Droites remarquables d un triangle

Chapitre 12 Droites remarquables d un triangle Dans ce chapitre, désigne un triangle non aplati et l on pose =, = et =. On note aussi 0, 0, 0 les milieux des segments [ ], [ ] et [ ]. Les mesures dans [0 ] des angles géométriques du triangle sont notées b, b et b. Il est bon de remarquer que l on peut toujours orienter le plan de façon à ce que le triangle soit direct et qu alors b = (!! ), b!! = ( ) et b!! = ( ), où l écriture (!! ) désigne une mesure modulo 2 de l angle orienté formé par les vecteurs! et!. 12.1 Médiatrices On appelle médiatrice du triangle toute médiatrice de l un de ses côtés. Un triangle possède ainsi trois médiatrices, et quand on les trace, elles semblent passer par un même point. C est e ectivement ce que l on peut démontrer : Théorème 12.1 Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. Preuve Soient,, les médiatrices des côtés [ ], [ ], [ ] d un triangle non aplati. Les droites et ne sont pas parallèles, car si elles l étaient, les droites ( ) et ( ) seraient perpendiculaires à une même direction (la direction commune de et ), donc seraient parallèles, et comme elles passent par le même point, elles seraient confondues. C est impossible puisque les points, et ne sont pas alignés. 165

166 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE On peut donc a rmer que et se coupent en un point. La médiatrice d un segment étant l ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment, on aura = et =. Par transitivité de la relation d égalité on obtient =, ce qui prouve que appartient à. A C' B O A' Théorème 12.2 Il existe un et un seul cercle qui passe par les sommets d un triangle. Son centre est le point de concours des médiatrices du triangle. Preuve Raisonnons par analyse-synthèse. Analyse Si un cercle C passe par les sommets,, du triangle, son centre véri e = =, donc appartient aux trois médiatrices du triangle. C est donc le point de concours de ces trois médiatrices, dont l existence a été prouvée au Théorème 12.1. Le rayon de C est nécessairement. Ainsi, si ce cercle C existe, il est unique puisque l on connaît son centre et son rayon. Synthèse Soit le point de concours des médiatrices du triangle. Le cercle C de centre et de rayon contient e ectivement les points, et puisque = =. B' C Dé nition 12.1 L unique cercle passant par les sommets, et du triangle est appelé cercle circonscrit à ce triangle. 12.2 Médianes 12.2.1 Au collège On appelle médiane d un triangle toute droite joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé. Alors : Théorème 12.3 Les trois médianes d un triangle sont concourantes.

12.2. MÉDIANES 167 Preuve Voici deux démonstrations de niveau collège qui utilisent le Théorème de la droite des milieux. La seconde utilise aussi les propriétés des parallélogrammes. Première preuve Soit l intersection des médianes ( 0 ) et ( 0 ). Traçons le symétrique 0 de par rapport à 0. Le quadrilatère 0 est un parallélogramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu. Comme 0 est le milieu de [ ] et comme ( 0 ) ( 0 ), le Théorème de la droite des milieux montre que est le milieu de [ 0 ]. Mais alors, comme ( ) ( 0 ), et comme la droite ( ) passe par le milieu de [ 0 ], ce même théorème montre que ( ) coupe ( ) en 00 milieu de [ ]. Cela montre que appartient à la troisième médiane issue de du triangle. Seconde preuve Soit l intersection des médianes ( 0 ) et ( 0 ). Soit le symétrique de par rapport à. Le Théorème de la droite des milieux montre que ( ) ( 0 ) et ( ) ( 0 ), de sorte que ( ) ( ) et ( ) ( ). Cela montre que le quadrilatère est un parallélogramme. Les diagonales [ ] et [ ] se coupent donc en leur milieu que nous noterons, et appartiendra à la dernière médiane ( ) issue de. A K I G B' B A' C Les deux preuves du Théorème 12.3 que nous venons de donner peuvent être proposées en collège. Elles n ont qu un seul défaut sur lequel on n insistera pas

168 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE devant les élèves : celui d admettre que les médianes ( 0 ) et ( 0 ) se coupent. Cela se voit trop clairement sur la gure pour ne pas être admis en collège. Mais une simple observation n est jamais une preuve, et nous démontrerons tout de suite cette «évidence» pour terminer ce travail : Théorème 12.4 Deux médianes d un triangle sont toujours sécantes. Preuve Utilisons les propriétés fondamentales des demi-plans énoncées au Théorème 15.5. La droite ( 0 ) partage le plan en deux demi-plans ouverts P (contenant ) et P (contenant ). Ces deux demi-plans sont bien di érents, autrement les points et seraient dans un même demi-plan de frontière ( 0 ), et la convexité des demi-plans montrerait que [ ] est aussi inclus dans ce demi-plan ouvert, ce qui est absurde puisque [ ] coupe la frontière en 0. Le milieu 0 de [ ] appartient à la demi-droite ] ) qui est entièrement incluses dans P donc 0 2 P. Finalement 2 P et 0 2 P, donc [ 0 ] coupe la frontière ( 0 ). En fait, la preuve du Théorème 12.4 montre beaucoup plus que la simple existence d un point d intersection des médianes ( 0 ) et ( 0 ). Elle montre que les segments [ 0 ] et [ 0 ] se coupent. On a en e et montré que [ 0 ] coupait la frontière ( 0 ), et en procédant de la même façon on montrerait aussi que [ 0 ] coupe la frontière ( 0 ). Finalement : 0 \ 0 = f g Cela permet de positionner le point sur la droite ( 0 ) entre et 0, et faire de même avec les autres médianes. Cela permet donc d a rmer que est à l intérieur du triangle, si l on sait que l intérieur d un triangle est égal à l ensemble des barycentres à coe cients positifs des sommets du triangle. Dé nition 12.2 L intersection des médianes d un triangle est appelé centre de gravité du triangle. Si l on découpe une tôle homogène suivant un triangle, le point est l endroit exact où placer la pointe d un compas pour que la plaque tienne en équilibre dans l espace, ce qui explique cette dénomination. On sait aussi que est l isobarycentre des points, et. On peut démontrer que : Théorème 12.5 Le centre de gravité d un triangle se trouve au tiers de la base de chaque médiane.

12.2. MÉDIANES 169 Preuve Pour conclure, il su t de regarder les deux gures utilisées dans la preuve du Théorème 12.3 et de rappeler que appartient aux segments [ 0 ], [ 0 ] et [ 0 ] comme on l a vu dans la preuve du Théorème 12.4. Plus précisément, dans la première gure on constate que est milieu de [ 0 ] et que 0 est milieu de [ 0 ]. Comme 2 [ 0 ], on obtient : 0 = 0 2 = 2 et 0 = + 0 = 3 2 d où 0 = 0 3 comme désiré. On peut faire de même dans la seconde gure puisque est milieu de [ ] et est milieu de [ ]. 12.2.2 Autres preuves Voici d autres preuves de l existence du centre de gravité d un triangle a rmé par le Théorème 12.3. A. Projection d une graduation régulière On suppose ici que l on sait que deux médianes d un triangle sont toujours sécantes (Théorème 12.4). Soit l intersection des médianes ( 0 ) et ( 0 ). Soit le milieu de [ ]. Soient et les projetés de et 0 sur ( ) parallèlement à ( 0 ). Le Théorème de la droite des milieux montre que est le milieu de [ 0 ] (utiliser le triangle 0 ) et que est le milieu de [ 0 ] (utiliser le triangle 0 ). Par conséquent = 0 et 0 =. Comme 0 = 0, on déduit que : = 0 = 0 = = 4 La graduation,, 0, de [ ] est donc régulière, et par projection on en déduit que la graduation,,, 0 de [ 0 ] est aussi régulière (ce résultat général se montre en utilisant que le projeté du milieu d un segment est égal

174 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE Muni de la caractérisation donnée par le Théorème 12.7, on peut maintenant démontrer que les médianes sont concourantes en utilisant des aires : Théorème 12.8 Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Preuve On admet ici que deux médianes ( 0 ) et ( 0 ) du triangle sont concourantes en un point situé à l intérieur du triangle (Théorème 12.4). Le Théorème 12.7 montre que A = A et A = A, ce qui entraîne A = A, et le même Théorème 12.7 montre que appartient à la troisième médiane du triangle. Pour terminer, voici un exercice qui se résout facilement dès que l on pense à utiliser des médianes et comparer des aires : Exercice 12.2 Etant donné un triangle, on construit les symétriques 0, 0, 0 respectifs des points,, par rapport aux points,,. Calculer l aire du triangle 0 0 0 en fonction de celle du triangle. Solution Deux triangles de même hauteur et de mêmes bases ont des aires égales. En traçant trois médianes, on obtient la gure (b) ci-dessous où l on dénombre 7 triangles de même aire. Par exemple les triangles 0 et 0 0 ont même aire car de bases 0 et égales, et de même hauteur. Donc A 0 0 0 = 7A. (a) Situation générale (b) Un bon découpage 12.3 Hauteurs On appelle hauteur d un triangle toute droite passant par un sommet et orthogonale au côté opposé. Le Théorème suivant montre que les trois hauteurs d un triangle concourent en un point qui sera appelé l orthocentre du triangle.

12.3. HAUTEURS 175 Théorème 12.9 Les hauteurs d un triangle sont concourantes. Preuve Proposons trois démonstrations. La première utilise un triangle médian et convient en collège, la seconde peut être présentées dès que l on possède la notion de vecteurs, la troisième utilise le produit scalaire. Soit un triangle non aplati. Remarquons que deux hauteurs de ce triangle sont toujours sécantes, car s il existait deux hauteurs parallèles, les supports des côtés sur lesquelles elles tombent seraient parallèles, et le triangle serait aplati, ce qui est faux. M + B A + N + + Première preuve Sur la gure ci-dessus, nous avons tracé les parallèles aux côtés du triangle passant par les sommets opposés. Ces parallèles se coupent en des points distincts, et. Ces points sont distincts, car par exemple si l on avait =, on aurait ( ) = ( ), et la droite ( ) serait parallèle à ( ), absurde. On constate que les hauteurs de sont les médiatrices de. En e et, les quadrilatères et sont des parallélogrammes, donc = = et est le milieu de [ ], et d autre part la hauteur du triangle issue de est perpendiculaire à ( ), donc aussi à ( ) puisque ( ) et ( ) sont parallèles. Cela montre que est perpendiculaire au segment [ ] et passe par son milieu, donc que est la médiatrice de [ ]. On ferait de même avec les autres hauteurs. On sait que les trois médiatrices de sont concourantes (Théorème 12.1), on en déduit que les trois hauteurs de le sont aussi. Deuxième preuve Soit tel que! =! +!! + où désigne le centre du cercle circonscrit au triangle. On a :! =!!! + = 2 0 où 0 est le milieu de [ ]. Cela montre que ( ) est parallèle à ( 0 ), et comme ( 0 ) est la médiatrice du côté [ ], on en déduit que ( ) est perpendiculaire à ( ), donc que appartient à la hauteur issue de. On + C L

176 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE reproduit trois fois ce raisonnement et l on peut a rmer que appartient aux trois hauteurs de. Troisième preuve L identité de Stewart : 8 2 P!! +!! +!! = 0 est facile à démontrer en utilisant la relation de Chasles. Si l on désigne par l intersection des hauteurs du triangle issues de et de, on a évidemment :!!!! = = 0 donc!! = 0 en utilisant l identité de Stewart. Cela prouve que appartient à la dernière hauteur. 12.4 Bissectrices 12.4.1 Au collège Rappelons qu en collège : - la bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure (Dé nition 10.1), - les angles dont on parle sont saillants, et identi és à des secteurs angulaires saillants. Les mesures de ces angles sont comprises entre 0 ± et 180 ±. En collège, on caractérise les points de la bissectrice d un angle par la propriété d équidistance aux deux côtés de l angle, ce qui permet de démontrer que les trois bissectrices d un triangle sont concourantes et justi e la construction du cercle inscrit. Cette démarche permet de démontrer la coucourance des bissectrices intérieures d un triangle de la même façon que l on prouve la concourance des médiatrices. Cette similarité facilite la compréhension et la mémorisation de ces deux résultats et de leurs preuves. Plus précisément, en collège on demandera d énoncer les Théorème 12.10 et 12.11 suivants : Théorème 12.10 Un point appartient à la bissectrice d un angle si, et seulement si, il est à égale distance des côtés de cet angle. Preuve On sous-entend ici que l on ne s intéresse qu aux points situés dans le secteur saillant dé ni par l angle saillant dont on parle, sinon le résultat est faux (Section 10.5.2). On sous-entend aussi qu une bissectrice est une demidroite.

12.4. BISSECTRICES 177 Voici trois preuves possibles : Première méthode La caractérisation provient d une étude plus générale sur les points équidistants de deux droites sécantes, menée à la Section 10.5.2 p. 148, qui aboutit aux Théorèmes 10.8 et 10.9, mais les arguments utilisés ne conviennent pas au niveau collège. Deuxième méthode La preuve du Théorème 10.6 p. 147, qui utilise le Théorème de Pythagore et les propriétés de la symétrie axiale, convient au niveau collège si l on sous-entend que l on ne travaille que dans un secteur angulaire saillant. y D H O H' M x D' Troisième méthode On utilise le cosinus d un angle dé ni à la Section 11.1 p. 153. Soient un point du secteur angulaire saillant [ d ], et 0 les supports des côtés [ ) et [ ) de l angle, et, 0 les projetés orthogonaux de sur les et 0. ² Si est à égale distance de et 0, alors : cos \ = = 0 = cos \ 0 donc \ = \ 0. Comme la somme des angles d un triangle vaut 180 ±, en nous plaçant dans les triangles et 0 on obtient : \ = 90 ± \ = 90 ± \ 0 = \ 0 Finalement \ = \ 0 et sera sur la bissectrice de d. ² Réciproquement, si appartient à la bissectrice alors \ = \ 0, donc \ = \ 0, ce qui entraîne cos \ = cos \ 0 et : = 0 Cela montre que = 0, autrement dit que le point se trouve bien à égale distance des côtés de l angle.

178 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE La troisième méthode indiquée ci-dessus est celle que l on retrouve dans le Nouveau Prisme Maths 4 e (éd. 2011) [31] : Théorème 12.11 Les trois bissectrices d un triangle concourent en un point qui est le centre d un cercle tangent aux côtés du triangle (que l on appelle le cercle inscrit au triangle). Preuve Le raisonnement est simple : si désigne le point d intersection des bissectrices des angles b et b, alors est à égale distance des côtés de ces angles (Théorème 12.10), donc si, et désignent les projetés orthogonaux de sur les droites ( ), ( ) et ( ) : = et = d où = par transitivité de la relation d égalité. Le point est donc à égale distance des droites ( ) et ( ), donc appartient à la bissectrice de l angles b (Théorème 12.10). L énoncé du Théorème 12.11 est imprécis, mais su t en collège où les trois bissectrices d un triangle sont supposées être des bissectrices intérieures. Les collégiens ne disposent que de la notion de bissectrice d un angle saillant, vue comme une droite ou une demi-droite selon le contexte. Dans un triangle, les seules bissectrices qu il sera amené à dessiner seront les bissectrices des angles saillants du triangle, donc des bissectrices intérieures. Dans la preuve du Théorème 12.11, on admet que deux bissectrices intérieures du triangle se coupent en un point situé à l intérieur du triangle. Cela permet de raisonner en se limitant aux seuls points intérieurs du triangle, et se placer dans chacun des trois secteurs saillants dé nis par les angles du triangle, justi ant ainsi l emploi de la caractérisation métrique du Théorème 12.10. La gure suivante montre une activité sur le centre du cercle inscrit tirée du Nouveau Prisme Maths de quatrième [31].

12.4. BISSECTRICES 179 Finalement, la preuve du Théorème 12.11 ne sera complète que si l on prouve que deux bissectrices intérieures d un triangle issues de sommets di érents sont toujours sécantes en un point situé à l intérieur du triangle. Cela sera fait en utilisant des demi-plans au Théorème 12.12 ci-dessous, ou en utilisant des barycentres au Théorème 12.14 : Théorème 12.12 Deux bissectrices intérieures d un triangle sont concourantes en un point situé à l intérieur du triangle. Preuve Utilisons les propriétés des demi-plans (Théorème 15.5). Soit la bissectrice intérieure issue de du triangle. On sait que est l axe de l unique ré exion qui échange les demi-droites [ ) et [ ). On trace ( ) = 0 2 [ ), et apparaît comme une droite qui partage le plan en deux demi-plans ouverts P (contenant ) et P 0 (contenant 0 ).

180 CHAPITRE 12. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE Ces deux demi-plans sont distincts autrement le segment [ 0 ] serait entièrement inclus dans l un des demi-plans de frontière, et ne pourrait pas couper la frontière en le milieu de [ 0 ], ce qui est le cas puisque est, par hypothèse, la médiatrice de [ 0 ]. A A B D A I A B' C On a 2, 0 2 P 0 et 2 [ 0 ) n f g, donc 2 P 0. Il su t maintenant de constater que 2 P 0 et 2 P pour pouvoir a rmer que le segment [ ] coupe la droite-frontière en un point. On montre ensuite que les segments [ ] et [ ] portés par les bissectrices intérieures issues de et de sont sécants. On a tracé ces segments sur le dessin de droite de la page précédente. Les points et sont les intersections des bissectrices avec les côtés opposés. La droite partage le plan en deux demi-plans ouverts P (contenant ) et P (contenant ). Puisque est sur la frontière, la demidroite [ )n f g est incluse dans P, donc 2 [ ] n f g ½ P. Mais alors 2 P et 2 P, donc [ ] coupe la frontière en un unique point. On a donc : [ ] \ = f g Il su t d inverser les rôles de et pour obtenir [ ] \ [ ] = f g. On a montré que les segments [ ] et [ ] étaient sécants en, ce qui implique que est à l intérieur du triangle. En e et l intérieur Int du triangle est l ensemble des barycentres à coe cients positifs des sommets,, du triangle, ce qui revient à l écrire sous la forme : Int = [ [ ] B 2[ ] en utilisant l associativité des barycentres. D A I A I B D B C Dans le même registre, nous pouvons donner une preuve élégante de l existence d une intersection de deux bissectrices d un triangle issues de sommets di érents, qu elles soient intérieures ou extérieures :

12.4. BISSECTRICES 181 Théorème 12.13 Deux bissectrices (intérieures ou extérieures) d un triangle issues de sommets di érents sont toujours sécantes. Preuve Soient et les bissectrices du triangle issues de et. Il peut s agir de bissectrices intérieures ou extérieures : cela n aura aucun e et sur le raisonnement puisqu on utilisera seulement qu une bissectrice d un triangle est une bissectrice d un couple de droites qui sont les supports de deux côtés du triangle. Ces bissectrices sont donc dé nies comme étant les axes des ré exions qui échangent deux de ces supports. La ré exion d axe échange les droites ( ) et ( ), et la ré exion d axe échange les droites ( ) et ( ), donc : ( ) 7! ( ) 7! ( ) Raisonnons par l absurde : si était parallèle à, la composée ± serait une translation telle que ± (( )) = ( ), donc les droites ( ) et ( ) seraient parallèles. C est absurde puisque le triangle n est pas aplati. 12.4.2 Pour les matheux Le développement de la Section 12.4.1 n est pas satisfaisant car demande de préciser les parties du plans où l on travaille. Nous proposons ici un méthode e cace pour déterminer les intersections des bissectrices et en déduire les cercles tangents aux côtés du triangle. Nous utilisons la notion de barycentre, mais il est facile de «maquiller» l exposé en n employant que la notion de vecteurs. Le premier résultat obtenu est : Théorème 12.14 Les trois bissectrices intérieures d un triangle sont concourantes en un point centre d un cercle tangent aux trois côtés du triangle et appelé cercle inscrit dans le triangle. Les coordonnées barycentriques de sont ( ) dans le repère ( ), et le point appartient à l intérieur du triangle. Preuve Soit le pont de coordonnées barycentriques ( ) dans le repère ( ), dé ni par :! = Soient et les points tels que :!! + + + + +! =! + + et! =! + +