Programme de colle : semaines 1/2 Séries numériques I. Généralités 1) Dénitions Somme partielle d'une série, convergence, divergence. Divergence grossière. Reste d'une série convergente, limite du reste. 2) Comparaison somme partielle intégrale Encadrement d'une somme partielle. Applications : équivalent de somme partielle, convergence de séries. 3) Opérations sur les séries Addition de deux séries (convergente-convergente et convergente-divergente). Multiplication par un scalaire. 4) Séries de référence Série géométrique. Série télescopique (ou lien suite-série). Série exponentielle. Séries de Riemann. II. Critères de convergence pour les séries à termes positifs 1) Théorème de comparaison Versions :, o, O. L'énoncé est une implication. Version. L'énoncé est une équivalence. 2) Règle de D'Alembert III. Convergence absolue 1) Généralités Lien avec la convergence. 2) Produit de Cauchy IV. Séries alternées 1) Critère spécial pour les séries alternées Convergence de la série. Propriétés du reste : signe et inégalité. 2) Exemples de développements asymptotiques V. Compléments 1) Constante d'euler 2) Formule de Stirling
Programme de colle : semaines 3/4 I. Fonctions continues par morceaux 1) Dénition Sur un segment. Sur un intervalle. Intégrales généralisées 2) Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Propriétés. II. Intégrales généralisées 1) Intégrales généralisées sur [a, + [ 2) Intégrales généralisées sur tout type d'intervalle Dénitions. La convergence ne dépend pas de la borne "sans problème". Cas des fonctions prolongeables par continuité. 3) Intégrales de références 1 0 dt t α, 4) Propriétés des intégrales généralisées + 1 dt t α, 1 0 ln(t)dt, + 0 e αt dt Sous réserve de convergence. Linéarité, relation de Chasles, croissance. Application au calcul d'intégrale de fractions rationnelles. III. Fonctions intégrables 1) Convergence absolue des intégrales Lien avec la convergence, inégalité triangulaire. 2) Fonctions intégrables 3) Théorème de comparaison Versions :, o, O. L'énoncé est une implication. Version. L'énoncé est une équivalence. 4) Exemple d'intégrale semi-convergente IV. Méthode de calcul d'intégrales 1) Primitive 2) Intégration par parties Enoncé. Application au calcul d'intégrale par récurrence. 3) Changement de variable
Programme de colle : semaines 5/6 Algèbre linéaire I. Espaces vectoriels 1) Produit d'espaces vectoriels Dénition Dimension 2) Somme d'espaces vectoriels Dénition d'une somme, d'une somme directe. Caractérisation d'une somme directe. 3) Somme directe et dimension Dimension d'une somme (inégalité), d'une somme directe (égalité). Base adaptée à une décomposition en somme directe. 4) Supplémentaire II. Matrices 1) Matrices semblables Lien avec le rang, calcul de puissances. 2) Trace Propriétés (linéarité, trace d'un produit, d'une transposée, conservation de la trace par similitude). 3) Matrices par blocs Opérations matricielles. III. Déterminants 1) Déterminants de référence Déterminant de Van Der Monde. Déterminants tridiagonaux. Déterminants de matrices compagnons. 2) Déterminants abstraits 3) Déterminants de matrices par blocs IV. Endomorphismes 1) Représentation matricielles Interprétation de la similitude en terme de changement de base. Dénition de la trace d'un endomorphisme. 2) Espaces stables Dénition, exemples. Notion d'endomorphisme induit. Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée à un espace stable.
Programme de colle : semaines 5/6 Algèbre linéaire I. Espaces vectoriels 1) Produit d'espaces vectoriels Dénition Dimension 2) Somme d'espaces vectoriels Dénition d'une somme, d'une somme directe. Caractérisation d'une somme directe. 3) Somme directe et dimension Dimension d'une somme (inégalité), d'une somme directe (égalité). Base adaptée à une décomposition en somme directe. 4) Supplémentaire II. Matrices 1) Matrices semblables Lien avec le rang, calcul de puissances. 2) Trace Propriétés (linéarité, trace d'un produit, d'une transposée, conservation de la trace par similitude). 3) Matrices par blocs Opérations matricielles. III. Déterminants 1) Déterminants de référence Déterminant de Van Der Monde. Déterminants tridiagonaux. Déterminants de matrices compagnons. 2) Déterminants abstraits 3) Déterminants de matrices par blocs IV. Endomorphismes 1) Représentation matricielles Interprétation de la similitude en terme de changement de base. Dénition de la trace d'un endomorphisme. 2) Espaces stables Dénition, exemples. Notion d'endomorphisme induit. Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée à un espace stable.
Programme de colle : semaines 7/8 Probabilités I. Espaces probabilisés 1) Ensemble dénombrables 2) Espaces probabilisés Dénition d'une tribu. Dénition d'une probabilité. Règles de calcul ( réunion croissante, intersection décroissante,...) II. Conditionnement 1) Probabilité conditionnelle 2) Formule des probabilités composées 3) Formule des probabilités totales 4) Formule de Bayes III. Indépendance 1) Evénements indépendants 2) Evénements mutuellement indépendants IV. Quelques situations classiques 1) Equiprobabilité 2) Succession d'événements non indépendants 3) Evénements non chronologiques 4) Pile ou face innie 5) Evénements non chronologiques
Programme de colle : semaines 9/10 Suites et séries de fonctions I. Modes de convergences d'une suite de fonctions 1) Convergence simple d'une suite de fonctions 2) Convergence uniforme d'une suite de fonctions Convergence uniforme sur un intervalle. Convergence uniforme sur tout segment d'un intervalle. 3) Liens entre les modes de convergence II. Propriétés de la limite d'une suite de fonctions 1) Continuité 2) Dérivation Théorème de dérivation, version C 1. Théorème de dérivation, version C k, k 2. 3) Intégration Intervertion des symboles limite et intégrale par convergence uniforme sur un segment. III. Modes de convergences d'une série de fonctions 1) Convergence simple d'une série de fonctions 2) Convergence uniforme d'une série de fonctions Convergence uniforme sur un intervalle. Convergence uniforme sur tout segment d'un intervalle. 3) Convergence normale d'une série de fonctions Convergence normale sur un intervalle. Deux méthodes pour démontrer la convergence normale : la dénition, le théorème de domination. Convergence normale sur tout segment d'un intervalle. 4) Liens entre les modes de convergence IV. Propriétés de la limite d'une série de fonctions 1) Continuité 2) Dérivation Théorème de dérivation, version C 1. Théorème de dérivation, version C k, k 2. 3) Exemples d'étude asymptotique Recherche de limite. Recherche d'équivalent. 4) Intégration Intervertion des symboles série et intégrale par convergence uniforme sur un segment.
Programme de colle : semaines 11/12 I. Théorème fondamental de l'analyse II. III. Intégrales à paramètres Suites et séries de fonctions intégrables 1) Intervertion des symboles limite et intégrale Théorème de convergence dominée. Exemples. 2) Intervertion des symboles série et intégrale Théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. Exemples. Fonctions dénies comme intégrales à paramètres 1) Ensemble de dénition. 2) Continuité. 3) Dérivation. Théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, version C 1. Théorèmes de dérivation d'une intégrale à paramètre, version C k, k 2, version C. 4) Exemples d'étude asymptotique Recherche de limite. Recherche d'équivalent.
Programme de colle : semaines 13/14 I. Eléments propres Réduction des endomorphismes 1) Valeurs propres d'un endomorphisme Exemples. Lien avec les espaces stables de dimension 1. 2) Espaces propres d'un endomorphisme Les espaces propres sont en somme directe. 3) Eléments propres d'une matrice Analogue aux endomorphismes. Lien entre les éléments propres d'un endomorphisme et ceux de sa matrice représentative dans une base. II. Polynôme caractéristique 1) Généralités Dénitions pour un endomorphisme, une matrice. Lien entre les deux. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. 2) Lien avec les valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Distinction spectre réel, spectre complexe pour une matrice réelle. 3) Expression du polynôme caractéristique Expression développée, 3 coecients sont connus. Conséquences. 4) Multiplicité d'une valeur propre Dénition III. Diagonalisation Expression factorisée du polynôme caractéristique. Expression de la trace, du déterminant en fonction des valeurs propres. Inégalité avec la dimension de l'espace propre associé. 1) Endomorphismes diagonalisables Dénition et caractérisations. Cas des endomorphismes possédant n valeurs propres distinctes. 2) Matrices diagonalisables Analogue aux endomorphismes. Exemples : matrices à paramètres, matrices de petit rang, matrices par blocs. 3) Diagonalisation IV. Application de la diagonalisation 1) Calcul de puissance 2) Résolution d'équations matricielles 3) Similitude des matrices 4) Calcul de trace, rang, déterminant 5) Résolution de suites récurrentes linéaires d'ordre p, p 3 V. Trigonalisation Uniquement lorsque l'équation caractéristique admet p racines. 1) Généralités Equivlence trigonalisable et χ M scindé. Trigonalisation concrète. 2) Applications Essentiellement les mêmes que pour la diagonalisation
Programme de colle : semaines 15/16 Séries entières I. Convergence d'une série entière 1) Notion de série entière 2) Rayon de convergence d'une série entière 3) Modes de convergence d'une série entière Convergence absolue si z < R, divergence si z > R, incertitude si z = R. Convergence normale sur tout segment de ] R, R[. 4) Méthodes de calcul du rayon de convergence Avec la règle de d'alembert. Avec le théorème de comparaison ( inégalité dans les versions, 0, O et égalité dans la version ) Avec la dénition 5) Opérations sur les séries entières Somme et de produit de Cauchy. Eet sur le rayon de convergence. II. III. Propriétés de la somme 1) Continuité 2) Dérivation Une série entière est C sur ] R, R[. Expressions des dérivées successives. Dériver ne modie pas le rayon de convergence. 3) Coecients Expression. Unicité des coecients. 4) Intégration Intégration terme à terme d'une série entière sur tout segment de ] R, R[. Primitiver ne modie pas le rayon de convergence. 5) Exemple d'études au bord Continuité ou limite d'une série en R ou R. Intégrale d'une série entière sur [0, R]. Fonctions développables en série entière 1) Dénition Développements en série entière de référence. Cas des fractions rationnelles. 2) Développement de Taylor 3) Développement en série entière et équations diérentielles Utiliser un DSE pour résoudre une équation diérentielle. Utiliser une équation diérentielle pour obtenir un DSE. 4) Développement en série entière et suites 5) Développement en série entière de fonctions spéciales Développement en série entière d'une intégrale à paramètre. Développement en série entière d'une série de fonction.
Programme de colle : semaines 17/18 Variables aléatoires discrètes I. Généralités 1) Dénition Dénition d'une variable aléatoire discrète, de sa loi. Notations (X = x), (X x), (X U) La loi est entièrement déterminée par la connaissance des événements élémentaires. 2) Fonction de répartition II. Moments d'une variables aléatoire 1) Espérance Formule de transfert. 2) Variance Formule V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. Ecart-type. Formule V (ax + b) 3) Inégalités classiques Inégalité de Markov. Inégalité de Bienayme-Tchebychev. 4) Fonction génératrice Propriétés (rayon de convergence, valeur en 1) Lien avec l'éspérance et la variance. III. Lois usuelles 1) Loi géométrique Interprétation, fonction génératrice, éspérance, variance. Caractérisation comme loi sans mémoire. 2) Loi de Poisson Interprétation, fonction génératrice, éspérance, variance. Approximation loi de Poisson - loi Binomiale. IV. Couples de variables aléatoires 1) Loi conjointe, lois marginales Loi conditionnelle de X sachant (Y = y). Lien entre elles. 2) Variables aléatoires indépendantes Indépendance mutuelle. 3) Couples et moments Propriétés de l'éspérance (linéarité, positivité, croissance, espérance d'un produit). Variance d'une somme (pour deux ou plus). Covariance, coecient de corrélation. 4) Somme de deux variables aléatoires Fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes. Somme de deux lois de Poisson indépendantes. 5) Loi faible des grands nombres
Programme de colle : semaines 19/20 Endomorphismes d'un espace euclidien 0. Révision du cours de première année sur les espaces euclidiens Dénition du produit scalaire, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz. Bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Expression du produit scalaire, de la norme, des coordonnées dans une BON. F, dénition, dimension. Calcul de projeté orthogonale, de distance. I. Isométries vectorielles 1) Généralités Conservation du produit scalaire. Notation O(E). Opérations (composition, inverse) Caractérisation par l'image d'une BON. 2) Matrices orthogonales Lien avec les isométries vectorielles Notation O n (R), SO n (R). Opérations (produit, inverse) Caractérisation : les colonnes forment une BON, matrice de passage entre BON. II. Endomorphismes symétriques 1) Généralités Un endomorphisme est symétrique ssi sa matrice dans une BON l'est. 2) Etude de t A Noyau et image de t A. Espaces stables de t A. III. Endomorphismes remarquables 1) Rotations du plan Ecriture matricielle. Ecriture complexe. 2) Symétries orthogonales du plan Ecritures matricielles. Equivalence : être une symétrie orthogonale / être une symétrie et être dans O(E). 3) Projections orthogonales IV. Théorème spectral 1) Enoncé Valeurs propres et espaces propres d'une matrice symétrique. Enoncé (versions endomorphisme/matrice). Diagonalisation concrète dans une BON. 2) Applications