Titre du dossier : Calculs de dérivées Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Société : Ecole de la deuième Chance Marseille Mots clés : Maths, math, mathématiques, ceinture rouge, degré 3, FR_MA_RO_3_, Calcul de dérivées, équation de la tangente, sens de variation, etremums. Commentaires : Ce dossier doit permettre de calculer des dérivées, de donner l équation de la tangente à la courbe, de donner le sens de variation et d étudier les etremums. Date de création : mars 2003 Date de modification : 5 juin 2008 Nom du fichier : Calculs_de_derivees.doc Site : e2c-marseille.net
Ecole de la Deuième Chance MARSEILLE 360, Chemin de la Madrague Ville 305 Marseille & : 04.96.5.80.40 : 04.96.5.80.56 www.e2c-marseille.net NOM : PRENOM : SESSION : GROUPE : 3 LA FONCTION DERIVEE NIVEAU : IV CEINTURE : rouge DEGRE : 3 COMPETENCES EXIGIBLES : - Calcul de dérivées - Equation de la tangente - Sens de variation - Etudier les etremums DATE D EVALUATION : ACQUIS EN VOIE D ACQUISITION NON ACQUIS 2
DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE..Tangente et nombre dérivé Au origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente d'une droite particulière à une courbe qu'on appelle la tangente. La pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque b tend vers a du quotient Cette pente est aussi appelée nombre dérivé de la fonction f en a. Il est noté f'( a ). Quand il eiste, on dit que la fonction f est dérivable en a. Définition : Dire que la fonction f est dérivable en 0 signifie que la limite lorsque tend vers 0 du quotient : f ( ) f ( 0 ) eiste et qu'elle est finie. 0 Lorsque c'est le cas, elle porte l'appellation de nombre dérivé de la fonction f en 0. Il est noté f'( 0 ). f Autrement écrit : f'( 0 ) = lim, ( ) f ( ) 0 0 0 La dérivation par la pratique Déterminons le nombre dérivé en = de la fonction f définie par : f() = 2² + Pour trouver ce nombre, nous allons suivre la définition d'un nombre dérivé : nous allons f ( ) f () étudier la limite lorsque tend vers du quotient f ( ) f () Donc lorsque tend vers, le quotient tend vers 2 ( + ) = 4. Conclusion : La fonction f() = 2 2 + est dérivable en =. Le nombre dérivé de cette fonction en vaut 4 : f '() = 4. 3
.2. Fonction dérivée. Imaginons qu'une fonction f soit dérivable sur tout un ensemble I. Cela signifie que tout réel de cet ensemble I, il eiste un nombre dérivé f '(). C'est ainsi que l'on construit la fonction dérivée de la fonction f. Définition : f est une fonction dérivable sur un ensemble I (autrement écrit, f est dérivable en tout réel de cet ensemble). La fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f ' et définie pour tout réel de I par : f ' : Nombre dérivé de f en.3. Equation d'une tangente Théorème : Si la fonction f est dérivable en 0 alors la courbe de la fonction f admet au point M( 0 ; f ( 0 )) une tangente dont l'équation réduite est : y = f '( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) Eemple : Soit la fonction f est définie par : f () = 2 2 + Déterminons l'équation de la tangente Δ à sa courbe en 0 = f () = 3 f '() = 4 L'équation réduite de la droite Δ est donc : y = f '( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) = 4( ) + 3 = 4 II. DERIVEES USUELLES Fonction Dérivée Ensemble de dérivation k 0 ] - ; + [ ] - ; + [ 2 2 ] - ; + [ 3 3 2 ] - ; + [ n n n ] - ; + [ ] - ; 0 [ ] 0 ; + [ ² ] 0 ; + [ 2 4
III. OPERATIONS SUR LES DERIVEES Fonction Dérivée Eemple au n a.n.u n u + v u + v 2 uv u v + uv 3 u' 4 u u² u u'. v u. v' 5 v v² Eemples : Eemple : f() = 7 5 La dérivée de la fonction 5 est égale à 5 4. D'où : f'() = 7 ( 5 )' = 7 (5. 4 ) = 35 4 Eemple 2 : f() = 7. 3-3. 2 + 3. Les dérivées des fonctions 3, 2 et 3 sont respectivement 3 2, 2. et 0. f '() = (7 3 )' (3 2 )' + (3)' = 7 ( 3 )' 3 ( 2 )' + (3)' = 7 (3 2 ) 3. (2) + 0 = 2 2 6 Eemple 3 : f() = ( 3 +). ( 2 ) Pour calculer la dérivée de cette fonction f, on a le choi entre un développement ou appliquer la formule. La fonction f est le produit des fonctions : u() = 3 + dont la dérivée est 3 2 v() = 2 dont la dérivée est 2 2 f '() = u(). v'() + u'(). v() = ( 3 +)(2) + ( 2 )(3 2 ) = 2 4 2 2 + 2 + 3 4 2 3 2 + = 5 4 6 2 + 2 + Eemple 4 : f() = ² + Cette fonction est l'inverse de la fonction u() = 2 + dont la dérivée est 2 5
2 + Eemple 5 : f() = ² + La fonction f est le quotient des fonctions : u() = 2 + dont la dérivée est 2 v() = 2 + dont la dérivée est 2 IV. DERIVEE ET VARIATION Le grand intérêt de la dérivée est que son signe permet de connaître le sens de variation de la fonction initiale. C'est l'objet du théorème suivant : Théorème : La fonction f est dérivable sur l'intervalle I Si sa dérivée f ' est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I Si sa dérivée f ' est nulle sur I alors f est constante sur I Si sa dérivée f ' est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I Eemple : voyons ce qu'il en est avec la fonction sinus. En =, la fonction sinus est croissante. La pente de la tangente est positive. En = π/2, la fonction n'est ni croissante, ni décroissante. La pente de la tangente est nulle. En = 3, la fonction sinus est décroissante. La pente de la tangente est négative. Eemple : ² + 6 Soit f() = ( ) La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est définie là où son dénominateur est non nul. C'est-à-dire partout sauf en D f = ] - ; [ ] ; + [ 6
Dans le cas présent, nous nous intéressons au limites de f en l infini et au voisinage de. Limites au infinis Les limites de f au infinis sont : Comme pour tout réel différent de, la droite D d'équation y = est une asymptote à la courbe de f au voisinage de l infini Limites en La droite verticale D' d'équation = est donc une asymptote verticale à la courbe de la fonction f Pour tout réel différent de, on a donc que : Sous cette forme, la dérivée f' est ineploitable car ce qui nous intéresse est don signe. Nous devons donc factoriser le numérateur 2 2 5 Cela se fait tout seul en utilisant les formules du trinôme. On obtient : 2 2 5 = ( + 3)( 5) Au final, pour tout réel différent de : Nous voulons connaître le signe de f'(). Nous allons donc dresser son tableau de signes. Théorème : f est une fonction dérivable sur l'intervalle ] a ; b [. 0 est un réel de cet intervalle. Si f admet un maimum ou un minimum local en 0 alors f'( 0 ) = 0 7
V. APPLICATION DE LA DERIVATION Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c un réel de I distinct des etrémités. On dit que f admet un maimum local ( resp. minimum local ) en c si f ( c ) est le maimum ( resp. minimum ) de f restreinte à un intervalle ouvert contenant c. 5.. DERIVEE ET SENS DE VARIATION 5... DU SENS DE VARIATION AU SIGNE DE LA DERIVEE Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est croissante sur I, alors pour tout de I, f ( ) 0 Si f est décroissante sur I, alors pour tout de I, f ( ) 0 Si f est constante sur I, alors pour tout de I, f ( ) = 0 5..2. DU SIGNE DE LA DERIVEE AU SENS DE VARIATION : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est croissante sur I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est décroissante sur I. Si pour tout de I, f ( ) = 0, alors f est constante sur I. E : Soit f la fonction définie sur IR par f : 3 + 9 f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR et pour tout réel, f ( ) = 3 ² - f ( 0 ) = 0 - Pour tout réel 0, f ( ) > 0. Ainsi f est strictement croissante sur IR. On résume ces résultats dans un tableau de variation : - 0 + f ( ) + 0 + f ( ) 9 Attention : Il est fondamentale de se placer sur un intervalle. E : La fonction inverse f : est définie et dérivable sur ] - ; 0 [ ] 0 ; + [ Et pour tout réel 0, f ( ) =, ce qui est strictement négatif sur IR *. ² Comme vous le savez f n est pas décroissante sur IR * ; elle l est indépendamment sur ] - ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ 5.2. EXTREMUM D UNE FONCTION 5.2.. LA NOTION D EXTREMUM LOCAL ( ou relatif ) Cf a O c d e g b Sur l intervalle [ a ; b ], la fonction f représentée cicontre admet un maimum en e et un minimum en d. «Autour» de c et de g, on remarque que le comportement de f n est pas banal On constate que localement (? ) f admet un maimum en c et un minimum en g. Plus précisément : 8
Remarque sur les etrémités : Sur un intervalle fermé [ a ; b ], on peut définir un etremum local en a ou en b. Par eemple, dire que f ( a ) est un maimum local signifie que f ( a ) est le maimum de f sur un intervalle [ a ; α [, où α b. Les fonctions que nous étudierons cette année admettront toujours un etremum en a et en b, mais ce n est pas toujours le cas 5.2.2. QUEL LIEN AVEC LA DERIVATION? On admet : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I. Si f admet un etremum local en c, alors f ( c ) = 0. y f ( c ) C Cf Conséquences graphiques : On a f ( c ) = 0, ainsi le coefficient directeur de la tangente à Cf en C est nul ; la tangente est horizontale. 0 c Rem : Il est important que I soit ouvert. E : f : ² et I = [ 0 ; ], f ( ) = est le maimum de f sur I et pourtant f ( ) = 2 Une fonction non dérivable en un réel, peut admettre un etremum en ce réel. E : Pensez à la fonction valeur absolue qui n est pas dérivable en 0 La réciproque de ce théorème est fausse. ( Si f ( c ) = 0, on n a pas forcément un etremum en c ) E : f : 3, f ( 0 ) = 0 et pourtant f ( 0 ) n est pas un etremum local de f Pour fier les idées, on choisit les etremums éventuels de f parmi les réels c vérifiant : - c est une borne de I, - c est un réel où f n est pas dérivable, - c est un réel où f est dérivable et tel que f ( c ) = 0 mais comment choisir? Deu configurations à retenir : Supposons que l on puisse etraire du tableau de variation d une fonction une telle configuration c c f ( ) 0 f ( ) + 0 f ( c ) f ( ) f ( c ) f ( ) La dérivée s annule et change de signe il semble que l on soit en présence d un etremum local. On admet : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I. Si la dérivée f s annule en c en changeant de signe, alors f ( c ) est un etremum local de f sur I. 9
VI. Eercices Eercice Fonction initiale Fonction dérivée f() = 2 + 3 f '() = f() = ² 5 + 3 f '() = f() = 7² 56 + 4 f '() = f() = -3 ² + 8-2 f '() = f() = (3 + )² f '() = f() = 3-3 f '() = f() = 4 + 5² - 4 3 f '() = f() = + 2 5,6 f '() = f() = 2 ², 45 f '() = f() = - 45 ² 0,5 4 f '() = Eercice 2. Dérivée d'une fonction : Rechercher les dérivées des fonctions f définies par f() = 3 2 +5 +3 f() = 3 7 2 2 + 0
3 2 5 + 3 2 + 4 f() = (réécrire sous la forme d'une somme de deu fonctions) ² 2 f() = + 2 2. Tableau de variation d'une fonction et recherche des etremums : Soit la fonction f définie sur l'intervalle [ 3 ; 4] par f() = 2 2. Construire le tableau de variation de f Quel est le maimum de la fonction g définie sur [ 3 ; 5] par g() = 0,5 ² + + 5 Rechercher les etremums de la fonction h définie sur [ 4 ; ] par h() = 0,2 3 + ² + 2 Montrer que la fonction f définie sur [ 3 ; 6] par f() = 2 ² 0 + 7 passe par un minimum dont on précisera les coordonnées.
3. Etude de fonction On considère la fonction f définie sur]0 ; 0] par f() = ² 5 + Réécrire f() sous la forme d'un somme de 2 fonctions. Calculer f '() où f ' désigne la dérivée de f. Rechercher dans l intervalle] 0 ; 0] pour quelle valeur de la dérivée f ' s'annule. Dresser le tableau de variation de f Construire la courbe Χ représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 2
y O 3