Angles inscrits et angles au centre interceptant un même arc de cercle. 1) Rappels cercles et disques. a) Cercles et disques : Définitions : * Périmètre et aire :
Arc de cercle et secteur circulaire. o Exercices : a ) Soit un disque de rayon r = 20 cm et un secteur circulaire de ce disque ayant pour angle au centre α = 20. Calculer la longueur de l arc correspondant au mm près et calculer l aire du secteur circulaire au mm² près. b) Un cercle a pour périmètre P = 823. cm Calculer son diamètre au cm près. c) On donne AC = 22 cm et AB = 30 cm. L angle ˆ CAE mesure 55. Calculer le périmètre et l aire de la figure hachurée, respectivement au mm près et au mm² près.
2) Angles inscrits et angles au centre interceptant un arc. Remarque importante sur les angles : Par la suite, on ne prendra en compte que des angles SAILLANTS.
3) Angle au centre et angle inscrit interceptant un même arc : Exercice : A ) Reproduire ce pentagone régulier en prenant 6 cm de rayon. b) Trouver 2 angles inscrits interceptant tous l arc CB rouge. c) Trouver l angle au centre qui intercepte l arc ED bleu. d) Trouver l angle au centre et 3 angles inscrits interceptant le même arc CD vert. Faire des phrases claires reprenant les mots clés de la leçon. Ex : l angle (nom) est un angle au centre interceptant l arc (nom). les angles inscrits (noms) interceptent tous le même arc (nom). L angle au centre (nom) et l angle inscrit (nom) interceptent tous deux le même arc (nom de l arc). 4) Propriétés des mesures des angles aux centres et des angles inscrits interceptant un même arc. a) Activité : Construis 3 cercles. Sur chacun, construis un angle au centre et un angle inscrit qui interceptent un même arc comme ci-dessous. Dans chaque figure, mesure l angle au centre et l angle inscrit qui interceptent le même arc. Quelle observation peux-tu faire?
b) Démonstration de cette propriété : 1) Cas particulier : Considérons le cas d un point C d un cercle de centre O et de diamètre [AB]. * Que dire du triangle AOC? Pourquoi? * Que peut-on dire des angles ˆ Pourquoi? OAC et * Exprimons alors δ en fonction de α. ˆ OCA? Dans AOC, d après la somme des angles d un triangle, on a δ + 2α = 180 δ + 2α 2α = 180 2α δ = 180 2α * Que mesure l angle ˆ AOB? Pourquoi? *Que dire alors des angles β. et. δ? * On a donc : β + δ = 180. (égalité N 1) Mais comme δ = 180 2α En remplaçant (substituant) δ par 180 2α dans l égalité N 1, on obtient : β + δ = 180 ( α ) β + 180 2 = 180 β + 180 2α = 180 β + 180 2α 180 = 180 180 β 2α = 0 β 2α + 2α = 0 + 2α β = 2α Conclusion : Dans ce cas particulier, un angle au centre mesure le double d un angle inscrit interceptant le même arc. 2) Généralisation : a) Premier cas : β = 2α et β ' 2 α ' Or : β β ' = donc : β + β ' = 2α + 2 α ' = 2 ( α + α ') + est la mesure de l angle au centre interceptant l arc CD et α + α ' est la mesure de l angle inscrit interceptant le même arc. On a donc bien : ˆ ˆ 2 ˆ ˆ COD COD = CAD CAD = 2
b) Deuxième cas : On a ici : β = 2α et β ' = 2 α ' donc : β β ' = 2α 2 α ' = 2 ( α α ') Or : β β ' = δ ' = COD ˆ et α α ' = δ = CAD ˆ COD ˆ est un angle au centre interceptant l arc CD CAD ˆ est un angle inscrit interceptant le même arc. On a là encore : ˆ ˆ 2 ˆ ˆ COD COD = CAD CAD = 2 c) Conclusion : Un angle au centre vaut toujours le double d un angle inscrit qui intercepte le même arc. 5) Propriété de 2 angles inscrits interceptant un même arc. 1) Activité : Construis un cercle et sur ce cercle, construis 3 angles inscrits interceptant un même arc comme sur la figure ci-dessous. Quelle observation peux-tu faire? Comment justifier cette observation...?
2) C est très simple! Faisons entrer en scène l angle au centre qui intercepte le même arc que les 3 angles inscrits. On a forcement : ω ω ω α =, β = et aussi δ = 2 2 2 Et il en serait de même pour tout autre angle inscrit interceptant l arc rouge CB. (Le sommet de l angle inscrit ne doit pas être un point de l arc en question!) Conclusion : 2 angles inscrits interceptant un même arc sont de même mesure. Voir les exercices page 8 et page 9.
Faire au min. les exercices n 9 ; n 11 ; n 13 et n 14 Si tu veux aller plus loin : ex n 16. Entraînement D.N.B : ex n 17.
Il y a des chances que certains exercices de cette page figurent dans un prochain devoir. Tu sais ce qu il te reste à faire si tu veux avoir une note plutôt correcte. Je suis à ta disposition