LEÇON N 72 : Croissance comparée des fonctions réelles x e x, x x a et x ln x au voisinage de +. Applications. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. Pré-requis : Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, ites en ± ; Droite réelle achevée, voisinage épointé d un point x R, noté V x ) ; Opérations élémentaires sur les ites, théorème d encadrement, ainsi que le théorème de composition des ites : «Soient f : D R et g : E R, où D,E R tels que fd) E. Soient a,l,l) D R 2, où l = fx) et L = gx). Alors L = g fx).» x a x l x a Dans toute la leçon, x désigne un élément de R. La relation de prépondérance Définition : Soient f,g deux fonctions ne s annulant pas sur V x ). On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x ) si fx) x x gx) =. On utilisera la notation de Landau : f = og) ou f x = og) s il y a confusion). Proposition : La relation o est transitive ; Soient f, g deux fonctions ne s annulant pas sur V x ). Alors la relation P définie par f P g f = g ou f = og) ) est une relation d ordre. démonstration : Soient f, g, h trois fonctions ne s annulant pas sur V x ) telles que f = og) et g = oh). On utilise la définition : fx) x x hx) = fx) x x gx) gx) hx) = fx) x x gx) ) ) gx) =, x x hx)
2 Croissance comparée de exp, ln et puissance en + donc f = oh). On vérifie facilement que P est réflexive, transitive et antisymétrique. Ceci achève la démonstration de cette proposition. Remarque : Puisque la relation o est transitive, on utilisera par commodité la notation de Hardy : f = og) f g ou f x = og) f x g s il y a confusion). Cela nous permettra notamment d écrire plus intuitivement que f g h. Dans la suite, on se permettra même d écrire par abus de langage fx) gx) pour dire que f g. 72. Croissance comparée entre une fonction puissance et ln Théorème : Pour tout réel a strictement positif, ln x + x a. démonstration : Soit a un réel strictement positif. u >, lnu < u x >, lnx a/2 ) < x a/2 x >, a lnx < xa/2 2 x >, x a lnx < 2 a x a/2. 2 Or x a x a 2 = ; donc le théorème d encadrement permet de conclure. Remarque 2 : Si a est négatif, alors on a x a lnx au voisinage de + le quotient n est alors pas une forme indéterminée!). Corollaire : Pour tout couple b, c) R + R, on a ln x)c + x b. démonstration : Le résultat est immédiat si c. Supposons alors c >. On a ainsi lnx) c x b = ) lnx c x b/c. Puisque b/c est un réel strictement positif, le théorème nous assure que le quotient entre parenthèses tend vers en l infini. Par application de la fonction continue X X b, on en déduit que lnx) c x x b =, d où le résultat.
Croissance comparée de exp, ln et puissance en + 3 72.2 Croissance comparée entre une fonction puissance et exp Théorème 2 : Pour tout réel a, x a + e x. démonstration : Soit a un réel quelconque. Alors x a e x = ea ln x x = e xaln x x ). Le théorème et celui de composition des ites permettent alors de conclure. Corollaire 2 : Pour tout couple a, b) R + R, on a xb + e ax. démonstration : Le résultat est immédiat si b. Supposons alors b >. On a ainsi ) a x b e ax = x b/a e x. Puisque b/a est un réel, le théorème 2 nous assure que le quotient entre parenthèses tend vers en l infini. Par application de la fonction continue X X a, on en déduit que x ) a x b/a e x =, d où le résultat. Récapitulons ce que l on a démontré jusqu à présent : a,b,c) R +) 3, lnx) c x b e ax. Remarque 3 : Posons f a,b,c x) = e ax x b lnx) c pour des réels a, b, c quelconques. Définissons aussi la relation L d ordre lexicographique pour deux triplets a, b, c) et a, b, c ) de R 3 : Il est alors facile de voir que a, b, c) L a, b, c ) a < a ) ou a = a et b < b ) ou a = a, b = b et c < c ). a, b, c), a, b, c ) R 3, f a,b,c P f a,b,c a, b, c) L a, b, c ), de sorte que la relation P sur l ensemble de fonctions {x e ax x b lnx) c, a, b, c R} est une relation d ordre total.
4 Croissance comparée de exp, ln et puissance en + 72.3 Applications 72.3. Branches infinies Fonction Limite calculée Branche parabolique de direction Asymptote ln = Ox) en + exp x x ln x x x + + 2e x ln x x x e x x x x ln x x x = + Oy) en + = Ox) en + x x++2 e x = Ox) en y = x + en + x 72.3.2 Calcul de ites Exercice : Etudier la ite en + de la fonction x démonstration : x ln x lnx) x = x ln x x lnx ) x = e x ln xln x lnx) x. ) x ln x x ) ln ln x = e x ln ) ) e ln2 x x ln ln x. Par le théorème et le théorème de composition des ites, on en déduit que la ite du quotient ci-dessus vaut en +. Exercice 2 : Etudier la dérivabilité en et de la fonction définie sur [, ] suivante : exp ) si < x <, ln x fx) = si x =, si x =. démonstration : f est clairement continue sur [, ] et dérivable sur ], [, avec pour tout x ], [, f x) = ) x lnx) 2 exp. lnx On en déduit donc les ites de sorte que f est dérivable en, mais pas en. f x) = et f x) =, x + x Exercice 3 : On définit la suite u n ) n N par son terme général Montrer que la suite u n ) converge vers. n N, u n = x n+ + nx dx.
Croissance comparée de exp, ln et puissance en + 5 démonstration : x n+ x [, ], x n+ x n dx + nx + nx dx [ ] u n ln + nx) n2 u n ln + n) n 2 x n n. On conclut alors par le théorème d encadrement. 72.3.3 La fonction Gamma d Euler... Exercice 4 : Considérons les intégrales dépendant d un paramètre x > suivanteq : ϕh) = h t x e t dt et ψk) = k Montrer que ϕ et ψ admettent des ites finies respectivement en + et. t x e t dt. démonstration : Attaquons tout d abord la première fonction. Pour tout réel x > fixé, on a t x e t t 2 t x+ car t e t = par le théorème 2. On en déduit l existence d un réel A > tel que pour tout h > A, h A tx e t dt h dt A t, et donc h A t x e t dt A h A. La fonction ϕ est donc uniformément bornée en tant que somme d une quantité bornée et d un réel fixe A ), pour tout h > A, donc admet une ite finie quand h. Passons maintenant à la seconde fonction. Pour tout réel x > fixé, on a t x e t t t x+ e t t 2 car = pas de forme indéterminée). On en déduit l existence d un réel ε > tel que pour tout k < ε, ε k tx e t dt ε k dt t, et donc ε k t x e t dt k ε k. Pour la même raison que précédemment, la fonction ψ admet une ite finie lorsque k. Remarque 5 : On vient de montrer que l intégrale t x e t dt est convergente pour tout réel x, ce qui définit la «fonction gamma d Euler», notée Γx).
6 Croissance comparée de exp, ln et puissance en + 72.4 Représentation graphique x α α > ) exp x α α = ) ln x α α < ) c 2 par Martial LENZEN. Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l article L. 22-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l autorisation expresse de l auteur.