CH 1 Géométrie : 3 ème Sciences Septembre 009 A LAATAOUI Produit scalaire dans le plan 1 ) PRODUIT SCALAIRE A) DEFINITION Ce n est pas une multiplication Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan Le produit scalaire de u par v noté u v est le nombre défini par l une ou l autre des égalités ci-dessous : u v = OA O = OA O cos AO = u v cos ( u, v ) où O, A et sont trois points du plan tels que u = OA et v = O Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l angle qu ils forment O H A H O A u v = OA O = OA OH = OA OH si OA et OA OH si OA et OH sont de même sens OH sont de sens contraire H est le projeté orthogonal de sur (OA) Si u = 0 ou v = 0, on pose u v = 0 Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel Montrons que OA O cos AO = OA OH si OA et OA OH si OA et OH sont de même sens OH sont de sens contraire Deux cas se présentent : Si OA et OH sont de même sens, alors AO = OH 1 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
Si OA et OH sont de sens contraire, alors AO = π OH Ex 1 : Soit AC un triangle équilatéral tel que A = 3 ( dans l unité de longueur choisie ) Les points E, F et D sont les milieux des côtés On a alors : A A AC= ou A AC = A CE= ou le projeté orthogonal de CE sur A est, donc A CE= C D F E ) REMARQUES Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire OA O suivant la nature de l angle AO En effet les normes des deux vecteurs OAet O sont positives On en déduit donc que OA O est du signe de cos AO - Si 0 AO < 90, cos AO > 0 et OA O > 0 - Si AO = 90 ( c'est à dire OA O ), cos AO = 0 et OA O = 0 - Si 90 < AO 180, cos AO < 0 et OA O < 0 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dépend de leur norme : le cosinus d un angle est un réel compris entre 1 et 1 On a donc : u v u v u v ou bien u v u v (Inégalité de Cauchy Schwarz) Un cas particulier : les vecteurs colinéaires Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors ( u, v ) = 0 et cos ( u, v ) = Ainsi u v = Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
Si u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors ( u, v ) = π et cos ( u, v ) = Ainsi u v = Produit scalaire et projection orthogonale : Si C et D sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( A ), alors : A CD = A C D C v A C v D u D Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on peut remplacer l un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte l autre Activité page 7 : ) PROPRIETES A ) OPERATIONS VECTORIELLES Soit u, v et w trois vecteurs du plan et k un réel, on a : Symétrie conséquence : Linéarité u v = u ( v + w ) = et ( u + v ) w = ( k u ) v = et u ( k v ) = (a u) (b v) = ( où a et b sont deux réels quelconques ) Ex : ( 3 u v ) ( u + v ) = Expliquer pourquoi les écritures suivantes n ont pas de sens : - «u v w» : - «u v + w» : - «u ( k + v )» : Remarque : Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais attention il ne faut pas généraliser : En effet, on peut avoir u v = 0 avec u 0 et v 0 3 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
D autre part u v = u w n implique pas v = w ) CARRE SCALAIRE ET NORME Pour tout vecteur u du plan, le produit scalaire de u par lui même, u u est appelé carré scalaire de u On le note u On a : u = u u = u u = u Ce qui donne, pour deux points A et : A = A = A Remarque : u est unitaire si et seulement si u = 1 Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables ( u + v ) ² =, ( u v ) ² = et ( u + v ) ( u v ) = Exemple : Soit AC un triangle tel que A = 4, AC = 5 et C = 6 Calculer A AC 3 ) PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est u v u v = 0 Remarque : Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan On ne modifie pas le produit scalaire de deux vecteurs en ajoutant à l un d eux un vecteur orthogonal à l autre u ( v + w ) = u v + u w et u w = 0 4 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
Ex résolu : A Soit ACD un parallélogramme En posant A = u et AD = v, on retrouve que ACD est un losange D v u si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires En effet ( u + v ) ( u v ) = u v C Ainsi u = v si et seulement si les vecteurs u + v et u v sont orthogonaux Activité page 10 : 4 ) EXPRESSION ANALYTIQUE DU PRODUIT SCALAIRE Activité 1 page 1 : u i = xi + yj i = x i + yj i = x ( ) 0 1 u j = xi + yj j = xi j j = y ( ) + y 0 1 u v = u xi ' + y' j = x' u i + y' u j = x' x+ y' y ( ) ( ) ( ) u = u u = x² + y² u v = x x + y y où ( x ; y ) et ( x ; y ) sont les coordonnées respectives de u et de v dans un repère orthonormé quelconque Activité 3 page 1 : 5 ) APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE : LIGNES DE NIVEAU Activité 1 page 13 : f( M) = AM A 1) f( M ) = 0 AM A = 0 AM A M Où est la droite perpendiculaire à (A) en A ) On suppose que A = a) H (A) AH et A sont colinéaires AH A = 15 - AH A = -15 AH = 15 = 3 (avec AH et A sont de sens contraire) 4 M = AM A = 15 AM A = AH A ( AM AH) A = 0 HM A = 0 b) f( ) 15 M ( D) Où (D) est la droite perpendiculaire à (A) en H (D) est la ligne de niveau 15 de f 5 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
Activité page 13 : gm ( ) = MA M A = 4 1) gm ( ) = 0 MA M = 0 M ζ [ A] ) Soit I le milieu de [A] a) gm ( ) = MA M = ( MI + IA)( MI + I) = IM ² + MI IA+ I + IA I = IM² + IA ( IA) = IM² IA² 0 b) gm ( ) = 1 IM² IA² = 1 IM² = 1 + IA² = 16 IM = 4 M ζ ( I,4) Activité 3 page 13 : ( F) M MA² M² = k 1) k = 0 ) MA² M² = 0 MA² = M² MA M = M méd[ A] A MI MA² M² = MA M = MA M MA + M = IM A 3) a) k = - et A = MA² M² = IM A = - IM A = -1 IH A = -1 Où H est le projeté orthogonal de M sur (A) IH et A sont de sens contraire et (F) est la droite perpendiculaire à (A) en H 1 IH A = 1 IH = 6 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom
Activité 4 page 13 : hm ( ) = MA² + M² A² MA² + M² = MA M + MA M = A² + IM² IA² = IM ² + 1) ( ) ) A A² A² A MA² + M² = A² IM² + = A² IM² = IM = M ζ M ζ[ A] 4 Exercices 5, 8, 15, 16, 17, 19 pages 19 et 1 : A I, 7 Produit scalaire dans le plan 3 ème Sciences 09 10 wwwespacemathscom