L ensemble R 1 Arthur LANNUZEL le 29 Novembre 2008 http ://mathutbmal.free.fr L ensemble R 1 Définition de R. R est l unique ensemble, à notation près (à isomorphisme de corps ordonné près), vérifiant les propriétés suivantes (axiomes) : i) (R, +,.) est un corps. ii) R est totalement ordonnée par la relation d ordre et : iii) R vérifie l axiome d Archimède : x y = x + z y + z (x y) (0 z) = x.z y.z x, y R, x > 0 = n N/y n.x. iv) Tout ensemble d éléments de R non-vide majoré (resp. minoré) admet une borne supérieure (resp. inférieure) (cf. paragraphe 2). Remarque 1.1 Pour une étude complète de R avec les preuves, voir : J.M. Arnaudies et H. Fraysse, Cours de Mathématiques, Tome 2, p 14-23, DUNOD 2 Borne inférieure, borne supérieure. Définition 2.1 Soit A R. On dit que : i) M R est majorant de A dans R ssi ii) m R est minorant de A dans R ssi a A, a M. a A, m a. iii) x A est le plus grand élément de A dans R ssi S il existe on le note x = max R A. a A, a x.
L ensemble R 2 iv) x A est le plus petit élément de A dans R ssi S il existe on le note x = min R A. a A, x a. v) s R est la borne supérieure de A dans R ssi Si elle existe on la note x = sup R A. s = min{majorants de A}. R vi) i R est la borne inférieure de A dans R ssi Si elle existe on la note x = inf R A. i = max{minorants de A}. R Exercice 2.2 Montrer, grâce aux trois premiers axiomes de la définition de R que, s ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément, la borne supérieure et la borne inférieure d un ensemble A R sont uniques. Exemples 2.3 i) A = { 1 n, n N }. ii) A = N. 3 Valeur absolue. Définition 3.1 On appelle valeur absolue de x R, le réel x défini par { x si x 0 x := x si x < 0 ou x := max{x, x}. Propriétés 3.1.1 x, y R. i) x 0. ii) ( x = 0) (x = 0). iii) x.y = x. y. iv) x + y x + y (inégalité triangulaire).
L ensemble R 3 Preuve. iv) x+y 2 = (x+y) 2 = x 2 +y 2 +2xy et ( x + y ) 2 = x 2 +y 2 +2 xy. Donc x+y 2 ( x + y ) 2, d où le résultat puisque tout est positif. CQFD Exercice 3.2 Montrer que x, y R, x y x y. 4 Partie entière. Définition 4.1 On appelle partie entière de x R, l entier E(x) défini par Exercice 4.2 Montrer que : 1) x Z, E(x) + E( x) = 0, 2) x R Z, E(x) + E( x) = 1, 3) x R, E( x x+1 ) + E( ) = E(x). 2 2 E(x) x < E(x) + 1 ou E(x) = max{n N/n x} 5 Equations du second degré. Soit a, b, c R, a > 0, et Alors, on montre facilement que x R, avec := b 2 4ac. Trois cas se présentent : T : R R x ax 2 + bx + c T (x) = a((x + b )2 4a 2 ) i) Si < 0 alors x R, T (x) 0 et du signe de a. ii) Si = 0 alors x R, T (x) = a(x + b )2, donc T (x) est du signe de a et admet une racine x 0 (i.e. T (x 0 ) = 0) et x 0 = b. De plus, dans ce cas, x 0 est une racine double (i.e. T (x 0 ) = 0 et T (x 0 ) = 0 où T désigne la dérivée de T ).
L ensemble R 4 iii) Si > 0 alors T (x 0 ) = 0 (x + b )2 = 4a 2 x + b = x = b+ ou x = b Donc T admet deux racines distinctes x 1 = b+ et x 2 = b. On vérifie facilement que ces racines sont simples (i.e. T (x 1 ) 0 et T (x 2 ) 0). De plus T (x) est du signe de a pourx ], min{x 1, x 2 }[ ] max{x 1, x 2 }, + [ et du signe opposé de a pour x ] min{x 1, x 2 }, max{x 1, x 2 }[. Exercice 5.1 Soit pour a R l application de R dans R donnée par T (x) = x 2 + 2x + a. Trouver les a R tels que T admette une racine strictement positive et une racine strictement négative. 6 L espace métrique (R,. ). Définition 6.1 (Espace métrique) Soit E un ensemble. On appelle distance sur E, une application d : E E R + telle que d est symétrique : x, y E, d(x, y) = d(y, x), d sépare les points : d(x, y) = 0 = x = y. d vérifie l inégalité triangulaire : x, y, z E, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). L ensemble E muni d une distance est dit espace métrique. Remarque 6.2 1) (R,. ) = (R, d) avec d(x, y) = x y est un espace métrique. 2) (R 2, d 2 ) avec d 2 (X, Y ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (avec X = (x 1, x 2 ) et Y = (y 1, y 2 )) est un espce métrique. Définition 6.3 (boule ouverte) Soit (E, d) un espace métrique. On appelle boule ouverte de centre a E et de rayon r > 0 l ensemble : B(a, r) := {x E, d(x, a) < r}. On appelle boule fermée de centre a E et de rayon r > 0 l ensemble : B(a, r) := {x E, d(x, a) r}. Remarque 6.4 Dans (R,. ), les boules ouvertes et fermées sont respectivement les intervalles ouverts et fermés. Définition 6.5 (ouverts, fermés) Soit (E, d) un espace métrique. On dit que A E est ouvert ssi x A, ɛ > 0/B(x, ɛ) A. On dit que B E est fermé ssi C E B est ouvert.
L ensemble R 5 Exemples 6.6 1) et E sont ouvert et fermé dans (E, d). 2) Les boules fermées sont fermées dans (E, d). Propriétés 6.6.1 Soit (E, d) un espace métrique. 1) Toute réunion d ouverts de E est un ouvert de E? 2) Toute intersection fini d ouverts de E est un ouvert de E. Exercice 6.7 1) Que se passe-t-il pour une intersection infinie d ouverts. 2) Que se passe-t-il avec les fermés? Définition 6.8 Soit (E, d) un espace métrique. Soit A E. 1) On appelle intérieur de A, noté A, le plus grand ouvert contenu dans A. 2) On appelle adhérence de A, noté A, le plus petit fermé contenant A. Intervalles. a, b R, a < b. On a 9 types d intervalles : [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[, ], b], ], b[, ]a, + [, [a, + [ et ], + [= R. Remarque 6.9 Soit I un intervalle de R. i) L intérieur de I est l intervalle obtenu en supprimant les extrémités éventuelles(ex. ]1, 2[, [1, + [=]1, + [). [1, 2]= ii) L adhérence de I est l intervalle obtenu en ajoutant les extrémités éventuelles(ex. ]1, 2[ = [1, 2], ]1, + [ = [1, + [). Sous-ensemble dense Définition 6.10 Soit (E, d) un espace métrique. F E est dit dense dans E ssi x E, ɛ > 0, F B(x, ɛ). Exercice 6.11 Q et R/Q sont denses dans R.