Traitement du Signal

Traitement du Signal Signaux continus - Transformée de Fourier - Échantillonnage 15-22 septembre 2014 Nancy Bertin - nancy.bertin@irisa.fr

Contenu du cours 1 Prologue : pourquoi Fourier? 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés 3 Quelques exemples théoriques et réels 4 Filtrage et convolution 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 2 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Prologue : pourquoi Fourier? 1 Prologue : pourquoi Fourier? Le point de vue physique Le point de vue système Le point de vue mathématique 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés 3 Quelques exemples théoriques et réels 4 Filtrage et convolution 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 3 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Le point de vue physique Système masse libre m-ressort k idéal : l 0 l 0 + x T ẍ(t) k m x(t) = 0 dont la solution élémentaire bien connue est : x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), ω 0 = k m. 4 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Les ondes de Fourier Les ondes de Fourier (1D) sont toutes les fonctions de la forme : Sur R: x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) Sur C: x(t) = A e iω 0t+ϕ A : amplitude, ω 0 : pulsation, ϕ : phase Onde de Fourier L onde de Fourier f ν de fréquence ν est la fonction f ν : t e 2πiνt Relations : Pulsation, fréquence, période : ω 0 = 2πν 0, ν 0 = 1/T 0 Notation complexe : e iω 0t = cos(ω 0 t) + i sin(ω 0 t) Formule d Euler : 2 cos(ω 0 t) = e iω 0t + e iω 0t 5 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Le point de vue système Un système est la boîte noire qui à un signal d entrée x(t) associe un signal de sortie y(t). x(t) Système H y(t) x X et y Y, où X et Y sont deux sous-espaces de fonctions le système H est une application de X dans Y Fonctionnellement, y = H(x) À tout instant, y(t) = [H(x)] (t) 6 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Les systèmes linéaires invariants (SLI) On s intéresse plus particulièrement à des systèmes qui remplissent deux conditions agréables : Linéarité : H(x + λy) = H(x) + λh(y) Invariance par translation : τ-translatée de la fonction f : f τ : t f(t τ) Invariance du système : [H(f τ )] = [H(f)] τ Exemples de systèmes linéaires invariants : Ligne à retard : τ t, y(t) = x(t τ) Amplificateur (gain) : G 0 t, y(t) = G 0 x(t) Circuit RC, propagation du son dans une pièce... 7 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Une caractérisation des systèmes linéaires invariants Ondes de Fourier et SLI Les ondes de Fourier sont des fonctions propres des systèmes linéaires invariants : Preuve : ν, C, H(f ν ) = Cf ν. Puisque f ν (t) = e 2iπνt, f(t + u) = f(t)f(u) et f( t) = [T (f)] (t) = [T (f) t ] (0) = [T (f t )] (0) = [T (u f(t)f(u))] (0) = f(t) [T (u f(u))] (0) f(t) = Cf(t) avec C = [T (f)] (0). 8 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Une caractérisation des systèmes linéaires invariants Ondes de Fourier et SLI Les ondes de Fourier sont des fonctions propres des systèmes linéaires invariants : ν, C, H(f ν ) = Cf ν. La constante C dépend de la fréquence. On appelle réponse en fréquence la donnée de la fonction : C : R C ν C(ν) telle que ν, H(f ν ) = C(ν)f ν. 8 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Le point de vue mathématique Décomposition en série de Fourier Soit x une fonction sur R et périodique de période T 0 = 1/ν 0. Il existe une suite {a n } n Z telle que : x(t) = + n= a n e 2iπ(nν 0)t. Les coefficients de Fourier sont donnés par la formule d analyse : a n = 1 T0 /2 x(t) e i2π(nν0)t dt. T 0 T 0 /2 9 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Spectre et domaine transformé x(t) 1 T 0 = 2π ω 0 t 1 1 Synthèse : 1 x(t) T 0 1 t 1 T 0 1 t 1 T 0 t X(f) a 1 a 2 a 3 Analyse : ν 0 2ν 0 3ν 0 f 10 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Questions Peut-on étendre la décomposition en série de Fourier à des signaux non périodiques? Le spectre X(f) est-il vraiment une fonction? peut-il en être une? Que signifierait un spectre continu? Comment les propriétés typiques des signaux se traduisent-elles dans le domaine fréquentiel? Et pour les signaux discrets, que va-t-il se passer? 11 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Transformée de Fourier, définition et propriété 1 Prologue : pourquoi Fourier? 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés Énergie et puissance d un signal Définition de la Transformée de Fourier TD : d autres propriétés de la Transformée de Fourier 3 Quelques exemples théoriques et réels 4 Filtrage et convolution 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 12 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Énergie et puissance d un signal Énergie L énergie d un signal x(t) C est la quantité : Puissance E = + x(t) 2 dt. La puissance d un signal x(t) C est la quantité : P = 1 lim T + T +T/2 T/2 x(t) 2 dt. Analogie électrique : si x(t) est une tension en Volts (V), x(t) 2 est proportionnelle à des Watts et x(t) 2 t à des Joules. 13 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Signaux de puissance ou d énergie finie Puissance ou énergie finie Si E < +, x(t) est dit d énergie finie et P = 0. Si P < +, x(t) est dit de puissance finie E = +. Dans le monde physique, les signaux sont évidemment d énergie finie. Dans le monde mathématique, une onde de Fourier est de puissance finie (et donc d énergie infinie). 14 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Définition de la Transformée de Fourier Transformée de Fourier Si la fonction x(t) est intégrable, on définit sa transformée de Fourier par la fonction : X : R C f X(f) = + x(t) e i2πft dt La variable f est appelée fréquence et son unité est le Hertz (Hz). Comparez avec la formule qui donnait les coefficients de Fourier : a n = 1 T0 /2 x(t) e i2π(nν0)t dt. T 0 T 0 /2 15 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Transformée de Fourier inverse Transformée de Fourier inverse Si X(f) est la transformée de Fourier de x(t), on a la relation inverse : x(t) = + X(f) e i2πft df Comparez avec la décomposition en série de Fourier : x(t) = + n= a n e 2iπ(nν 0)t. 16 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Pièges! On rencontre différentes conventions de définition et de notation. Par exemple en électronique : ˆx(ω) = 1 + x(t) e iωt dt 2π La définition employée est généralement précisée. Sinon, on peut utiliser celle donnée dans le cours. Dans tous les cas, ça ne change pas vraiment ses propriétés. 17 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Extension Théorème de Plancherel Si la fonction x(t) est de carré intégrable, alors : X A : f X A (f) = +A A x(t) e i2πft dt converge en moyenne quadratique (vers une fonction qu on appelle aussi la transformée de Fourier de x(t)). 18 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Transformation et changement de base Espace de Hilbert des fonctions de carré sommable Soit E = L 2 (R), l ensemble des fonctions mesurables définies sur R et à valeurs dans C, dont l intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge. On définit le produit scalaire entre deux fonctions x et y (forme hermitienne positive) par : x, y = x(t)ȳ(t)dt. Muni de ce produit scalaire, E est un espace de Hilbert. R Dans ce cadre, les ondes de Fourier forment une base orthonormale et la transformation de Fourier peut être vue comme un changement de base. (À quelques finasseries près : fonctions égales sauf sur un ensemble de mesure nulle,...) 19 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Premières propriétés F est l application qui, à un signal x(t), associe X(f) : Propriétés de la transformée de Fourier La transformée de Fourier est linéaire : F(x + λy) = Fx + λfy Propriétés de parité et de conjugaison : x(t) X(f) réelle paire réelle paire réelle impaire imaginaire impaire imaginaire paire imaginaire paire imaginaire impaire imaginaire impaire complexe paire complexe paire complexe impaire complexe impaire réelle symétrie hermitienne Les signaux physiques sont réels : Fx vérifie X(f) = X( f). 20 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Conservation de l énergie Formule de Parseval E = + x(t) 2 dt = + X(f) 2 df Formulations alternatives : La transformée de Fourier est une isométrie. La transformée de Fourier est unitaire. Démonstration : plus tard (plus facile avec le produit de convolution). 21 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Pause TD 100 50 0 50 100 f Que devient X(f) quand x(t) subit les opérations suivantes : 1 Retard : x(t τ) 2 Modulation : x(t)e 2iπf 0t 3 Dilatation : x(t/a) 4 Retournement temporel : x( t) 5 Dérivée temporelle : x (p) (t) 22 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Corrigés : retard Y (f) = x(t τ) e 2iπft dt R = e 2iπfτ x(u) e 2iπfu du Le retard en temps correspond à un déphasage dans le domaine fréquentiel. Il ne se voit pas sur la représentation usuelle de la transformée de Fourier, puisqu on la représente le plus souvent en module. R 23 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Corrigés : modulation Y (f) = = R R x(t)e 2iπf 0t e 2iπft dt x(t) e 2iπ(f f 0)t dt = X(f f 0 ) La modulation en temps se traduit par une translation des fréquences (cf. transposition en musique). 24 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Corrigés : dilatation Y (f) = = R R = ax(af) x(t/a)e 2iπft dt a x(u) e 2iπfua du La contraction du temps dilate les fréquences (et réciproquement). Exemple : disque 33 tours lu en mode 45 tours sur le phonographe. 25 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Corrigés : retournement temporel Y (f) = x( t)e 2iπft dt R = x(u) e 2iπfu du R = X( f) 26 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Corrigés : dérivée temporelle Y (f) = R x (p) (t)e 2iπft dt = (2iπf) p X(f) Démo : par récurrence et intégration par parties. Pratique pour les équations différentielles! Cf. résolution des circuits électriques au lycée. 27 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Exemples de la vie réelle 1 Prologue : pourquoi Fourier? 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés 3 Quelques exemples théoriques et réels Quelques premiers exemples Théorie des distributions Durée et bande limitée 4 Filtrage et convolution 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 28 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Transformée de Fourier d une onde pure Notre première envie est de vérifier la TF d une onde de Fourier. Problème : c est un peu sale! x(t) = e 2iπνt X(f) = e 2iπνt e 2iπft dt R X(f) = e 2iπ(ν f)t dt R { 0 si ν f X(f) = + sinon L onde de Fourier n est ni intégrable, ni d énergie finie le X(f) ainsi défini est une drôle de fonction... 29 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Deux mots sur la théorie des distributions Pour sortir de cette impasse, on va définir une fonction bien pratique : l impulsion de Dirac. { + si t=0 δ(t) = 0 sinon telle que δ(t)dt = 1 R Le cadre théorique propre qui permet de manipuler cet objet est la théorie des distributions (Laurent Schwarz, médaille Fields 1950) qui sort du cadre de ce cours. 30 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Propriétés du Dirac Mesure ponctuelle idéale : δ(t τ) x(t) dt = x(τ) R Dirac et transformée de Fourier : Signal (temporel) Fourier (fréquentiel) δ(t) f, X(f) = 1 t, x(t) = 1 δ(f) δ(t τ) e 2iπfτ e 2iπf 0t δ(f f 0 ) 31 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

D autres exemples de transformée de Fourier x(t) X(f) t ν0 ν 0 f x(t) X(f) t ν 0 ν 0 f X(f) x(t) T 0 /2 T 0 /2 t 2/T 0 f 32 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Durée limitée et bande de fréquence : définitions Définitions. Un signal x(t) est dit de durée limitée (ou finie) s il est nul en dehors d un intervalle de temps [t 0, t 1 ]. Un signal x(t) est dit de bande limitée si sa transformée de Fourier est nulle en dehors d un intervalle de fréquence [B 0, B 1 ]. Si x(t) est réel et à bande limitée, X(f) est à symétrie hermitienne, donc l intervalle de fréquences précédent s écrit [ B, B]. Dans ce cas, B est appelé la bande de fréquences de x. 33 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Durée limitée et bande de fréquences : propriétés Propriétés. Dualité temps-fréquence. Un signal d énergie finie ne peut être à la fois de durée finie et de bande limitée. Si x(t) est d énergie finie E et à bande limitée B, alors x(t) 2BE. Théorème de Bernstein. Soit x(t) un signal d énergie finie et à bande limitée. Si x(t) est borné (sup t x(t) M), alors ses dérivées successives vérifient : x (p) (t) (2πB) n M Cela signifie qu un signal borné de bande limitée ne peut avoir de variations arbitrairement rapide. On dit aussi qu un signal a des variations d autant plus lentes (resp. rapides) qu il contient de l énergie dans les fréquences basses (resp. élevées). 34 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Filtrage et convolution 1 Prologue : pourquoi Fourier? 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés 3 Quelques exemples théoriques et réels 4 Filtrage et convolution Définitions et propriétés Exemples : Dirac, fenêtrage, filtrage 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 35 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Définition du produit de convolution Définition. Produit de convolution Soit deux fonctions f(u) et g(u) définis sur R. Le produit de convolution de f et g, noté f g, est la fonction : f g : R C t [f g] (t) = R f(u)g(t u)du Le produit de convolution est bilinéaire, commutatif et associatif. 36 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Convolution et transformée de Fourier Propriété. Convolution et transformée de Fourier Soit f(t) et g(t) deux signaux et F la transformée de Fourier. F(f g) = Ff Fg F(f g) = Ff Fg Remarque : cette propriété permet de démontrer facilement la relation de Parseval. 37 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Impulsion de Dirac et convolution Dirac et convolution. Le delta de Dirac est l élément neutre du produit de convolution : [δ x] (t) = x(t) 38 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Produit en temps : fenêtrage On peut représenter un signal de durée finie par le produit d un signal de durée infinie et d une porte. On appelle cette opération le fenêtrage. Le spectre résultant est la convolution du spectre du signal infini avec la transformée de Fourier de la fonction porte, c est-à-dire le sinus cardinal. Si le signal initial est une fréquence pure, on obtient la convolution d un Dirac à cette fréquence (spectre de la sinusoïde infinie) avec le sinus cardinal, soit un sinus cardinal translaté en fréquence. Plus la porte est petite, plus le sinus cardinal s étale (principe d incertitude appliqué à la dualité temps-fréquence). 39 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Produit en fréquence : filtrage Les systèmes linéaires invariants sont des produits de convolution. (Idée de la démo : les ondes de Fourier sont des fonctions propres du système). Ils sont donc équivalents à un produit dans le domaine de Fourier. On les appelle également des filtres. 40 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Réponse en fréquence et réponse impulsionnelle Nous avons vu que les SLI (filtres) pouvaient être caractérisés par leur réponse en fréquence. Maintenant que nous savons décomposer les signaux, nous savons appliquer une réponse en fréquence à chaque fréquence composant le signal, et sommer le tout. Le produit en fréquence (spectre réponse en fréquence) devient une convolution dans le temps. Les SLI sont donc également caractérisables par leur réponse impulsionnelle h(t) telle que : Pour tout signal x(t), la sortie du système s écrit : y(t) = [h x] (t) En particulier si x(t) = δ(t), y(t) = h(t), d où le terme réponse impulsionnelle. 41 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Du continu au discret : le théorème d échantillonnage 1 Prologue : pourquoi Fourier? 2 Transformée de Fourier, définition et propriétés 3 Quelques exemples théoriques et réels 4 Filtrage et convolution 5 Du continu au discret : le théorème d échantillonnage Une intuition du théorème d échantillonnage Peigne de Dirac Échantillonnage et effet sur le spectre Théorème d échantillonnage Conséquences 42 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Une intuition du théorème d échantillonnage Depuis Wikipedia. 43 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Peigne de Dirac Le delta de Dirac correspond à une mesure ponctuelle idéalisée du signal. L échantillonnage revient à faire de telles mesures régulièrement dans le temps soit à multiplier le signal avec le peigne de Dirac défini par : X Te (t) = n Z δ(t nt e ) 44 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Périodisation du spectre Intuitivement (série de Fourier) : un signal périodique donnait lieu à un spectre de Fourier en forme de peigne (spectre de raies). Compte-tenu de la réciprocité, on s attend à ce qu un signal en forme de peigne ait un spectre périodique. Formellement : y(t) = x(t) X Te (t) Y (f) = [F(x) FX Te ] (f) = k Z x(kt e )e 2iπkfTe = n Z X(f n T e ) formule de Poisson 45 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Périodisation du spectre X(f) : spectre de x(t) 200 100 0 100 200 300 f ΣX(F n/t ) : spectre de x[n] 200 100 0 100 200 300 f 46 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Repliement spectral 200 100 0 100 200 300 f 47 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Énoncé (version longue) Théorème d échantillonnage. Soit un signal réel x(t) dont la transformée de Fourier, définie, est à bande limitée ( f > B, X(f) = 0). Soit F e une fréquence d échantillonnage et le signal échantillonné x[n] = x(n/f e ). Si F e 2B, x(t) peut être reconstruit de manière unique à partir des échantillons x[n] par la formule d interpolation : x(t) = x(nt e )h(t nt e ), où h(t) = sin(2πbt) πf n= e t Si F e 2B, la reconstruction est impossible. La fréquence F e = 2B est appelée fréquence de Nyquist. Attribué successivement à Shannon, Nyquist, Whittaker et Kotelnikov. 48 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Énoncé (version courte) Théorème d échantillonnage. F e 2B 49 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014

Conséquences Pour l électronicien : Non seulement les fréquences au-dessus de F e /2 sont perdues, mais les fréquences en-dessous de F e /2 sont corrompues par le repliement! Par conséquent tout échantillonnage doit être précédé d un filtrage passe-bas pour éliminer les fréquences hors bande admissible et éviter le repliement. Pour le traiteur de signal : On supposera que les signaux numériques avec lesquels on travaille ont été bien échantillonnés. On n oubliera pas que nos signaux ne peuvent pas contenir de fréquences au-delà de F e /2. On y pensera si on change de fréquence d échantillonnage (décimation). 50 M1 RI Traitement du Signal 15/09/2014