Chpitre 2 scilltions libres des systèes à un degré de liberté 2.1 scilltions non orties 2.1.1 scillteur linéire Un systèe oscillnt à un degré de liberté est hbituelleent repéré à l ide d une coordonnée générlisée q qui est l écrt pr rpport à l position d équilibre stble. Le ouveent vibrtoire est dit linéire s il est régi pr une éqution différentielle hronique de l fore : q + ω 2 0q = 0 Cette éqution est ppelée éqution différentielle de l oscillteur hronique siple. 2.1.2 Energie cinétique Dns le cs d un systèe à un degré de liberté, constitué d une sse dont l position est repérée pr l coordonnée générlisée q, l énergie cinétique s écrit : T = 1 2 v2 = 1 [ ] r 2 2 = 1 [ ] r t 2 q 2 = 1 [ ] r 2 q t 2 q 2 q L énergie cinétique d un systèe à un degré de liberté est fonction de q et q. Elle peut s écrire sous l fore : T = 1 (q) q2 2 où (q) est une fonction de l coordonnée générlisée q, définie dns le cs étudié pr : [ r (q) = q En fisnt un développeent liité de (q) u second ordre en q, u voisinge de q = 0, on obtient : T (q, q) = 1 (0) + 2 q q + 1 2 q=0 2 q 2 q 2 + q 2 q=0 En liitnt l pproxition u second ordre, on obtient : où 0 est une constnte égle à (0). T = 1 2 0 q 2 ] 2
8 scilltions libres des systèes à un degré de liberté 2.1.3 Energie potentielle Les oscilltions se font utour de l position d équilibre stble q = 0 crctérisée pr : U q = 0 q=0 Il est toujours possible, lorsque les écrts pr rpport à l position d équilibre sont fibles, de fire un développeent en série de Tylor de U(q) u voisinge de l position d équilibre q = 0. En négligent les puissnces de q d ordre supérieur à deux, on obtient : U(q) = U(0) + U q q + 1 q=0 2 q = 0 correspond à un iniu de U(q) pour lequel U q = 0 q=0 et 2 U q 2 2 U q 2 q 2 + q=0 > 0 q=0 Si on choisit l origine de l énergie potentielle à cette position d équilibre (U(0) = 0), l énergie potentielle U (q) peut s écrire sous une fore qudrtique : vec : b 0 = 2 U q 2 q=0 U(q) 1 2 b 0 q 2 2.1.4 Eqution différentielle L éqution de Lgrnge s écrit : d dt [ ] L L q q = 0 Ce qui peret d obtenir l éqution différentielle de l oscillteur hronique siple vec l vleur de l pulstion propre ω 0 : ω 2 0 = b 0 0 = 2 U q=0 q 2 0 Les oscilltions d un systèe vibrtoire s effectuent utour d une position d équilibre stble. Pour des oscilltions de fible plitude utour de l position d équilibre, tous les ouveents vibrtoires peuvent être ssiilés à des vibrtions linéires et l énergie potentielle peut lors être pproxiée pr une fore qudrtique de l coordonnée q, tndis que l énergie cinétique peut être pproxiée pr une fore qudrtique en q. 2.1.5 Résolution de l éqution différentielle de l oscillteur hronique siple L éqution différentielle de l oscillteur hronique siple s écrit : q + ω 2 0 q = 0 L solution d une telle éqution est une fonction sinusoïdle du teps q(t) = A cos (ω 0 t + ϕ)
2.2 scilltions libres des systèes ortis à un degré de liberté 9 où A représente l plitude des oscilltions, ϕ est l phse initile. Il est iportnt de rerquer que l pulstion propre ω 0 ne dépend que des éléents qui constituent le systèe physique étudié (sse, ressort, etc...) tndis que l plitude A et l phse initile ϕ sont clculées à prtir des conditions initiles : q(t = 0) = q 0 q(t = 0) = q 0 Enfin l plitude des oscilltions d un oscillteur hronique libre ne dépend ps du teps. De telles oscilltions sont dites non orties. Il fut nénoins rerquer qu u delà d une certine plitude l vibrtion devient non linéire. Il s ensuit d bord une odifiction de l période des oscilltions et ensuite un chngeent de l nture du ouveent. 2.2 scilltions libres des systèes ortis à un degré de liberté Dns le prgrphe précédent, nous n vons ps tenu copte de certines rélités physiques. En effet, nous n vons ps pris en copte les forces de frotteent qui sont à l origine de l perte d énergie écnique du systèe sous fore de chleur. Dns ce prgrphe, nous llons tenir copte de ces rélités en nous liitnt toutefois u cs siple où les pertes sont dues à des frotteents visqueux pour lesquels les forces de frotteent, qui s opposent u ouveent, sont proportionnelles à l vitesse. 2.2.1 Eqution de Lgrnge pour les systèes dissiptifs Rppelons l éqution de Lgrnge ssociée à un systèe à un degré de liberté dont l évolution u cours du teps se rène à l étude de l coordonnée générlisée q d dt [ ] L L q q = F q F q représente l coposnte suivnt q de l résultnte des forces générlisées qui ne dérivent ps d un potentiel. Nous nous intéressons u cs prticulier des forces de frotteent définies pr l force générlisée F q = f q = β q où β est une constnte réelle positive. L éqution de Lgrnge s écrit lors dns ce cs : d dt [ ] L L = β q q q 2.2.2 Cs prticulier des oscilltions de fible plitude Nous vons ontré dns le chpitre précédent que dns le cs des oscilltions de fible plitude, l fonction de Lgrnge s écrivit sous l fore : L = 1 2 q2 1 2 b q2 L éqution différentielle du ouveent s écrit lors : q + bq = β q
10 scilltions libres des systèes à un degré de liberté C est une éqution différentielle du second ordre à coefficients constnts qui peut se ettre sous l fore : q + 2 δ q + ω 2 0 q = 0 où δ est un coefficient positif, ppelé fcteur (ou coefficient) d ortisseent et défini pr : δ = β 2 0 ω 0 est l pulstion propre définie pr ω 0 = b 0 0 2.2.3 Résolution de l éqution différentielle L solution de l éqution différentielle dépend de l vleur de δ pr rpport à ω 0 : Si δ > ω 0, on dit que le systèe est surorti ou périodique. Si δ = ω 0, on dit que l on un ortisseent critique. Si δ < ω 0, on dit que le systèe est sous-orti ou pseudopériodique. Cs où le systèe est surorti (δ > ω 0 ) L solution de l éqution différentielle s écrit dns ce cs : ] q(t) = A δ δ 1 e[ 2 ω0] 2 t + A δ+ δ 2 e[ 2 ω0 2 t A 1 et A 2 sont des constntes d intégrtion définies pr les conditions initiles. L figure cidessous représente q en fonction du teps dns le cs prticulier où q(0) = q 0 et q(0) = 0. q(t) est une fonction qui tend exponentielleent (sns oscilltion) vers zéro. Régie forteent orti : vrition de q en fonction du teps Cs de l ortisseent critique (δ = ω 0 ) L solution générle de l éqution différentielle est de l fore : q(t) = (A 1 + A 2 t) e δ t Dns le cs prticulier où q(0) = q 0 et q(0) = 0, q(t) = q 0 (1 + δ t) e δ t q(t) est encore une fonction qui tend vers zéro sns oscilltion lorsque le teps ugente.
2.2 scilltions libres des systèes ortis à un degré de liberté 11 Aortisseent critique : vrition de q en fonction du teps Cs où le systèe est sous-orti (δ < ω 0 ) L solution générle de l éqution différentielle est de l fore : q(t) = A e δt cos (ω A t + φ) vec ω A = ω0 2 δ2 ; A et φ sont deux constntes d intégrtion déterinées à prtir des conditions initiles. Dns le cs prticulier où q(0) = q 0 et q(0) = 0, on obtient : A = ω 0 q 0 ω A ( ) δ φ = rctn ω A Systèe fibleent orti : vrition de q en fonction du teps Exercices Exercice 1 : Clculer l fréquence des oscilltions pour chcun des systèes suivnts dns lesquels l sse est streinte à un ouveent verticl uniqueent : k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 k 2
12 scilltions libres des systèes à un degré de liberté Exercice 2 : Une sse ponctuelle glisse sns frotteent sur une tble horizontle. Elle est fixée à deux bâtis fixes pr deux cordes de sse négligeble tendues horizontleent. En supposnt que l tension T des cordes reste constnte lors du ouveent, clculer l période des oscilltions pour de fibles plitudes du ouveent dns l direction x. x L/2 L/2 Exercice 3 : Un iceberg de sse voluique ρ G, ssiilble à un prllélépipède régulier et hoogène de sse M flotte sur de l eu de sse voluique constnte ρ E. S surfce de bse est S et s huteur est L. n rppelle que l poussée d Archiède qui s exerce sur un objet iergé est : P A = ρ E V g où V est le volue iergé et g l ccélértion de l pesnteur. 1. Clculer, à l équilibre, le volue iergé de l iceberg en fonction de son volue totl. L sse voluique de l glce est ρ G = 900 kg/ 3 ; celle de l eu est ρ E = 1000 kg/ 3. 2. L iceberg est écrté d une distnce verticle h pr rpport à s position d équilibre. Clculer l période de ses oscilltions qund les frotteents sont considérés coe négligebles. Fire l ppliction nuérique pour L = 150, h = 2, g = 9.8 /s 2. Exercice 4 : Une tige d cier de constnte de torsion C est soudée pr son extréité u centre d un disque hoogène de sse M et de ryon R. L utre extréité est encstrée dns un bâti fixe. Une sse est soudée u point le plus bs du disque. M,R C n tourne le disque d un ngle φ 0 et on le lâche sns vitesse initile. Déteriner l expression en fonction du teps de l ngle φ(t) d écrt du systèe pr rpport à s position d équilibre. n néglige l flexion de l tige d cier. Exercice 5 : Un étronoe est schétisé sur l figure ci-dessous. L sse M est soudée à l extréité de l tige. L position de l sse sur l tige peut être réglée. L tige est supposée de sse négligeble ; elle est obile sns frotteents utour de. L sse M étnt en bs, on l écrte d un ngle θ 0 petit et on l bndonne sns vitesse initile. y l L x M
2.2 scilltions libres des systèes ortis à un degré de liberté 13 1. Quelle(s) condition(s) doit stisfire le systèe pour qu il puisse osciller? 2. Déteriner l expression de l période pour des oscilltions de fibles plitudes. 3. Schnt que M = 80 g, = 20 g et L = 4 c, déteriner l distnce l pour que l période du étronoe soit égle à 2 s. 4. n veut ugenter l période d oscilltion du étronoe. Fut-il rpprocher ou éloigner l sse du point? Exercice 6 : Dns les figures ci-dessous, une tige hoogène de sse M et de longueur L oscille sns frotteent, dns un pln verticl, utour d un xe fixe perpendiculire u pln du ouveent en. 1. Quelle est l défortion du ressort à l équilibre, schnt qu à cette position θ = 0? 2. Etblir l éqution différentielle du ouveent dns le cs des ouveents de fible plitude. 3. A quelle condition le systèe de l figure (b) peut-il osciller? Quelle est l nture du ouveent lorsque cette condition n est ps stisfite? A k L M A k () (b) (c) Exercice 7 : Qund l électron d un toe d hydrogène, se déplce d une petite distnce x à prtir de l position d équilibre, il subit une force de rppel donnée pr : F = kx, vec k = e2 4πε 0, r 2 où r = 0.05 n correspond u ryon de l toe. Clculer l pulstion propre ω 0 des oscilltions de l électron. n donne e = 1.6 10 19 C, e = 9.1 10 31 kg, ε 0 = 8.85 10 12 N 1 2 C 2. Exercice 8 : Clculer l période des oscilltions d une prticule de chrge q et de sse streinte à se déplcer selon une trjectoire rectiligne entre deux chrges égles q fixées en x = ±. Exercice 9 : Une prticule de sse se déplce dns un chp de force conservtif vec une énergie potentielle donnée pr : { 1 V (x) = 2 k ( 2 x 2) pour x < 0 pour x où et k sont des constntes. Schnt que > 0, étudier les types de ouveent possibles selon le signe de k. Exercice 10 : L énergie potentielle d une prticule de sse est V (x) = c x x 2 + 2 où c et sont des constntes positives. Représenter grphiqueent V en fonction de x. Etudier le ouveent des oscilltions de fible plitude u voisinge de l position d équilibre stble. Schnt que cette prticule dérre de s position d équilibre stble vec une vitesse v, trouver les vleurs de v pour lesquelles : M L A k L M
14 scilltions libres des systèes à un degré de liberté 1. elle oscille u voisinge de l position d équilibre ; 2. elle s échppe vers + ; 3. elle s échppe vers. Exercice 11 : force F (x) : Une prticule de sse se déplce dns l région x > 0 sous l ction d une ( ) F (x) = ω 2 x 4 x 3 où ω et sont des constntes. Représenter grphiqueent l énergie potentielle en fonction de x. Clculer l période des oscilltions de fible plitude u voisinge de l position d équilibre stble. L prticule dérre de cette position vec une vitesse v. Trouver les vleurs de x liitnt l région des oscilltions. Montrer que l période des oscilltions est indépendnte de v. (Astuce pour le clcul de l intégrle : fire le chngeent de vrible y = x 2 ) Exercice 12 : Un bloc de sse 25 kg est onté sur un support en coutchouc, de sse négligeble, qui se coprie de 6.1 c sous ce poids. Qund le bloc vibre libreent, on enregistre les positions de l sse près l voir déplcé de 5 c à prtir de s position d équilibre (voir figure ci-dessous). Schnt que le tpis de coutchouc peut être sybolisé pr un ressort de rideur K ssocié à un ortisseur de coefficient de frotteent visqueux α, clculer ces coefficients K et α. x(c) 6 4 2 0-2 -4-6 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 t(s) Exercice 13 : Le systèe de l figure ci-dessous est constitué d un cylindre hoogène de sse M et de ryon R en rottion utour de son xe de révolution fixe ( ). Un fil inextensible, de sse négligeble, entrîne le cylindre sns glisseent sur s périphérie ; ses deux extréités sont reliées à un bâti fixe (B) pr un ressort de rideur K et un ortisseur de coefficient de frotteent visqueux α. Quelle l vleur critique du coefficient α C? R (D) K (B) Exercice 14 : Le systèe écnique de l figure ci-dessous est constitué d une tige rectiligne AD, hoogène, de sse M = 3 kg et de longueur L = 2. Cette tige peut tourner, dns le pln verticl, sns frotteent, utour d un xe horizontl ( ) fixe. Les extréités A et D de l tige sont reliées u bâti fixe B 2 pr deux ortisseurs identiques de coefficient de frotteent visqueux α. Le point C, ilieu de l tige, est relié u bâti B 1 pr un ressort de rideur k. A l équilibre,
2.2 scilltions libres des systèes ortis à un degré de liberté 15 l tige est horizontle. Lorsque l tige est écrtée de s position d équilibre d un ngle θ 0 puis lâchée sns vitesse initile, elle prend un ouveent oscilltoire orti de pseudo-période 1 s. n constte qu u bout de 5 pseudo-périodes, l plitude est égle à 20 % de l plitude initile. En déduire l vleur nuérique de α puis celle de k. (B ) 2 (B ) 1 A j 2 k C ( ) D D
16 scilltions libres des systèes à un degré de liberté