Isométries du plan Nous allons représenter les isométries du plan par des opérations algébriques. ais un peu de géométrie sera nécessaire au préalable. Nous considérons ici le plan euclidien P, c est-à-dire le plan muni de la distance usuelle : d(a, B) désigne la distance entre deux points A et B; c est la longueur du segment AB. 18.1 éfinition Une isométrie du plan est une fonction f : P P telle que pour tous points A et B dans P, on ait d( f (A), f (B)) d( A, B). En d autres termes, f conserve les distances entre les points. Nous notons i l ensemble des isométries du plan. Nous verrons plus loin que c est un groupe sous la composition, et que toute isométrie est une bijection P P. 18.2 éfinition Une isométrie f fixe le point P si f ( ). Un tel point s appelle un point fixe de f. 18.3 Théorème Si une isométrie fixe trois points non alignés de P, c est l identité de P. Rappelons que l identité de P est la fonction id : P P telle que id( ) pour tout point dans P. C est bien une isométrie. émonstration Prenons trois points fixes A, B, C non alignés de l isométrie f. Remarquons qu un point du plan est entièrement déterminé par les distances d(a, ), d(b, ), d(c, ) (voir figure 18.1); pour s en convaincre, il suffit de regarder l intersection des trois cercles de rayon d(a, ), d(b, ) et d(c, ) centrés respectivement en A, B et C. Comme f est une isométrie, on a d(a, ) d( f ( A), f ( )) d( A, f ( )),d(b, ) d(b, f ( )),d(c, ) d(c, f ( )). Comme et f ( ) ont les mêmes distances à A, B, C, on doit avoir f ( ). 155
B A C Figure 18.1 Ceci est vrai quel que soit, donc f id. u 18.4 éfinition Soit une droite du plan P. La réflexion (ou la symétrie) par rapport à est la fonction f décrite dans la figure 18.2, où H est la projection orthogonale de sur, et d(, H) d(h, f ( )). H f() Figure 18.2 18.5 Théorème Une réflexion est une isométrie. 156
A H B K C f(a) A f() Figure 18.3 émonstration Prenons A et comme en figure 18.3. Traçons les parallèles AB et A C à la droite. On obtient deux rectangles AKHB et KA CH. On a donc les égalités de distances d(a, B) d( A, C) et d(b, H ) d(h, C). Comme on a, par définition de la figure, d(, H) d(h, ), on en déduit d(, B) d(c, ) Les deux triangles rectangles AB et A C ont donc les deux côtés adjacents à l angle droit égaux. Ils sont donc égaux, et d(a, ) d( A, ), i.e d(a, ) d( f (A), f ( )). Lorsque A et ne sont pas du même côté de, un raisonnement analogue conduit à la même conclusion. Ceci est vrai quel que soient les points A et, et f est une isométrie. u Le lecteur remarquera qu une réflexion par rapport à la droite fixe tous les points de. 18.6 Théorème Si une isométrie, distincte de l identité, fixe deux points distincts, c est une réflexion. émonstration Soit f l isométrie et A, B deux points fixes distincts de f. Soit la droite AB; nous montrons que f est la réflexion par rapport à. Soit P. 157
A B f () Figure 18.4 Prenons d abord, comme dans la figure 18.4. Comme f est une isométrie, on a d(a, ) d( A, f ( )) et d(b, ) d(b, f ( )). Un coup d oeil à la figure montre que f ( ) doit être comme représenté (on ne peut pas avoir f ( ), sinon f id d après le th. 18.3). L égalité des distances ci-dessus montre que est la médiatrice du segment f ( ). Par suite f ( ) est le symétrique de par rapport à. Si, alors les égalités de distance ci-dessus montrent que f ( ). onc f est la réflexion par rapport à. Nous pouvons, par le choix d une origine et d un repère orthonormé, identifier le plan euclidien avec C (cf. chap. 8). Si les points, correspondent aux nombres complexes z, z, leur distance d(, ) est égale au module z z Si donc l on identifie P avec C, une isométrie est une fonction f : C C telle que z, z C, f (z) f ( z ) z z u 18.7 éfinition Soient a, b des nombres complexes. Les fonctions f a, b et f a, b de C dans C sont définies par : f a, b (z) az b, f a, b az b. On a f a, b f c, d (z) f a, b (cz d) a(cz d) b acz ad b f ac, ad b (z). où f a, b f c, d f ac, ad b (18.1) 158
e manière tout-à-fait analogue à ci-dessus, on vérifie les formules f a, b f c, d f ac, ad b f a, b f c, d f ac, ad b (18.2) f a, b f c, d f ac, ad b (utiliser le fait que z z est un homomorphisme d anneau, cf. exercice 8.9). 18.8 Théorème Si l on identifie le plan euclidien P à C, alors l ensemble i des isométries du plan s identifie à l ensemble qui est un groupe sous la composition. émonstration ontrons d abord que i est un groupe. i f a,b a,b C, a 1 f a,b a,b C, a 1, Comme a 1 c implique ac 1 ac, les formules (18.1) et (18.2) montrent que la composée de deux fonctions dans i est encore dans i e plus, id f 1, 0, donc i est un monoïde. La formule (18.1) montre que la fonction réciproque de f a, b est f a 1, a 1b ; de même, la dernière des formules (18.2) montre que la fonction réciproque de f a, b est f 1 1 a, a b. onc i est un groupe, car a 1 a 1 1 a 1 On remarquera que si a 1 alors a a 1, donc on peut 1 1 aussi écrire : f a, b fa, a b et f a, b f a, ab (en particulier, f 1 1 a, 0 = f a,0 et f a, 0 f a, 0 ). En conclusion i est un groupe. ontrons maintenant que chaque fonction dans i est une isométrie. On a en effet f a, b (z) f a, b ( z ) az b (az b) a(z z ) a z z z z, puisque a 1; de plus f a, b (z) f a, b ( z ) az b (az b) a(z z ) a(z z ) a z z z z onc f a, b et f a, b sont des isométries. Il reste à vérifier que toute isométrie est dans i. Soit f une isométrie quelconque. Posons b f (0) et a ( f 1, b f )(1). On a ( f 1, b f )(0) f 1, b (b) b b 0. onc f 1, b f fixe 0 et envoie 1 sur a. e plus, c est une isométrie, comme produit de deux isométries. onc a est de module 1 car 1 d(1, 0) d(a, 0) a. Posons g f a, 0 f 1, b f. abord, f a, 0 et f 1, b f 159
fixent 0, donc g aussi; ensuite, g(1) ( f a, 0 f 1, b f )(1) f a, 0 (a) aa 1, donc g fixe 1. Comme g fixe 0 et 1, g est, d après le th. 18.6, soit l identité, soit la réflexion par rapport à l axe des x; cette réflexion n est autre que la fonction z z, i.e f 1,0. onc, dans le premier cas, f a, 0 f 1, b f id, ce qui implique f f 1, b f a, 0 f a,b ; dans le deuxième cas, f a, 0 f 1, b f f 1, 0, ce qui implique f f 1, b f a, 0 f 1, 0 f a, b. ans tous les cas f est dans i, ce qui achève la preuve. u Nous allons maintenant «classifier» (comme on dit en mathématiques) les isométries du plan; nous avons déjà vu l identité, et les réflexions. 18.9 éfinition La rotation d angle autour du point A est la fonction P P décrite dans la figure 18.5. f() d(a, ) = d(a, f()) A Rotation d'angle autour de A Figure 18.5 Une translation de vecteur v est la fonction décrite dans la figure 18.6. v f() f() v Translation de vecteur v Figure 18.6 Une transflexion de droite et vecteur v (où et v sont parallèles) est la fonction P P décrite dans la figure 18.7. 160
v H f() f () v d(h, ) d(h, ) Transflexion de droite et vecteur v Figure 18.7 Une rotation consiste donc à faire tourner le point autour d un point A, d un angle donné; A est point fixe de la rotation; c est l unique point fixe si la rotation n est pas l identité. Une translation revient à déplacer d un vecteur donné v le point ; il n y a pas de point fixe si v 0. Et une transflexion est une réflexion suivie d une translation parallèle à la droite fixe de la réflexion; il n y a pas de point fixe si v 0, mais la droite est invariante (la définition d invariante suit). Lorsque v 0, la transflexion est une réflexion. 18.10 éfinition Soit f : P P une fonction. Une partie E de P est invariante sous f si f (E) E. Un point fixe est donc une partie invariante réduite à un point. La classification des isométries sera faite dans les exercices : on y montre que toute isométrie est soit une rotation, soit une translation, soit une transflexion. Exercices résolus *1. a) ontrer que l ensemble des isométries qui fixent 0, noté i 0, est un sous-groupe de i. b) ontrer que : f a, b (resp. f a, b ) i 0 b 0. 2. ontrer que d f a, b a,b C, a 1 est un sous-groupe normal de i. Une isométrie dans d s appelle un déplacement (on dit aussi que c est une isométrie qui préserve l orientation). 161
*3. a) ontrer que d 0 d i 0 est un sous-groupe normal de i 0. b) ontrer que d 0 f a,0 a C, a 1. c) ontrer que d 0 est isomorphe au groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. 4. ontrer que si a= e i, f a, 0 est la rotation d angle autour de 0. *5. ontrer que si a= e 2i, f a, 0 est la réflexion par rapport à la droite passant par 0, et qui fait un angle avec l axe des x (cf. figure 18.8) 0 = 0 = 2 0 x Figure 18.8 6. ontrer que si une isométrie fixe exactement un point, c est une rotation (on peut choisir l origine comme ce point fixe, et appliquer les ex. 1, 4 et 5). *7. ontrer qu une rotation est un produit de deux réflexions (utiliser l ex. 5). 8. ontrer qu une isométrie est une translation si et seulement si elle est de la forme f 1, b. Soit t l ensemble des translations. ontrer que t est un sous-groupe normal de i, isomorphe au groupe C additif. *9. ontrer qu un déplacement soit a au moins un point fixe, soit est une translation (résoudre l équation z f a, b (z)). En déduire que d {rotations} {translations}. 10. ontrer que le produit de deux isométries qui ne sont pas des déplacements est un déplacement. 162
Exercices non résolus 11. ontrer qu une translation est un produit de deux réflexions (cf. figure 18.9). K P H HP v H K PK 2 HK 2v Figure 18.9 *12. Soit f une isométrie qui n est pas un déplacement. ontrer que c est un produit t r, où t est une translation et r une réflexion (utiliser la preuve du th. 18.8). Soit v le vecteur de la translation t, la droite des points fixes de r, v w u, où w (resp. u ) est perpendiculaire (resp. parallèle) à, et la droite décrite dans la figure 18.10 u v w ontrer que t t Figure 18.10 t, où t (resp. t ) est la translation de vecteur u (resp. w ). 163
Utiliser l exercice 11 pour montrer que t r r, où r est la symétrie par rapport à En déduire que f est la transflexion de droite et vecteur u. *13. Le groupe diédral d ordre n est n f a,0 a n 1 f a,0 an 1.. ontrer que c est un sous-groupe de i 0, de cardinalité 2n. ontrer que si n 2, n est l ensemble des isométries f telles que f E E, où E est l ensemble des racines n-èmes de l unité (montrer d abord que f 0 0 ). 14. ontrer que i admet d comme sous-groupe normal d indice deux et que i / d est isomorphe à Z /2Z. *15. Trouver tous les éléments d ordre fini dans i. 164