) Donner des conditions sur a et b pour que () soit dans le segment ]; [. 6) Donner des conditions sur a et b pour que soit une M-matrice. alculer dans ce cas y; y Exercice - Soit 6 4 b + ba a b a b + ba + a y (y i ) R n, y i alculer y. En déduire i n +. En déduire 3 i n + M n (R) et 7 5 Exercice 3 - Soit M n (R) une matrice à diagonale strictement dominante. On pose ) Montrer que min (ja i;i j i ()) i kxk kxk 8x 6 ) En déduire que 3) pplication. Donner une majoration de dans les cas suivants ; 4 3 4) Montrer que le résultat obtenu dans ) est faux pour Expliquer pourquoi.

73 Exercice 4 - alculer ond () et ond () pour la matrice 3 6 M n (R) 7 4 5 Exercice 5 - Soit la matrice ) Montrer que est une M-matrice. ) On introduit le vecteur y a a + a + a a a a a a + a a ; a.. alculer y, en déduire que 3) alculer le nombre ond() pour la norme kk. 4) En utilisant la méthode de votre choix, donner une majoration de ond() pour la norme kk. Exercice 6 - Soit la matrice 3 3 a, où a R ) Pour quelles valeurs de a est-elle irréductible (donner le graphe de )?, est-elle à diagonale fortement dominante?. ) En déduire (sans aucun calcul) des conditions su santes sur a pour que existe,. 3) On supposera que < a et on pose y (; 3; 3; ) t. Expliquer clairement pourquoi. Véri er qu il existe c >, telle que y c. En déduire une majoration de. l aide du théorème de rowne, donner une estimation pour les valeurs propres de. alculer kk et donner une majoration de ond() pour la norme kk.