Chapitre 9 Les polynômes Motivation : Les polynomes sont les seules fonctions dont on sache calculer les images des rationnels. K sera le corps R ou C. I Définitions et structures I.1 Définitions Définition I.1 On appelle polynôme à coefficients dans K toute fonction f : K K pour laquelle il existe n N et a 0, a 1,..., a n K tels que x K, f(x a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n. On notera alors ce polynôme a k X k, et K[X] l ensemble de ces polynômes. Remarque : Noter que la fonction X 0 est la fonction constante égale à 1 dans la notation n a kx k. Un trinôme est un polynôme du type x ax 2 + bx + c. Les fonctions constantes (donc la fonction nulle et les fonctions affines sont des polynômes. Soit P (X n a kx k un polynôme. Si m > n, on peut noter P (X m a kx k en posant a k 0 pour tout k > n. Cette remarque nous permettra par la suite lorsque nous aurons deux polynômes de prendre le même n. Par ailleurs, on peut définir les polyômes comme les fonctions P (X k a kx k, où les a k sont tous nuls sauf un nombre fini d entre eux. Proposition I.2 (unicité des coefficients Soit un polynôme P (X a k X k K[X]. P est la fonction nulle pour tout i [[0, n]], a i 0. On dit alors que P est le polynôme nul. Soient P (X a k X k et Q(X b k X k K[X]. Les fonctions P et Q sont égales si et seulement pour tout i [[0, n]], a i b i. 1
Démonstration : Supposons que tous les coefficients ne soient pas nuls. Alors l ensemble {0 k n tels que a k 0} est une partie non vide de N. Elle possède donc un plus petit élément k 0. Ainsi, P (X n kk0 a k X k. La fonction x R f(x x a k 0 k 0 + a k0 +1x +... + a n x n k 0 est nulle sur R, donc sa limite en 0 est nulle. Or celle-ci vaut a k0. ABSURDE. Définition I.3 Soit P R[X]. On appelle coefficients de P les scalaires a k tels que P (X k 0 a k X k. P est un polynôme pair lorsque tous ses coefficients d indice impair sont nuls, i.e lorsqu il existe n N et a 0, a 2,..., a 2n K tels que P (X n a 2k X 2k. P est un polynôme impair lorsque tous ses coefficients d indice pair sont nuls, i.e lorsqu il existe n N et a 1, a 3,..., a 2n+1 K tels que P (X n a 2k+1 X 2k+1. I.2 Lois On peut définir deux lois sur l ensemble K[X] : m Soient deux entiers naturels n m, et P (X a k X k et Q(X b k X k. Tous les a i sont donc nuls pour i > n. P + Q est le polynôme défini par P Q est le polynôme défini par ( P + Q (X : m (a k + b k X k. ( n+m P Q (X : c k X k, ( k où pour tout k [[0, n + m]], c k a i b k i i0 Remarque : c 0 a 0 b 0, c n+m a n b m. (a + bx + cx 2 (d + ex + fx 2 ad + (ae + bdx + (af + be + cdx 2 + (ce + bfx 3 + cfx 4. A quelle CNS sur a, b le polynôme x 4 + ax 3 + bx 2 + 4x + 4 est-il le carré d un polynôme à coeffs réels? Réponse : une des deux racines carrées sera de la forme X 2 +αx +2ɛ, où ɛ 2 1. Or le carré de ce polynôme sera X 4 + 2αX 3 + (α 2 + 4ɛX 2 + 4αɛX + 4. Par unicité des coefficients, ceci est possible ssi il existe α R et ɛ valant 1 ou 1 tels que α a/2, α 2 + 4ɛ b, et 4αɛ 4. Alors soit ɛ 1, auquel cas a 2 et b + 5, soit ɛ 1 et a 2, b 3. Montrons l égalité C2n n (Cn k 2. On serait bien inspirés d utiliser le binôme de Newton, et d écrire plus 2 ( ( 2n n ( ( précisément : (X + 1 2n (X + 1 n (X + 1 n, soit X k n n ( X k k k n X k k. ( 2n L unicité des coefficients implique que n i0 ( ( n n i n i. On conclut avec ( n n i Propriétés I.4 ( K[X], +, est un anneau. C est en fait un sous-anneau des fonctions de K dans K. ( n i. 2
Démonstration : (K[X], + est un sous-groupe de (K K, + car 0 K[X] et la différence de deux polynômes est un polynôme. La fonction constante égale à 1 est un polynôme. Le produit de deux polynômes est encore un polynôme. I.3 Dérivation Définition I.5 Soit P (X a k X k. On appelle polynôme dérivé de P le polynôme P (X ka k X k 1 n 1 (k + 1a k+1 X k. Remarque : A ce stade, la dérivation n est qu une opération formelle, mais nous savons qu elle provient de la dérivation des fonctions si l on considère P comme une fonction de R dans R ou C, et que par suite elle hérite de toutes les formules que nous connaissons { sur celles-ci. On a en particulier p N, (X p px p 1 si p 1, 0 si p 0. On note P (0 P, P (1 P et P (n+1 le polynôme dérivé de P (n pour tout entier naturel n. p! On a p, k N, (X p (k (p k! Xp k si p k, 0 si k > p. Propriétés I.6 Soient P, Q K[X]. 1. Pout tout a, b K, ( ap + bq ap + bq. 2. ( P Q P Q + P Q. Démonstration : Soient P (X a k X k et Q(X b k X k. Soit n N. Le n ième coefficient de P Q + P Q est a k (n + 1 kb n+1 k + (k + 1a k+1 b n k n+1 (n + 1 ka k b n+1 k + ka k b n k+1 (n + 1a 0 b n+1 + (n + 1a k b n+1 k + (n + 1a n+1 b 0 n+1 (n + 1 a k b n+1 k. On reconnaît l expression du n ième coefficient de (P Q. 3
Proposition I.7 1. Les polynômes constants sont ceux dont le polynôme dérivé est nul. 2. P Q ssi P et Q diffèrent d une constante. Démonstration : On a pour tout n N, (n + 1a n 0. Du cours de calcul différentiel, nous déduisons : Proposition I.8 (Formule de Leibnitz (1670 Soient P, Q K[X] et n N. ( (n n ( n P Q P (k Q (n k. k II L aspect algébrique On aurait pu définir K[X] comme l ensemble des suites de K dont tous les termes sont nuls APCR, et munir celui-ci des lois + et données ci-dessus. Ce point de vue oublierait les propriétés fonctionnelles du poly pour ne s intéresser qu aux notions propres aux anneaux : la divisibilité, la division euclidienne, l irréductibilité des polynômes. C est ce point du vue qui va nous intéresser dans cette partie. II.1 Le degré Définition II.1 Soit P (X a k X k K[X]. On pose max{0 k n tels que a k 0} si P 0 K[X] deg P : si P 0 K[X]. SI P est non nul, on note CD(P : a m si m est le degré de P. P est dit unitaire s il est non nul et de coefficient dominant 1. (X 2 + 1 13 est unitaire et de degré 26. Le polynôme P (X a k X k est de degré inférieur ou égal à n. Soit n N. Quels sont le degré et le coefficient dominant de P n (X : (X 2 + 1 2n (X 2 1 2n? Son dégré est déjà 4n. De plus, le coefficient en X 4n est nul, celui en X 4n 1 aussi car il est pair, et celui en X 4n 2 vaut 2n ( 2n 4n 0. Son dégré est donc 4n 2 et son CD 4n. Pour simplifier la proposition à venir, on pose pour tout n R { } : + n, n. 4
Propriétés II.2 Degré et lois Soient P, Q K[X]. 1. deg ( P Q deg P + deg Q, et, si ces polynômes sont non nuls, CD(P Q CD(P CD(Q. 2. deg ( P + Q max{deg P, deg Q}, et si deg P deg Q, deg ( P + Q max{deg P, deg Q}. Démonstration : Ces deux affirmations sont évidentes dans le cas où l iun des deux polynômes P ou Q est nul. Nous excluons ce cas dans la suite de cette preuve. Notons n deg P m deg Q, P (X n a k X k et P (X m b k X k. P Q est un polynôme de degré au plus n + m et son coefficient en X m+n est a n b m 0. Le deuxième point est encore plus évident, puisque si n > m, le coefficient dominant de P + Q est celui de P. Résolvons l équation d inconnue P dans R[X] suivante : X(X + 1P + (X + 2P P 0. Notons n le degré de P et a n son CD. Le coefficient en X n du polynôme de droite est (n(n 1 + n 1a n (n 2 + 2n 1a n. Puisqu il est nul, n 1 et P est donc une fonction affine. Si P (X ax + b, on trouve ax + 2a ax b 2a b 0. L ensemble des solutions est l ensemble des polynômes qui s écrivent P (X ax + 2a. Propriétés II.3 (de l anneau des polynômes 1. K[X] est un anneau intègre, i.e que si P, Q K[X] vérifient P Q 0 alors P 0 ou Q 0. 2. Les inversibles de K[X] sont les polynômes constants non nuls : soit P K[X]. Alors il existe Q K[X] tel que P Q 1 ssi deg P 0. Démonstration : 1. P Q 0 deg P Q deg P + deg Q deg P ou deg Q. 2. Le sens est facile. pour, il suffit de dire que n + m 0 implique n m 0 lorsque n, m N. II.2 La division euclidienne Rappelons la définition de la divisibilité dans l anneau K[X] : soient A, B K[X]. On dit que B divise A lorsqu il existe Q K[X] tel que A BQ. On note B A. Soient n N et P (X a k X k. X divise P ssi a 0 est nul, et X m divise P ssi a 0 a 1... a m 1 0. X 2 (X + 1 n nx 1 car (X + 1 n 1 + nx + X 2 Q(X où Q est un polynôme d après le binôme de Newton. Si B A et si A est non nul, alors deg A deg B. 5
Théorème II.4 La division euclidienne Soient A, B K[X], où B n est pas le polynôme nul. Il existe un unique couple (Q, R de polynômes à coefficients dans K qui vérifie : A BQ + R, deg R < deg B. Cette égalité s appelle division euclidienne de A par B, Q est appelé quotient et R reste. Effectuer la division euclidienne de A(X 6X 4 + 2X 3 X + 6 par B(X X 2 + X + 4. Soit a C et P C[X]. Le reste de la division euclidienne de P par B(X X α est le polynôme constant P (α : P (X Q(X(X α + P (α. Démonstration : Unicité : Supposons que A BQ 1 +R 1 BQ 2 +R 2 et deg R k < deg B. ( Alors deg B(Q 1 Q 2 deg (R 2 R 1 < deg B, i.e deg Q 2 Q 1 < 0 et ainsi Q 2 Q 1 qui implique à son tour l égalité entre R 1 et R 2. Existence : Nous allons effectuer une récurrence sur n deg A. P(n : ( A K[X] de degré n, B K[X] non nul, il existe au moins... Le cas A 0 est évident :(Q, R (0, 0. L initialisation P(0 : A est une constante non nulle a. Si B est aussi une constante non nulle b, on prend Q b/a et R 0. Sinon, on prend Q 0 et R a. Hérédité : Soit n N. Supposons P(n vraie et montrons P(n + 1. Si deg B > n, il suffit de poser (Q, R (0, A. n+1 q Supposons deg B n. Soit A(X a k X k où a n+1 0, et B(X b i X i où b q 0. En posant Q n+1 (X a n+1 b q X n+1 q et A n (X A BQ n+1, on voit facilement que A n est de degré au plus n. Par HdR, il existe (Q n, R n couple de polynômes tel que deg R n < deg B et A BQ n+1 Q n B + R n, i.e A B ( Q n+1 + Q n + Rn. i0 Proposition II.5 Soient A, B K[X], où B 0 K[X]. B divise A ssi le reste dans la division euclidienne de A par B est nul. Démonstration : Cela provient de l unicité du reste : A BQ + R BS Cns pour que X 2 + 1 divise X 4 + ax 3 + bx + c. Réponse : c 1 et b a. III Racines de polynômes Retour sur le point de vue fonctionnel des polynômes avec une notion qui fait la synthèse, puisqu elle relie la divisibilité (notion algèbrique à l existence de racines (notion fonctionnelle. 6
III.1 Définition III.1 Racines simples Soit a K et P K[X]. On dit que a est une racine de P lorsque P (a 0. On appelle équation algébrique toute équation en x K du type P (x 0 où P est un polynôme. Un polynôme constant ne possède aucune racine s il est non nul, et tout a K est racine du polynôme nul. Soient a, b, c R, a 0, et P (X ax 2 + bx + c. P possède au moins une racine complexe, et il possède au moins une racine réelle ssi 0. Il existe donc des polynômes qui ne possèdent pas de racines réelles, le parangon de ceux-ci étant X 2 + 1. Proposition III.2 Soit P K[X] et a K. Alors a est une racine de P ssi le polynôme X a divise P (X. Démonstration : Le reste dans la division euclidienne de P par X a est la constante P (a. Or la divisibilité est équivalente à la nullité du reste. Proposition III.3 Soit P K[X], k N et a 1, a 2,..., a k k éléments de K deux à deux distincts. Alors ( k a 1,..., a k sont des racines de P (X a j divise P (X. Démonstration : Le sens est évident. On effectue une récurrence sur k 1, puisque l initialisation est le fait de la proposition précédente. k Si P (a 1...P (a k+1 0, par HdR, il existe un polynôme Q tel que P (X Q(X (X j1 a j. Puisque les racines sont deux à deux distinctes, Q(a k+1 0, et on peut lui appliquer à nouveau la proposition précédente. j1 Soit n N. n X n 1 ( X exp 2ikπ n Il existe au plus un polynôme de degré 4 dont 5 valeurs sont prescrites. Un corollaire essentiel est Corollaire III.4 (Version 1 Soit n N. Un polynôme de K[X] de degré n possède au plus n racines deux à deux distinctes. 7
Démonstration : Soient a 1,...a k k racines deux à deux distinctes de P. Alors il existe Q K[X] k tel que P (X (X a j Q(X. Ce qui implique que n k deg Q 0 car Q est non nul. Corollaire III.5 j1 (Version 2 Soit n N. Si P est un polynôme de degré n et s il possède au moins n + 1 racines deux à deux distinctes, alors P est le polynôme nul. Si deux polynômes coincident sur une partie infinie, alors ils sont égaux. Tout polynôme périodique est constant : si P (X + 1 P (X, le polynôme Q(X : P (X P (0 s annule en tous les entiers naturels. Il est donc nul. III.2 Définition III.6 Dérivation et racine multiples Soient P K[X] et a K. On appelle multiplicité de a dans P le plus grand entier m N tel que (X a m divise P (X. C est donc le seul entier m N qui vérifie : il existe Q K[X] tel que P (X (X a m Q(X et Q(a 0. Remarque : a est racine de P ssi sa multiplicité est non nulle. On parle de racine simple, double, triple... La multiplicité de a se lit simplement sur les dérivées successives P (a, P (a, P (a,... grâce à la formule de Taylor. Proposition III.7 Formule de Taylor Soient n N et P K[X] de degré au plus n. Soit a K. Alors P (X P (k (a (X a k. k! En particulier, si a 0, a 1,...a n sont les coefficients de P, alors k [[0, n]], a k P (k (0. k! Démonstration : Il suffit de le vérifier pour P (X X i. Or pour cette valeur de P, dx k P (X i! (i k! Xi k, et donc P (k i! P (k (a (a (i k! ai k. Finalement, (X a k i! k! (i k!k! ai k (X ( a k i a i k (X a k X i. k 8 d k
Alors : Proposition III.8 Soit P K[X], a K et m N. Alors, 1. a est une racine de P de multiplicité m ssi P (a P (a P (a... P (m 1 (a 0. 2. La multiplicité de a dans P est exactement m ssi P (k (a 0, k [[0, m 1]], P (m (a 0. Démonstration : On ne prouve que le 2. Le sens est évident d après Taylor. L autre sens vient de P (X Q(X(X a m et Q(a 0. k [[0, m]], P (k (X ( k k ( (X a m (j Q (k j j j0 ( k k m! j (m j! (X am j Q (k j j0 Ce polynôme s annule si k m 1 et vaut m!q(a 0 si k m. Montrer que (X 1 2 divise ( n 1 2 X k n 2 X n 1. On peut généraliser la proposition reliant le nombre de racines au degré dans le cas où les racines sont multiples : Proposition III.9 Soient k N, P K[X], a 1,...a k des racines de P deux à deux distinctes de multiplicités k respectives m 1,...m k. Alors (X a j m j divise P (X. j1 Démonstration : Se démontre par récurrences sur k 1. L initialisation n étant que la définition de la multiplicité. Corollaire III.10 La somme des multiplicités des racines d un polynôme non nul est toujours à son degré. 9
III.3 Relations coefficients-racines Définition III.11 Polynôme scindé Soit P un polynôme de degré 1. P est dit scindé sur K lorsqu il s écrit comme produit de polynômes de degré 1 à coefficients dans K, i.e lorsqu il existe p N complexes a 1,..a p tels que P (X c(x a 1 (X a 2... (X a p, c étant le coefficient dominant de P. P (X X 2 + 1 est scindé en tant que polynôme de C[X], mais pas en tant que polynôme de R[X]. Un trinôme à coefficient réels est scindé sur R ssi 0. Tout polynôme de degré 1 est scindé. Ceci se généralise : (X a 1 (X a 2 X 2 SX + P, (X a 1 (X a 2 (X a 3 X 3 σ 1 X 2 + σ 2 X σ 3. Définition III.12 Fonctions symétriques élémentaires Soit n N, a 1,..., a n n scalaires de K. On appelle FSE de a 1,..., a n les scalaires σ 1 a 1 + + a n, σ 2 a i1 a i2, σ p 1 i 1 <i 2 n 1 i 1 <...<i p n pour tout 1 p n. En particulier, σ n a 1...a n. a i1 a i2...a ip. σ 1, σ 2, σ 3, σ 4 pour n 4. Proposition III.13 Relations coefficients-racines Soit P (X n a k X k K[X] un polynôme de degré n 1 scindé sur K. Il existe alors α 1,..., α n K tels que P (X a n des a i. On a alors pour tout k [[1, n 1]], n (X α k. Notons σ 1,..., σ n les FSE σ k ( 1 k a n k a n. x 1, x 2, x 3, x 4 les racines complexes de P (X X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Calculer x 1 +...x 4 et x 2 1 +... + x 2 4. La somme des racines n ième de l unité vaut 0. 10
IV Polynomes irréductibles Définition IV.1 Un polynôme est dit irréductible sur K s il est de degré 1 et s il ne peut s écrire comme le produit de deux polynômes de K[X] de degrés 1. Par exemple, tout polynôme de degré 1 est irréductible. Ces polys se situent à l opposé des polynômes scindés dans l hémicycle des polynômes. IV.1 Le corps des complexes Théorème IV.2 de D Alembert Soit P C[X]. Il existe α C tel que P (α 0, i.e tel que (X α divise P. Corollaire IV.3 Tout polynôme à coefficients complexes (a fortiori à coefficients réels est scindé sur C. Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Calculer n sin kπ n en décomposant n + 1 X k. IV.2 Le corps des réels Proposition IV.4 Soit P C[X]. Alors P R[X] ssi pour tout z C, P (z P ( z. Soit a un complexe non réel et P R[X]. Alors mult P (a mult P (ā. Démonstration : Se prouve évidemment avec la carcatérisation de la multiplicité avec les dérivées. Théorème IV.5 Les polynômes irréductibles de R[X] sont : les polynômes de degré 1. les trinômes de discriminant < 0. Démonstration : Le sens direct se prouve avec les théorème de D Alembert. Théorème IV.6 Tout polynôme de R[X] s écrit comme le produit de polynômes irréductibles sur R. Exemples de décompositions dans R : 11
X 4 2X 2 3 (X 3(X + 3(X 2 + 1. X 4 + X 2 + 1 (X 2 + 1 2 X 2 (X 2 X + 1(X 2 + X + 1. Soit n N. X 2n 1 (X 1(X + 1 X 2n+1 1 (X 1 n 1 ( X 2 2 cos kπ 2n X + 1, n ( X 2 kπ 2 cos 2n + 1 X + 1. 12