BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES 2013 L usage de la calculatrice est autorisée. Toutes les réponses doivent être justifiées sauf si une indication contraire est donnée. L épreuve est notée sur 40 points dont 4 points sont réservés à la maitrise de la langue. Restitution de connaissances 2 points Qu est-ce qu un agrandissement? une réduction? Quels en sont les effets sur les périmètres, les aires, les volumes? http://www.bossamath.fr/?page_id=506 Exercice 1 Un club de poterie propose trois tarifs mensuels : T1 : un prix fixe par heure de cours, 15. T2 : une carte d adhérent à 40 et un prix fixe de 5 par heure de cours. T3 : un forfait de 80. 7 points 1/ Calculer, dans chaque cas, le prix à payer pour 4 heures, 7 heures, 9 heures de cours dans un mois. Vous donnerez le résultat dans un tableau. Nombre d heures Tarif 1 en Tarif 2 en Tarif 3 en 4 4 15=60 40+4 5=60 80 7 7 15=105 40+7 5=75 80 9 9 15=135 40+9 5=85 80 2/ Soit x le nombre d heures de cours prises à ce club en un mois par Juliette. Donner, selon le tarif choisi par celle-ci, l expression du prix de ces cours en fonction de x. On les notera p1, p2 et p3. p1=15x ; p2=40+5x ; p3=80 3/ Sur un même graphique, en prenant 1 cm pour 10, tracer les représentations graphiques de p1, p2 et p3. Page 1
4/ Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : a) Quelle est la dépense pour 6 heures de cours, dans chacun des cas? En suivant le chemin des pointillés sur la graphique, on lit pour 6 heures de cours : p1=90 ; p2=70 ; p3=80 b) Juliette dispose de 65. Combien d heures de cours peut-elle prendre au maximum? D après le graphique, elle peut prendre au maximum 5 heures de cours. ( tarif 1) Exercice 2 1,5 points Répondre aux questions suivantes. Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice. On ne demande pas d étapes intermédiaires ni de justification. a/ Donner un arrondi au centième du nombre A tel que : A = b/ Convertir 3,7 heures en heures et minutes. 3h42 min 831-532ó3,56 84 c/ Donner l écriture scientifique du nombre B tel que : B = 4 10 5 15 10 3 80 10-1 = 7,5 10 2 Exercice 3 2 points Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, recopier sur votre copie la bonne réponse parmi les trois proposées. Aucune justification n est demandée. 1. Le nombre 4 3 4 3 27 24 est égal à : 0 5 3 1 6 2. L expression développée de 3x (5-4x) est : 15x - 12x 15x - 12x² 3x² 3. La solution de l équation 3x + 2 = -25 est : 9 9 5 4. Un billet d avion coûte 700. Une agence de voyage vous accorde une réduction de 10 %. Vous allez donc payer : 630 770 70 Exercice 4 5,5 points On considère l expression E = 4x 2 9 + (2x + 3)(x 2). 1/ Développer et réduire l expression E. E = 4x 2 9 + (2x + 3)(x 2). E=4x 2 9 +2x² 4x +3x 6 E = 6x 2 x 15 Page 2
2/ Factoriser 4x 2 9. En déduire la factorisation de l expression E. 4x 2 9=(2x + 3)(2x 3) d après la 3 ème identité remarquable. Donc E = (2x + 3)(2x 3)+(2x + 3)(x 2) on remarque la présence d un facteur commun (2x 3) E = (2x + 3)[(2x 3)+(x 2)] soit E = (2x 3)(3x 5) 3/ a) Résoudre l équation (2x + 3)(3x 5 ) = 0. Pour qu un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l un des facteurs soit nul. D où 2x + 3= 0 ou 3x 5 = 0. donc 2x = 3 ou 3x= 5 soit x = 3 2 ou x = 5 3 Cette équation admet deux solutions : 3 2 et 5 3 b) Cette équation a-t-elle une solution entière? une solution décimale? 3 2 et 5 3 ne sont pas entiers donc pas de solution entière, et seul 3 2 est décimal. Exercice 5 5,5 points Le dessin ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, représente une figure géométrique dans laquelle on sait que : ABC est un triangle rectangle en B ; CED est un triangle rectangle en E ; les points A, C et E et D,C et B sont alignés AB = CB = 2 cm et CD = 6 cm. 1/ Construire, sur ta copie, cette figure en vraie grandeur. 2/ a) Quelle est la mesure de l angle ÆACB? On sait que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B, donc ÆACB= 90 2 = 45 b) En déduire la mesure de l angle ÆDCE. On sait que les angles ÆDCE et ÆACB sont opposés par le somment donc ils sont égaux. D où ÆDCE= 45 3/ Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE? Tracer ce cercle, que l on notera C puis tracer C le cercle circonscrit au triangle ABC. On sait que le triangle DCE et rectangle en E. «Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l hypoténuse et pour centre le milieu de l hypoténuse.» Page 3
Donc le cercle C a pour centre le milieu de [DC] Remarque : de même le cercle C a pour centre le milieu de [AC] 4/ Les cercles C et C se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés? On sait que le point M et un point du cercle de diamètre [DC]. «Si un triangle a pour sommets un point d un cercle et les extrémités d un diamètre, alors il est rectangle en ce point» Donc le triangle DMC est rectangle en M. De même, puisque M est un point du cercle de diamètre [CB], alors le triangle MAC est rectangle en M. les angles DMC Æ et CMA Æ sont des angles droits adjacents donc l angle DMA Æ est un angle plat, ce qui signifie que les points D, M et A sont alignés. Exercice 6 5 points 1/ Dessiner un pavé droit en perspective cavalière. 2/ Un aquarium a la forme d un pavé droit de longueur 40 cm de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm. a) Calculer le volume, en cm 3, de ce pavé droit. V= L l h V = 40 20 30 V = 24 000 cm 3 b) On rappelle qu un litre correspond à 1 000 cm 3. Combien de litres d eau cet aquarium peut-il contenir? Aucune justification n est demandée. V = 24 litres 3/ Parmi les trois formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm 3, d une boule de diamètre 30 cm : 4 3 π 303 4π 15 2 4/ Un second aquarium contient un volume d eau égal aux trois quarts du volume d une boule de diamètre 30 cm. On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l eau monte-t-elle? Vous donnerez une valeur approchée au millimètre. On calcule le volume d eau contenu dans le second aquarium : V 2 = 3 4 4 3 π 153 V 2 = 3 4 4 3 π 153 V 2 =π 15 3 V 2 =3375π V 2 ó10 603 cm 3 4 3 π 153 On cherche la hauteur h du premier aquarium telle que 40 20 h = 3 375π, c'est à dire h = 3 375 π 800 soit h 13,3 cm. Exercice 7 5 points Page 4
La figure sera complétée au fur et à mesure de l exercice. ABCD est un carré de centre O, tel que OB = 3 cm. La figure ci-contre n est pas à l échelle. 1/ Construire le carré ABCD en vraie grandeur. 2/ Quelle est la nature du triangle BCO? Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur. On a donc (AC) et (BD) perpendiculaires avec AC = BD et O le milieu de [AC] et [BD]. On en déduit que OA = OB = OC = OD = 3 cm et l'angle en O est droit. Cela signifie que le triangle BCO est rectangle et isocèle en O. 3/ Calculer la longueur BC. Vous donnerez une valeur arrondie au dixième. Dans le triangle BOC rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore, on a : BC²=BO²+OC². D'où BC²= 3²+3²= 18 donc BC= 18 et BCó4,2 cm 4/ Sur la demi-droite [BO), placer un point E tel que BE = 9 cm. Tracer la droite parallèle à la droite (DC) passant par E. Elle coupe la droite (AC) en F. 5/ Calculer la longueur EF. Vous donnerez une valeur arrondie au dixième. On sait que Le point F appartient à la droite (OC), le point E appartient à la droite (OB) et les droites (BC) et (EF) sont parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès, et on a OD OE = OC OF = DC EF donc 3 6 = 18 EF. Avec OD=OC=3cm et DC= BC=. D'où 3 EF=6 18 et EF= 6 18 3 18, 0E =BE BO=6cm, donc EFó 8,5 cm Exercice 8 2,5 points Une corde non élastique de 101 mètres est attachée au sol entre deux piquets distants de 100 mètres. Imaginez que vous tiriez cette corde en son milieu en la levant aussi haut que vous pouvez. Pourriez-vous passer en dessous sans vous baisser? On peut représenter le situation par le graphique ci-dessous : Dans le triangle ADC rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AD²=AC²+CD² avec AC= 100 101 = 50 et AD= = 50,5 ; on obtient : 50,5²=50²+DC² soit 2 2 2550,25=2500+DC² d où DC²=2550,25 2500 donc DC²=50,5 soit DC= 50,5 et DCó7,1 La hauteur DC vaut environ 7,1m donc pas de problème pour passer dessous! Page 5