Eo7 Fonctions usuelles Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Eercice **I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Soit f une fonction dérivable sur R à valeurs dans R. Montrer que si f est paire, f est impaire et si f est impaire, f est paire.. Soient n N et f une fonction n fois dérivable sur R à valeurs dans R. f (n) désignant la dérivée n-ième de f, montrer que si f est paire, f (n) est paire si n est pair et impaire si n est impair.. Soit f une fonction continue sur R à valeurs dans R. A-t-on des résultats analogues concernant les primitives de f?. Reprendre les questions précédentes en remplaçant la condition «f est paire (ou impaire)» par la condition «f est T -périodique». [00097] Eercice ** Trouver la plus grande valeur de n n, n N. [0009] Eercice **I. Etudier brièvement la fontion ln et tracer son graphe.. Trouver tous les couples (a,b) d entiers naturels non nuls et distincts vérifiant a b = b a. [00099] Eercice Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes :. ( ) ln + ln + ln,. ( ) =,. ( ) Argsh = Argch Argth 7 9,. ( ) ln (0) + ln 0 (0) + ln 00 (0) = 0,. ( ) = +. [0000] Eercice ** Trouver lim + ( ) ( ). [000] Eercice 6 Construire le graphe des fonctions suivantes :
. (*) f () = + +.. (**) f () = ln(ch).. (***) f () = +.. (**) f () = tan + cos.. (***) f () = ( + ) (à étudier sur ]0,+ [). 6. (**) f 6 () = log ( log ( + 6)). [000] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr
Correction de l eercice. Soit f une fonction dérivable sur R à valeurs dans R. Si f est paire, alors, pour tout réel, f ( ) = f (). En dérivant cette égalité, on obtient R, f ( ) = f (), et donc f est impaire. De même, si f est impaire, pour tout réel, on a f ( ) = f (), et par dérivation on obtient pour tout réel, f ( ) = f (). f est donc paire. ( f paire f impaire) et ( f impaire f paire.). Soient n N et f une fonction n fois dérivable sur R à valeurs dans R. Supposons f paire. Par suite, pour tout réel, f ( ) = f (). Immédiatement par récurrence, on a R, f (n) ( ) = ( ) n f (). Ceci montre que f (n) a la parité de n, c est-à-dire que f (n) est une fonction paire quand n est un entier pair et est une fonction impaire quand n est un entier impair. De même, si f est impaire et n fois dérivable sur R, f (n) a la parité contraire de celle de n.. Soit f une fonction continue sur R et impaire et F une primitive de f. Montrons que F est paire. Pour réel, posons g() = F() F( ). g est dérivable sur R et pour tout réel, g () = F () + F ( ) = f () + f ( ) = 0. g est donc constante sur R et par suite, pour tout réel, g() = g(0) = F(0) F(0) = 0. Ainsi, g est la fonction nulle et donc, pour tout réel, F() = F( ). On a montré que F est paire. Par contre, si f est paire, F n est pas nécessairement impaire. Par eemple, la fonction f : est paire, mais F : + est une primitive de f qui n est pas impaire.. On montre aisément en dérivant une ou plusieurs fois l égalité : R, f (+T ) = f (), que les dérivées successives d une fonction T -périodique sont T -périodiques. Par contre, il n en est pas de même des primitives. Par eemple, si pour tout réel, f () = cos = ( + cos()), f est π-périodique, mais la fonction F : + sin(), qui est une primitive de f sur R, n est pas π-périodique ni même périodique tout court. Correction de l eercice Pour n N, posons u n = n n puis, pour réel strictement positif, f () = / de sorte que pour tout naturel non nul n, on a u n = f (n). f est définie sur ]0,+ [ et pour > 0, f () = e ln/. f est dérivable sur ]0,+ [ et pour > 0, f () = ln e ln/. Pour > 0, f () est du signe de ln et donc f est strictement positive sur ]0,e[ et strictement négative sur ]e, + [. f est donc strictement croissante sur ]0, e] et strictement décroissante sur [e, + [. En particulier, pour n, u n = f (n) f () = u =. Comme u = > = u, on a donc Ma{u n, n N } = Ma{, }. Enfin, =,... <,.. = (on peut aussi constater que ( ) 6 = < 9 = ( ) 6 ). Finalement, Ma{ n n, n N } = =,...
Correction de l eercice. Pour > 0, posons f () = ln. f est définie et dérivable sur ]0,+ [ et, pour > 0, f () = ln. f est donc strictement croissante sur ]0, e] et strictement décroissante sur [e, + [. Le graphe de f s en déduit facilement : e e. Soient a et b deu entiers naturels non nuls tels que a < b. On a alors a b = b a ln(a b ) = ln(b a ) blna = alnb lna a = lnb b f (a) = f (b). Si a, puisque f est strictement décroissante sur [e,+ [, on a alors f (a) > f (b) et en particulier, f (a) f (b). a n est donc pas solution. a = n est évidemment pas solution. Par eemple, a b = b a b = b b = = a ce qui est eclu. Donc, nécessairement a = et b est un entier supérieur ou égal à, et donc à e, vérifiant f (b) = f (). Comme f est strictement décroissante sur [e,+ [, l équation f (b) = f () a au plus une solution dans [e,+ [. Enfin, comme = 6 =, on a montré que : il eiste un et un seul couple (a,b) d entiers naturels non nuls tel que a < b et a b = b a, à savoir (,). Correction de l eercice. Soit R, ln + ln + ln ln + + ln + + et + 0 + + et + + + 0 et + 0 et + + 0 et 0 et ( + ] +, ] ] [) (],+ et, ] ], [, ] [ [,+ [ [ [),+ et. Pour > 0 = ln = ln ln( ) = 0 ln ( ) = 0 = ou =.
. Argch = ln( + ) = ln( + ( ) et Argth 7 9 = ln + 7 ) 9 = ln. Donc, Argch Argth 7 7 9 ( = 9 ln + ). Par suite, Argsh = Argch Argth 7 9 = sh ( ln ( + )). Pour ]0,+ [\ { 00, 0,}, = = + ( + = ) = + = + + ( ). ln (0) + ln 0 (0) + ln 00 (0) = 0 ln(0) ln + ln(0) ln(0) + ln(0) ln(00) = 0 (ln + ln(0))(ln + ln(0)) + ln(ln + ln(0)) + ln(ln + ln(0)) = 0 ln(ln + ln(0))(ln + ln(0)) 6ln + 0ln(0) ln + ln (0) = 0 ln(0) + ln (0) ln, ln(0) ln (0) 6 6 { } 0 ( )/6,0 ( + )/6. Comme aucun de ces deu nombres n est dans { { } 00, 0,}, S = 0 ( )/6,0 ( + )/6.. Soit R. = + + = + + ( + ) = ( + ) = ( = ( )ln = ) ln = ln ln ln ln =. Correction de l eercice Pour > 0, ( ) = e ln() = e ln et () = e ln. Par suite, > 0, ( ) ( ) = ep(ln( )). Or, = ( ) = e ln ( e ( )ln ). Quand tend vers +, ( )ln tend vers. Donc, e ( )ln tend vers puis tend vers. Mais alors, ln( ) tend vers, puis ( ) ( ) = ep(ln( )) tend vers 0. lim + ( ) ( ) = 0.
Correction de l eercice 6 On notera C i le graphe de f i.. f est définie et continue sur R, dérivable sur R \ {, }. On précise dans un tableau l epression de f () suivant les valeurs de. On en déduit C. / + + + + + + f () 6 7 6 y = 6 y = y =. Soit R. ch et donc f () eiste et f () 0. f est donc définie sur R. De plus, f est continue et dérivable sur R, paire. Puisque la fonction ch est strictement croissante sur R + à valeurs dans ]0,+ [ et que la fonction ln est strictement croissante sur ]0,+ [, f est strictement croissante sur R + et, par parité, strictement décroissante sur R. f est paire et donc f est impaire. Par suite, f (0) = 0 et C admet l ae des abscisses pour tangente en (0, f (0)) = (0,0). Etude en +. Pour 0, ( ) f () = ln (e + e )) = ln(e + e ln = ln(e ( + e )) ln = ln + ln( + e ). Quand tend vers +, e tend vers 0 et donc, ln(+e ) tend vers 0. On en déduit que lim + f () = +. De plus, lim + ( f () ( ln)) = 0 et la droite (D) d équation y = ln est asymptote à C en +. Par symétrie par rapport à la droite (Oy), la droite (D ) d équation y = ln est asymptote à C en. Enfin, pour tout réel, f () ( ln) = ln( + e ) > ln = 0, et C est strictement au-dessus de (D) sur R. De même, C est strictement au-dessus de (D ) sur R. On en déduit C. 6
. f est définie et continue sur R, dérivable sur R \ {,}. Etude en. Soit. f () = + = ( + )( ) =. Or, quand tend vers, tend vers et donc lim f () = 0. Etude en +. Immédiatement, lim + f () = +. Ensuite, pour, f () = + qui tend vers quand tend vers +. Mais alors, = +, f () = + = ( + )( ) = +. On en déduit que lim + ( f () ) = 0 et donc que la droite (D) d équation y = est asymptote à C en +. Etude en. Pour >, et pour ],[, f () f () = ( ) + ( )( + ) = + +, f () f () = ( ) + ( + )( + ) ( + ) = + +. f Par suite, lim () f () f, > = + et lim () f (), < =. On en déduit que f n est pas dérivable en, mais que C admet deu demi-tangentes parallèles à (Oy) au point de C d abscisse. Les résultats sont analogues en. Etude des variations de f. Pour ], [ ],+ [, f () = + et donc f () = + = +. Si >, on a + > 0 et donc, f () > 0. Si <, on a < = =, et donc, + < 0 puis f () < 0. Ainsi, f est strictement décroissante sur ], [ et strictement croissante sur ],+ [. Pour ],[, f () = + + et donc f () = + = + +. 7
Si ],0], on a clairement f () > 0. Si [0,[, par stricte croissance de la fonction sur R +, on a sgn( f ()) = sgn( + ) = sgn(( +) ) = sgn( ) = sgn(( )(+ )) = sgn[ ). ] [ Donc, f [0, est strictement positive sur [, strictement négative sur, et s annule en. En ] [ [ résumé, f est strictement négative sur ], [ et sur, et strictement positive sur ], et [ [ sur ],+ [. f est donc strictement croissante sur ], ] et sur, et strictement décroissante sur ] [, et sur [,+ [. On en déduit C. y =. f est définie sur R \ ( π + πz), π-périodique et paire. On étudie donc f sur [ 0, π [ ] π,π]. Etude des variations de f. Pour [ 0, π [, f () = tan + cos et donc, f () = cos sin = 0, avec égalité si et seulement si sin = cos = ce qui est impossible. Donc, f est strictement positive sur [ 0, π [ et f est strictement croissante sur [ 0, π [ ]. Pour π,π], f () = tan + cos et f est strictement décroissante sur ] π ],π] en tant que somme de deu fonctions strictement décroissantes sur π,π]. On a immédiatement lim f π () = lim f π () = +. On en déduit C. < π > π π π π π 7 6 6 7
. Soit > 0. n est pas nul donc eiste puis + > 0 et f 6() eiste. Etude en 0. Pour > 0, ln( + ) = ln + ln( + ). Par suite, ln( + ) tend vers 0 quand tend vers 0 par valeurs supérieures et donc f () = ep(ln( + )) tend vers. Posons encore f (0) = et étudions la dérivabilité de f en 0. Pour > 0, f () f (0) 0 = (ep(ln( + )) ) Or, ln ( + ) tend vers 0 quand tend vers 0, et donc lim 0 >0 = ep( ln( + )) ( ln ( + ) ln + ). ep(ln ( + )) ln ( e y + ) = lim =. y 0 y D autre part, ln ( + ) tend vers + quand tend vers 0 par valeurs supérieures. Finalement, f () f (0) lim = +. 0 0 >0 Ainsi, f n est pas dérivable en 0 mais C admet l ae des ordonnées pour tangente en (0, f (0)) = (0,). Etude en +. Pour > 0, ln ( + ) ln(+ = ) et donc lim + ln ( + ) = ln(+y) limy 0 y =. Par suite, lim f () = e. + Etude des variations de f. Pour > 0, f () > 0 puis ln( f ()) = ln( + ). Par suite, pour > 0, ( ( f () = f ()ln( f ) () = f () ln + ) + ( ) ) + = f ()g(), où g() = ln ( + ) +. Sur ]0,+ [, f est du signe de g. Pour déterminer le signe de g, étudions d abord les variations de g sur ]0,+ [. g est dérivable sur ]0,+ [ et pour > 0, g () = + + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) < 0. g est donc strictement décroissante sur ]0,+ [, et puisque lim + g() = 0, g est strictement positive sur ]0,+ [. Il en est de même de f. f est strictement croissante sur ]0,+ (. On en déduit C. e 6. Domaine de définition de f 6. Soit R. 6 7 f 6 () eiste + 6 > 0 et log ( + 6) > 0 + 6 > 0 et ln( + 6) ln < + 6 > 0 et ln( + 6) > ln + 6 > + > 0 ], [ ] +,+ [= D f. 9
Variations de f 6. La fonction + 6 est strictement décroissante sur ], ] et strictement croissante sur [,+ [. Comme + > et que ] ] < [, la fonction + 6 est strictement décroissante sur, [ et strictement croissante sur +,+, à valeurs dans ]0,+ [, intervalle sur lequel la fonction logarithme néperien est strictement croissante. La fonction + ln( +6) a ] le même sens de variations et finalement f 6 est strictement décroissante sur [ [ croissante sur +,+ ( ) + 6 = + 6. Par suite,, ] ln et strictement. Ae de symétrie Soit R. D f D f et de plus, ( ) D, f 6 ( ) = f 6(). C 6 admet donc la droite d équation = pour ae de symétrie. Le calcul des limites étant immédiat, on en déduit C 6. 7 6 6 0