Première prtie Les sous-tests de logique mthémtique et de clcul I Cours, svoir-fire et méthodes II Méthodologie du QCM de Clcul III Entrînez-vous! IV Méthodologie du QCM de Conditions minimles V Entrînez-vous!
Les tests de clcul et de conditions minimles sont sns ucun doute les plus redoutés des cndidts quels que soient leur profil et leur prcours cdémique Et ce, à juste titre! Composée de 15 questions à résoudre en 20 minutes, ien évidemment sns clcultrice, cette épreuve est eigente : le progrmme qu elle couvre est ssez vste, le chronomètre est impitoyle et son formlisme joute un stress supplémentire. Pourtnt, vous ne devez ps être effryés pr cette épreuve. Tentons de démystifier l fmeuse prtie Clcul. 1 L étendue du progrmme. Les notions mthémtiques couvertes sont très denses, le progrmme officiel comprend en vrc : les entiers reltifs, les décimu, les nomres réels ; les puissnces et les rcines crrées ; les pourcentges et les proportions ; les progressions rithmétiques et géométriques ; les identités remrqules ; les équtions du premier et second degrés ; les systèmes d équtions à 2 et 3 inconnues ; l nlyse comintoire ; les propriétés des droites prllèles (Théorème de Thlès) ; les propriétés des droites perpendiculires (Théorème de Pythgore) ; les propriétés élémentires du tringle, du cercle, du rectngle et du crré. Dites-vous ien que toutes ces notions ont été ordées lors de vos études u collège. Les juristes, historiens et utres linguistes qui n ont plus prtiqué les mthémtiques depuis le lycée ont tous otenu leur revet des collèges lors point d inquiétude, il n y ps dns les tests de difficultés conceptuelles ou progrmmtiques. Avec une onne remise à niveu, vous pourrez ffronter tous types de questions. L difficulté réelle du test n est ps là. 2 Sns clcultrice. Cette contrinte doit être nlysée correctement. «Sns clcultrice» signifie tout d ord que les clculs ne seront jmis trop compliqués (on ne vous demnde ps de devenir un génie du clcul et de trouver de tête l rcine cuique de 592!). «Sns clcultrice» signifie ussi que les clculs doivent être résolus pr le clcul mentl ou si cel est nécessire en les posnt. Drogués à l clcultrice depuis ien longtemps, vous n vez plus l hitude du clcul mentl et vous n vez plus posé d opértion depuis le CM2! Le défi est donc, u cours de votre préprtion, de retrouver une certine hileté u clcul et de ggner en rpidité. RAPIDITÉ & HABILETÉ C est ce qui fer l différence le jour J! 3 15 questions, 20 minutes, le compte à reours infernl. L essentiel de l difficulté de l prtie clcul réside dns l contrinte de temps qui vous est imposée. Vous le verrez, le temps devient très reltif lorsque l on Chpitre I Cours, svoir-fire et méthodes 15
psse le TAGE MAGE. Pourtnt, cette contrinte n est ps insurmontle à condition de grder l tête froide et de s en tenir à quelques règles d or. Premièrement, n espérez ps triter l totlité des questions le jour J et ce n est ps grve! Les ons cndidts tritent entre 70% et 80% des questions, l moyenne se situnt plutôt entre 40% et 50%. Je ne le répéteri jmis ssez, il ne s git ps de répondre à toutes les questions mis à un mimum de questions dont vous êtes sûrs à 100 %. Vous disposez insi plutôt de 2 minutes que d une minute vingt secondes pr question. Deuièmement, l rpidité s cquiert vec l entrînement. Comme un sprinter, vous devez multiplier les sénces d échuffement et d entrînement u clcul mentl et à l résolution de questions. De plus, nous le verrons dns l suite de cet ouvrge, il fut être mlin le jour de l épreuve, une pproche tctique de chque question est une des clefs du succès. Ne cherchez ps à triter les questions que vous ne comprenez ps ou qui vous prissent trop difficiles (une question fcile rpporte utnt de points qu une question difficile), ssurez-vous plutôt de répondre à toutes les questions que vous mîtrisez (prce que vous les vez déjà trvillées). Allez à l essentiel. Nous le verrons, un même mécnisme mthémtique peut être posé en une multitude de questions différentes. A vous de deviner derrière l énoncé le mécnisme ordé. Ne vous lissez ps déconcentrer pr l rédction de l question, retrouvez très rpidement le principe mthémtique dont il est question. Enfin, le QCM ceci de prticulier que l réponse se trouve sous vos yeu, elle vous est donnée pr le concepteur du test. Profitez-en. Vous le verrez, utiliser les réponses vous fer ggner un temps précieu. 16 Première prtie : Logique mthémtique et clcul
I Cours, svoir-fire et méthodes Avnt de vous lncer dns l résolution des premières questions, il n est ps inutile de conscrer du temps à reprendre les connissnces élémentires. Bien évidemment, nous ne pouvons dns cet ouvrge reprendre l ensemle des notions. Pour un cours complet, nous vous renvoyons à l ouvrge «Tests de logique mthémtique et clcul» (même éditeur, même uteur). I.1 Reprenez les ses de l rithmétique 1. - Nomres, opértions siques et divisiilité Astuce : Il est importnt de différencier les nomres et les chiffres. Les chiffres (nous utilisons les chiffres res) sont les symoles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 qui, cominés, forment des nomres. Dns un nomre, le chiffre le plus à droite est ppelé l unité, le suivnt vers l guche l dizine, le suivnt l centine, le millier, Si le nomre possède des décimles, on trouve de guche à droite près l virgule, les diièmes, les centièmes, les millièmes, Priorités dns les clculs. ( + c) = + c ( c) = c ( + ) (c + d) = c + d + c + d c ( + ) + d ( + ) = ( + ) (c + d) Les tles de multipliction. Je vous conseille vivement de répprendre (pprendre?) vos tles de multipliction de 1 à 15. Recopiez-les, ffichez-les, récitez-les peu importe l méthode, schez-les! Comme il vous fut mîtriser l lphet vnt d écrire, les tles de multipliction sont l se de l rithmétique. Chpitre I Cours, svoir-fire et méthodes 17
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 4 6 8 10 12 14 16 3 3 6 9 12 15 18 21 24 4 4 8 12 16 20 24 28 32 5 5 10 15 20 25 30 35 40 6 6 12 18 24 30 36 42 48 7 7 14 21 28 35 42 49 56 8 8 16 24 32 40 48 56 64 9 9 18 27 36 45 54 63 72 10 10 20 30 40 50 60 70 80 11 11 22 33 44 55 66 77 88 12 12 24 36 48 60 72 84 96 13 13 26 39 52 65 78 91 104 14 14 28 42 56 70 84 98 112 15 15 30 45 60 75 90 105 120 9 10 11 12 13 14 15 1 9 10 11 12 13 14 15 2 18 20 22 24 26 28 30 3 27 30 33 36 39 42 45 4 36 40 44 48 52 56 60 5 45 50 55 60 65 70 75 6 54 60 66 72 78 84 90 7 63 70 77 84 91 98 105 8 72 80 88 96 104 112 120 9 81 90 99 108 117 126 135 10 90 100 110 120 130 140 150 11 99 110 121 132 143 154 165 12 108 120 132 144 156 168 180 13 117 130 143 156 169 182 195 14 126 140 154 168 182 196 210 15 135 150 165 180 195 210 225 18 Première prtie : Logique mthémtique et clcul
Divisiilité. De nomreuses questions portent sur l divisiilité tnt en clcul qu en conditions minimles ou en logique, il fut donc prfitement connître les critères de divisiilité. Méthode : critères de divisiilité o Critère de divisiilité pr 2. Un nomre N est divisile pr 2 si et seulement si N est pir, i.e. s il se termine pr 0, 2, 4, 6, 8. o Critère de divisiilité pr 3. Un nomre N est divisile pr 3 si et seulement si l somme de ses chiffres est divisile pr 3. E. : 1.215 est divisile pr 3 cr 1 + 2 + 1 + 5 = 9 et, 9 est divisile pr 3. o Critère de divisiilité pr 4. Un nomre N est divisile pr 4 si et seulement si ses deu derniers chiffres sont divisiles pr 4. E. : 123.212.216 est divisile pr 4 cr 16 est divisile pr 4. o Critère de divisiilité pr 5. Un nomre N est divisile pr 5 si et seulement si N se termine pr 0 ou 5. o Critère de divisiilité pr 6. Un nomre N est divisile pr 6 si et seulement si N est à l fois divisile pr 2 et pr 3. Un nomre N est donc divisile pr 6 s il est pir et si l somme de ses chiffres est divisile pr 3. E. : 1.716 est divisile pr 6 cr il est pir, et, 1 + 7 + 1 + 6 = 15 et, 15 est divisile pr 3. o Critère de divisiilité pr 7. Un nomre N est divisile pr 7 si et seulement si en clculnt l somme de ses chiffres pris à prtir de l droite multipliés respectivement pr 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, le résultt est un multiple de 7. E. : 413 est divisile pr 7 cr 3 1 + 1 3 + 4 2 = 14 Et, 14 est divisile pr 7. Autre méthode pour un nomre à 3 chiffres : un nomre à trois chiffres CDU est divisile pr 7 si et seulement si CD 2U est divisile pr 7. E. : 413 est divisile pr 7 cr 41-2 3 = 35 et, 35 est divisile pr 7. Inutile de vous fire remrquer que ces critères sont etrêmement compliqués à ppliquer et, que le meilleur moyen de svoir si un nomre est divisile pr 7 est de connître l tle des 7 et de décomposer ce nomre en multiple(s) de sept. E. : 413 peut se décomposer en multiples évidents de 7 413 = 420 7 Donc, 413 = 6 7 10 7 = 59 7! o Critère de divisiilité pr 8. Un nomre N est divisile pr 8 si et seulement si ses trois derniers chiffres sont divisiles pr 8. E. : 123 212 216 est divisile pr 8 cr 216 est divisile pr 8. Chpitre I Cours, svoir-fire et méthodes 19
o Critère de divisiilité pr 9. Un nomre N est divisile pr 9 si et seulement si l somme de ses chiffres est divisile pr 9. E. : 7.218 est divisile pr 9 cr 7 + 2 + 1 + 8 = 18 Et, 18 est divisile pr 9. o Critère de divisiilité pr 10. Un nomre N est divisile pr 10 si et seulement si N se termine pr 0. o Critère de divisiilité pr 11. Un nomre N est divisile pr 11 si et seulement si l différence entre l somme de ses chiffres de rng impir et l somme de ses chiffres de rng pir est divisile pr 11. Pour un nomre à trois chiffres, l somme des unités et des centines est égle u chiffre des dizines (ttention, c est un critère de divisiilité et ps de non divisiilité). E. : 495 est divisile pr 11 cr 4 + 5 = 9. 8.690 est un multiple de 11 cr (8 + 9) (6 + 0) = 11 o Critère de divisiilité pr 13 (pour un nomre à trois chiffres). Un nomre à trois chiffres CDU est divisile pr 13 si et seulement si CD + 4U est divisile pr 13. E. : 637 est divisile pr 13 cr 63 + 4 7 = 91 et 91 est divisile pr 13. o Critère de divisiilité pr 17 (pour un nomre à trois chiffres). Un nomre à trois chiffres CDU est divisile pr 17 si et seulement si CD - 5U est divisile pr 17. E. : 476 est divisile pr 17 cr 47-5 6 = 17 et 17 est divisile pr 17. Les nomres premiers. Un nomre premier n est divisile que pr 1 et pr luimême. Vous le constterez lors des concours, de nomreuses questions portent sur les nomres premiers et pr essence ils sont difficiles à repérer. C est pourquoi il fut pprendre pr cœur les plus usuels. Les clssiques : Apprenez-les. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Remrquez que 2 est le seul nomre premier pir. Astuce. Comment svoir si un nomre est premier? Pour reconnître un nomre premier, il fut essyer de le diviser pr un nomre premier. L stuce consiste à trouver une pproimtion de l rcine crrée (R) du nomre et de vérifier si les nomres premiers inférieurs à l vleur pprochée (R) divisent le nomre étudié. Si ucun des nomres premiers inférieurs à (R) ne divise ce nomre, lors il est premier. 20 Première prtie : Logique mthémtique et clcul
Décomposition en fcteurs premiers. Tout entier nturel supérieur à 1 peut être décomposé d une mnière unique en un produit de nomres premiers. E. : l décomposition de 495 donne 11 9 5 Astuce. L technique de décomposition de nomres est LA méthode-clé pour ggner en rpidité de clcul. Pour simplifier une frction, effectuer mentlement une division ou une multipliction : l décomposition vous permet de trviller vec des nomres simples. Devenue un réflee, cette méthode vous fer ggner un temps précieu le jour du concours. Entrînez-vous! Plus petit commun multiple (PPCM). C est le plus petit entier positif qui est multiple de deu ou plusieurs entiers d une série donnée. Plus grnd commun diviseur (PGCD). C est le plus grnd entier positif diviseur de deu ou plusieurs entiers sns reste. Le PGCD correspond u produit des fcteurs qui sont communs dns toutes les décompositions des entiers de l série. Principles opértions sur les nomres pirs et impirs. + Pir Impir Pir Pir Impir Impir Impir Pir Pir Impir Pir Pir Pir Impir Pir Impir Retenez que n entier pir ou impir : n Pir = Pir (Pir) n = Pir (Impir) n = Impir Astuce. En cs de doute testez l prité vec les chiffres 1 et 2. E. : 1 2 = 2 (pir) 1 1 = 1 (impir) 1. - Puissnces et rcines crrées Puissnce. Une puissnce indique comien de fois un nomre pprît comme fcteur d un produit. Dns l epression p, est l se et p l puissnce. On dit que est élevée à l puissnce p. E. : 12 6 = 12 12 12 12 12 12 (12 est fctorisé 6 fois) Remrques importntes. - L puissnce 2 se dit «u crré» et l puissnce 3 se dit «u cue». - Un crré est toujours positif! Chpitre I Cours, svoir-fire et méthodes 21
- Un nomre, qu il soit positif ou négtif, élevé à une puissnce pire est toujours positif. - Un nomre élevé à une puissnce impire est toujours du signe de s se. - S il n y ps de prenthèses, vous ppliquez l puissnce uniquement u nomre et non à son signe : -2² = -4 (-2)² = 4 - L puissnce d un nomre compris entre 0 et 1 est toujours inférieure à s se : 0,9² = 0,81 Les formules clssiques : Apprenez-les. 0 =1 ( ) = 1 = = + y = ( y) 1 = = Astuce. Clculer fcilement le crré d un nomre. Lorsque l on connît le crré d un nomre, il est très fcile de clculer le crré du nomre suivnt ou du nomre précédent en utilisnt les identités remrqules. Souvenez vous : ( + 1)² = ² + 2 + 1, il suffit donc de rjouter (2 + 1) u crré de l entier pour clculer le crré de l entier suivnt! E. : si vous connissez 35² = 1.225, lors 36² = 35² + [2 35 + 1] = 1.225 + 71 = 1.296 De même, ( 1)² = ² - 2 + 1, il suffit donc de rjouter (-2 + 1) u crré de l entier pour clculer le crré de l entier précédent! E. : si vous connissez 35² = 1.225, lors 34² = 35² + [-2 35 + 1] = 1.225-69 = 1.156 Astuce. Clculer le crré d un nomre se terminnt pr 5. Pour clculer le crré d un nomre à deu chiffres se terminnt pr 5, il suffit de multiplier le chiffre des dizines pr son consécutif et de jutposer 25 u résultt otenu. Comprenez qu un nomre à deu chiffres se terminnt pr 5 peut s écrire de l forme d5 (d mtérilisnt le chiffre des dizines). Ce nomre peut se décomposer en (10 d + 5) et, (10 d + 5)² = 100d² + 100d + 25 = 100 d (d + 1) + 25. E. : pour clculer le crré de 65, multiplions le chiffre des dizines pr son consécutif : 6 7 = 42, puis, jutposons 25 u résultt : 42//25. Alors, 65² = 4225. En cominnt ces deu stuces, vous pourrez clculer en quelques secondes le crré d un nomre à deu chiffres quel qu il soit! 22 Première prtie : Logique mthémtique et clcul
Les crrés et les cues prfits. Apprenez-les! Un crré prfit est un entier dont l rcine crrée est un nomre entier. Crrés Cues 1² = 1 1 3 = 1 2² = 4 2 3 = 8 3² = 9 3 3 = 27 4² = 16 4 3 = 64 5² = 25 5 3 = 125 6² = 36 6 3 = 216 7² = 49 7 3 = 343 8² = 64 8 3 = 512 9² = 81 9 3 = 729 10² = 100 10 3 = 1.000 11² = 121 11 3 = 1.331 12² = 144 12 3 = 1.728 13² = 169 14² = 196 15² = 225 16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20² = 400 25² = 625 30² = 900 35² = 1.225 Identités remrqules. ² - ² = ( + ) ( ) ( + )² = ² + ² + 2.. ( )² = ² + ² - 2.. 3 3 = ( ) (² +. + ²) 3 + 3 = ( + ) (² -. + ²) Chpitre I Cours, svoir-fire et méthodes 23
Rcine crrée. est ppelée rcine crrée de y si élevée u crré vut y. On utilise le symole pour indiquer l rcine crrée positive d un nomre. Attention, un nomre dmet toujours deu rcines crrées, une positive et une négtive! E. : 4 et -4 sont les rcines crrées de 16, cr 4² = 16 et (-4)² = 16 Les formules clssiques. Apprenez-les. = 2 y = y ( ) = 1 = 2 = y y = Les rcines crrées les plus fréquentes u concours. 2 1,41 3 1, 73 5 2, 24 Remrques. - Il est impossile de simplifier une somme de rcines crrées. - Pour simplifier une rcine crrée il fut fctoriser les crrés prfits et les sortir de leurs rcines. E. : 10800 = 100 36 3 = 100 36 3 = 10 6 3 = 60 3 24 Première prtie : Logique mthémtique et clcul