L essentiel des mathématiques du CO au collège ( 2 e ) Le but de ce document est de mettre en lumière les connaissances de base en mathématiques que tout élève gymnasial (standard ou idéal?) de 3 e année devrait posséder dans «sa boîte à outil personnelle de mathématiques». Les notions clés de chaque degré sont signalées en rouge! 7 E (OU 9 E SELON LE SYSTEME DE NUMEROTATION AH 1 ) Nombres. Développer le sens des nombres : écritures variées (décompositions, ) Vocabulaire. Comprendre et savoir utiliser les termes : chiffre, nombre, écriture décimale, somme, différence, termes, produit, facteurs, quotient, reste, diviseur, division avec reste, multiple, un nombre premier, un nombre composé, le PGCD, le PPCM, dénominateur, numérateur, N. Théorème fondamental de l arithmétique. (TFA) Tout entier naturel > 1 se décompose en un produit de facteurs premiers de manière unique (à l ordre prés). Ce résultat permet de justifier comment obtenir le PGCD et PPCM à l aide des décompositions. Connaître et savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3 et 5 (voir 7, 9 & 11). Z. Définition. Deux nombres sont opposés si leur somme égale 0. Soustraire un nombre est équivalent à additionner son opposé. Technique. Savoir addition et soustraire des nombres entiers relatifs et savoir représenter ces nombres et représenter ces opérations sur une droite numérique! D. Définition. Un nombre est décimal s il admet une écriture décimale finie. Technique. Savoir additionner, soustraire et multiplier des nombres décimaux (positifs) Q. Définition. Une fraction (ou nombre rationnel) est un quotient de deux nombres entiers. Elle est irréductible si 1 = PGCD(numérateur, dénominateur) Technique. Savoir convertir dans des cas élémentaires : écriture fractionnaire ß à décimale Savoir additionner et soustraire des nombres rationnels usuels (positifs) R. Signaler l existence de! et 2 (par exemple) et la spécificité de leur écriture décimale. Illustrations géométriques des propriétés de base d un anneau commutatif Effectuer du calcul réfléchi nécessitant la commutativité, l associativité et la distributivité. Résoudre des problèmes «à trou». Initier à la résolution d équations. Résolutions «à rebours». Illustrer différents types de liens fonctionnels (modélisation du changement) par des exemples Connaître et savoir utiliser la fraction comme opérateur (prendre une fraction de ) Résoudre par un tableau de proportionnalité un problème «direct» et «indirect». Savoir représenter graphiquement une situation de proportionnalité sur un repère orthonormé. Distinguer le monde euclidien (idéal) du monde réel (des sens) Vocabulaire. Comprendre et savoir utiliser les termes : croquis, figure, point, droite, plan, segments, concourants, disjoints, parallèles, perpendiculaires, isométriques, longueur, angles aiguë, obtus, complémentaires, supplémentaires, médiatrice, bissectrice, axe et centre de symétrie. Technique. Connaître et savoir utiliser les propriété de base des angles opposés par le sommet, alternes-internes (ou externes), correspondants pour résoudre des problèmes de géométrie Théorème. La somme des angles de tout triangle (euclidien) mesure 180 (ou π radians, 1 e gymnasiale) et avoir vu au moins une preuve à la Pythagore du théorème précédent. Grandeurs et Mesures () Vocabulaire. Savoir définir et connaître les propriétés des carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, triangle équilatéral, isocèle, scalène, rectangle, polygone régulier, Technique. Savoir calculer l aire et le périmètre des objets ci-dessus. Retrouver une dimension manquante d une figure dont on connaît son aire ou son périmètre. Effectuer des transformations d unités (de longueur, d aire ou de temps) si nécessaire. 1 Après Harmos
8 E (OU 10 E SELON LE SYSTEME DE NUMEROTATION AH 2 ) Nombres. La maîtrise des nombres rationnels (sous tous ses aspects) Vocabulaire. Comprendre et savoir utiliser les termes : opération commutative, associative, base, puissance, exposant, racine (carrée, cubique), nombres rationnels, rapport, gradeurs proportionnelles, fonction linéaire, N. Rappeler que TFA permet d obtenir le PGCD et PPCM de deux entiers, de dénombrer les diviseurs d un entier sans devoir les énumérer, qu il garantit l unicité d écriture d une fraction irréductible (à une unité près). Utiliser la commutativité et l associativité de la multiplication pour justifier les propriété des puissances : a m! a n = a n+m ( ) n = a m!n et a m!b m = (a!b) m ; a m Z. Propriété. -a = opposé(a) = (-1) a d où (-1) [(-1)]= opposé(-1) = +1 Technique. Savoir effectuer du calcul réfléchi (additionner, soustraire et multiplier) des nombres entiers relatifs Q. Définition. Un nombre est rationnel s il admet une écriture sous la forme d un quotient de deux nombres entiers. Deux nombres sont inverses si leur produit égale à 1. Diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse. Théorème. L ensemble des rationnels forme un corps (terme à comprendre en 2 e gymnasial) Théorème. Un nombre est rationnel son écriture décimale est périodique ou finie Illustrations géométriques commutatif distributivité). Insister fait que la un Initiation des propriétés de base d un anneau (commutativité, associativité, (géométriquement & numériquement) sur a!b + a!c = a!(b + c) puisque c est elle qui justifie le somme (ou différence) de deux multiples de a est encore multiple de a. En particulier, pourquoi 2x + 3x = 2! x + 3! x = (2 + 3)! x = 5x. à la résolution d équati ons : les mots équation, équations équivalentes, ensemble des solutions, inconnues, résoudre prennent un sens précis et sont utilisés judicieusement. À retenir le principe de base : «agir d une manière globale et pareille sur les deux membres de l égalité» La proportionnalité Illustrer différents types de liens fonctionnels (modélisation du changement) par des exemples Connaître et savoir utiliser la fraction comme opérateur (prendre une fraction de ) Résoudre par un tableau de proportionnalité un problème «direct» et «indirect». Savoir représenter graphiquement une situation de proportionnalité sur un repère orthonormé. Vocabulaire. iouh Technique. ioi Grandeurs et Mesures Vocabulaire. km Technique. oij 2 Après Harmos
9 E (OU 11 E SELON LE SYSTEME DE NUMEROTATION AH) Nombres. Vocabulaire et notations. Comprendre et savoir utiliser les notations ensemblistes :! ; " ; # ; $ ;!; "; # ; S = { };... Donner des définitions rigoureuses des nombres ci-dessus et être à même de les identifier. Comprendre et savoir utiliser les termes : commutativité, associativité, distributivité et éléments neutres. Connaître les définitions et savoir utiliser les mots : conjecture et théorème Connaître quelques conjectures célèbres : infinité des premiers jumeaux, Goldbach, 3n+1 (Collatz) Définition. 0 est le neutre additif et deux nombres sont opposés si leur somme est 0 1 est le neutre multiplicatif et des nombres sont inverses si leur produit égale 1. Technique. Savoir effectuer du calcul réfléchi nécessitant la maîtrise des identités remarquables et des propriétés de base d un corps. Sensibilisation à la factorisation de Fermat. Q. Utiliser la commutativité et l associativité de la multiplication pour justifier les propriété des puissances : a -n = inverse(a n ) = 1 / a n, a m! a n = a n+m ( ) n = a m!n ; a m!b m = (a!b) m ; a n /a m =a n-m. ; a m R. Définition. Un nombre est réel s il peut être approché arbitrairement près par un rationnel. Un nombre est irrationnel s il ne peut s écrire sous la forme d un quotient de deux entiers. Technique. Connaître et savoir exploiter la propriété a b = a b (en particulier, savoir déduire que le produit de deux irrationnels n est pas forcément un rationnel) Vocabulaire. Identité, équations équivalentes, monôme, monômes semblables, polynôme, inconnue paramètre, équation, solution, résoudre, Maîtriser les identités remarquables (savoir développer, factoriser, réduire des expressions littérales) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; a 2! b 2 = (a! b)(a + b) et (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab dans le but de savoir résoudre des problèmes du type : «Quels sont tous les triangles rectangles dont les longueurs sont trois nombres consécutifs?». Être à même de mobiliser l algèbre pour résoudre un problème nécessitant la résolution d un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Eventuellement, une sensibilisation à la méthode de complétion du carré. Savoir reconnaître et résoudre des situations de proportionnalité, de proportionnalité des écarts et de proportionnalité inverse. Modéliser ces dernières situations par des fonctions linéaires, affines ou inverses. Savoir représenter graphiquement ces dernières fonctions. Savoir qu un théorème admet des hypothèses (conditions qui doivent être vérifiées) et une conclusion. Comprendre et savoir énoncer sa contraposée et sa réciproque (qui peut être fausse). Théorème de Pythagore. Si un triangle 3 est rectangle en C, alors c 2 = a 2 + b 2. La contraposée de Pythagore. Si c 2 a 2 + b 2 alors le triangle n est pas rectangle en C. La réciproque de Pythagore. Si c 2 = a 2 + b 2 alors le triangle est rectangle en C. Théorème de Thalès. Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés homologues (ou correspondants) sont proportionnels La réciproque de Thalès. Si deux triangles ont des côtés proportionnels alors ils sont semblables. Connaître et savoir utiliser les 3 cas d isométrie des triangles pour démontrer des théorèmes élémentaires de géométrie euclidienne. Grandeurs & mesures Technique. Savoir calculer l aire extérieure et le volume d un cône, d une pyramide (en mobilisant si nécessaire le thm. de Pythagore) et d une boule. 3 Codification classique du triangle : sommet A, angle α, opposé au côté de long. a.
1 E (INDEPENDAMMENT DU SYSTEME DE NUMEROTATION) D une manière générale : reparcourir le programme de 9 e (11 e ) en exigeant davantage au niveau de la logique, de la technique, de l explication des concepts en jeu, de la démonstration Nombres. Vocabulaire et notations. Comprendre et savoir utiliser les notations ensemblistes :! ; " ; # ; $ ;!; "; # ; S = { };... Technique. Savoir calculer avec un minimum d aisance dans!, ", # et $. Dans N. Initier à l algorithme d Euclide dans le but de déterminer le PGCD, le PPCM, dénombrer des identifier des nombres parfaits Initier au raisonnement par l absurde pour 2!! diviseurs, montrer que Bien maîtriser la méthode de le but de savoir résoudre des (de différentes manières et non classique) complétion du carré, dans équations du 2 e degré aisément toujours par la même formule Savoir reconnaître et modélisation par des quadratiques, résoudre des situations nécessitant une fonction classiques (linéaires, affines, inverses, ) Connaître et savoir énoncer et mobiliser (si nécessaire pour la résolution d un problème) les théorème de Pythagore, de Thalès, de l angle au centre et l angle, l interception de mêmes arcs Trigonométrie dans le triangle rectangle. Savoir démontrer des théorèmes classiques de géométrie euclidienne par une axiomatique élémentaire.
2 E (INDEPENDAMMENT DU SYSTEME DE NUMEROTATION) Initiation au dénombrement. Initier au raisonnement par récurrence : compter le nombre de sous-ensembles d un ensemble de cardinalité n, compter le nombre de permutations de n éléments (distincts), le nombre d arrangements, Algèbre + Fonctions Etude des fonctions polynomiales.![x] forme un anneau euclidien. Théorème. Si un polynôme p(x) s annule en a alors p(x)=(x-a)q(x). Corollaire. Le nombre de racines d un polynôme de degré n est au plus égal à n. Etude des fonctions rationnelles.!( x) le corps des «fractions rationnelles». Etude des fonctions trigonométriques. Savoir définir les fonctions sin(x) et cos(x) + déduire leurs propriétés de base : 2π-périodiques, dont l ensemble image est [-1 ;+1], leurs zéros, (Pythagore) sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Déf. tan(x) = sin(x) / cos(x) admet comme domaine de définition! \{k!} et est π-périodique Savoir résoudre des équations trigonométriques élémentaires Formules d additions : sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) et cos(a + b) = cos(a)cos(b)! sin(a)sin(b) Etude des fonctions exponentielles et logarithmiques. Déf. a x = exp a (x), pour x!! (et sa prolongation à! ) propriétés de base : si a > 1 fonction strictement croissante et bijective de!!! +* (isomorphisme de groupe) exp a (x + y) = exp a (x) exp a (y) Déf. log a (x) est la fonction réciproque de exp a (x) d où log a (exp a (x)) = x si x!! et exp a (log a (x)) = x pour x!! + * ou avec d autres notations : a log a ( x) = x et log a (a x ) = x. La fonction log a (pour a>1) est une bijection (de! + *!! ), strictement croissante (continue). Etude des inéquations Savoir résoudre une inéquation faisant intervenir des fonctions rationnelles (annuler l un des membre, mettre au même dénominateur, factoriser un max afin de déterminer le domaine de définition, d identifier les zéros, réaliser un tableau des signes, ) Structures algébriques. Initier aux structures algébriques de base. Groupes, anneaux, corps, Travailler sur des exemples de sous-groupes finis de transformations homographiques (pour la composition de fonctions). Etudier![ 2] (s intéresser à ses lois internes + ; ; ses unités ; )