Seconde chap Géométrie plane /6 GEOMETRIE PLNE. I. Repère et coordonnées. oordonnées. Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alors (O I J) est un repère du plan d origine O. Si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit... Si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires avec OI OJ, le repère est dit... Repère quelconque. Repère orthogonal. Repère orthonormal. Propriété : Dans un repère, tout point M du plan est repéré par un unique couple (x M couple de. de M. x M est.. de M et y M est. de M. y M ) de réels, appelé Exemples :. Placer les points (0 ; 2), ( ; 0), (2 ; 3) et D( 2 ; ) dans les deux repères ci-dessous : J O I 2. oordonnées du milieu d un segment. Exemple : Dans le repère ci-dessous, placer ( ; 3) et (4 ; 2). Placer le milieu I de [] et déterminer ses coordonnées.
Seconde chap Géométrie plane 2/6 Exemple 2 : Dans le repère ci-dessous, placer de façon approximative et D 5 2. Placer le 3 2 milieu J de [D] et déterminer ses coordonnées. Propriété (admise) : Dans un repère, (x y ) et (x y ) sont deux points. Le milieu I du segment [] a pour coordonnées (x I y I ) avec x I. et y I =.. Exemple : Soient M 3 2 7 et N 3. Déterminer les coordonnées du milieu K de [MN]. 4 5 Exemple 2 : Soient (2 ; ), (4 ; 3), (0 ; 4) et D(6 ; 8). Montrer que D est un parallélogramme. Exemple 3 : Soient ( 5 3), ( 4 ) et ( 4). a. alculer les coordonnées du milieu E de []. b. En déduire les coordonnées du point D tel que D soit un parallélogramme. 2
Seconde chap Géométrie plane 3/6 3. Distance entre deux points. a. Des exemples. On se place dans un repère orthonormal ( O i j ). Dans les exemples suivants, et sont deux points du plan dont on connaît les coordonnées. Faire une figure à main levée puis calculer la valeur exacte de la distance. Exemple : (2 ; 3 4 ) et (2 ; 5 3 ). Exemple 2: (2 ; 5) et (4 ; 7). b. Démonstration. Dans un repère orthonormal ( O i j ), on a placé les points ( ) ( x y ). x y et On se place dans le cas où x x et y y. La démonstration est similaire dans les autres cas. Propriété (admise) : Dans un repère orthonormé, (x y ) et (x y ) sont deux points. lors la distance entre les points et est Exemple : Dans un repère orthonormé, on donne M 2 3 4 et N. alculer MN. 2 3
Seconde chap Géométrie plane 4/6 Exemple 2 : Dans un repère orthonormé, on donne ( 2 ;), (2 ; ) et ( ; 3). Montrer que le triangle est rectangle. Exemple 3 : Dans un repère orthonormal, on donne ( 2 ; 3), (2 ; 5), (5 ; ) et D( ; 3). En utilisant la caractérisation des diagonales d un rectangle, montrer que le quadrilatère D est un rectangle. 4
Seconde chap Géométrie plane 5/6 II. onfigurations planes.. Le triangle : droites et points remarquables a. Hauteurs et orthocentre La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. H b. Médianes et centre de gravité La médiane issue d'un sommet est la droite reliant ce sommet au milieu du côté opposé. Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. G est situé au tiers à partir de la base sur chaque segment de médiane : ' ' G ' G 3 ' ; G' 3 ' ; G' 3 '. c. Médiatrices et centre du cercle circonscrit La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O. O est le centre du cercle circonscrit au triangle. ' O ' ' d. issectrices et centre du cercle inscrit La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point I. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle. I e. Théorème des milieux Théorème : Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et a pour longueur la moitié du troisième côté. Réciproque : La droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. 2. Propriété de Thalès Théorème : Si et MN sont deux triangles tels que : M est un point de (), N est un point de (), Les droites ( () et (MN) sont parallèles lors M = N = MN. Réciproque : et MN sont deux triangles tels que : M est un point de (), N est un point de (), Les points, M, et, N, sont placés dans le même ordre. Si M = N alors les droites (MN) et () sont parallèles et M = N = MN Triangle rectangle 3. Théorème de Pythagore Théorème : Dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Réciproque : Si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle. 4. Triangle rectangle et cercle Théorème : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a un diamètre de ce cercle comme côté, alors il est rectangle. Théorème : Dans un triangle rectangle, l hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit. Le milieu de l hypoténuse est donc le centre de ce cercle. I 5
Seconde chap Géométrie plane 6/6 5. Trigonométrie dans le triangle rectangle cos = côté adjacent hypoténuse ; sin = côté opposé hypoténuse ; tan = côté opposé côté adjacent. 6. Quadrilatères. a. Parallélogramme. Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux. Propriétés : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. b. Rectangle. Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Propriétés : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont de même longueur, alors c est un rectangle. c. Losange. Définition : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Propriétés : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, alors c est un losange. d. arré. Définition : Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Propriétés : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu, sont de même longueur et perpendiculaires. Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, sont de même longueur et perpendiculaires, alors c est un carré. 6