Méthodes sur le produit scalaire

Méthodes sur le produit scalaire G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 1 / 32

1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 2 / 32

énoncé 1 Calculer le produit scalaire #» u. #» v #» u = 2, #» v = 3 2, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 4 #» u = 7, #» v = 3, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 2 #» u = 5, #» v = 3, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 2 Calculer le produit scalaire AB. AC AB = 1, AC = 2, et BAC = π 3 AB = 5, AC = 3, et BAC = 3π 4 3 ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Calculer BC. CA G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 4 / 32

1 2 3 6 0-15 2 2 15 2 2 BC. CA = BC CA cos( BC, CA) = CA CB cos Ĉ = 9 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 5 / 32

énoncé 1 Calculer l angle BAC sachant que AB = 2, AC = 6 et AB. AC = 6 2 Soit A( 2; 3), B(1; 1), C( 3; 1), D( 4; 2), E( 1; 3) et F (2; 1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et FDE sont-ils rectangles en C et en E? 3 Soit A( 1; 2), B( 3; 1) et C(1; 3). Calculer AB. AC et en déduire une valeur approchée en radians et en degrés de BAC G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 7 / 32

1 2 3 AB. AC = AB AC cos BAC donc 6 = 12 cos BAC, donc cos BAC = 1 2 et BAC = 120 CA(1; 2) et CB(4; 2) donc CA. CB = 1 4 + ( 2) 2 = 0, donc ABC est rectangle en C Un calcul analogue montre que FDE n est pas rectangle en E. AB( 2, 1), AC(2; 5) AB. AC = 2 2 + ( 1) ( 5) = 1 AB = ( 2) 2 + ( 1) 2 = 5 AC = 2 2 + ( 5) 2 = 29 AB. AC = AB AC cos BAC, d où cos BAC = 1 145 On en déduit que BAC 85, 24 1, 49rad G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 8 / 32

fig1 énoncé 1 Soit #» u et #» v deux vecteurs qui vérifient #» u 2 = 2, #» v 2 = 3 et #» u #» v = 7. Calculer les réels suivants : (2 #» u + #» v ).(3 #» u + 4 #» v ) (2 #» u #» v ).( #» u 4 #» v ) 2 ABC est un triangle équilatéral de côté a. Les points P,Q et R sont situés sur les côtés [AB], [BC] et [CA] du triangle tels que AP = BQ = CR = a 3.(fig1) Calculer AB.( AR AP), BC.( BP BQ), CA.( CQ CR) En déduire la nature des triangles APR,BQP et CRQ, puis celle du triangle PQR. 3 Soit ABC un triangle tel que AB = 3,BC = 5 et ÂBC = 60 Faire une figure. A-t-on AC = AB + BC? A l aide de la formule AC 2 = AB + BC 2, calculer AC. 4 Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Calculer AB. AC et en déduire une valeur approchée de BAC en degrés. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 10 / 32

fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 10 / 32

1 2 (2 #» u + #» v ).(3 #» u + 4 #» v ) = 6 #» u 2 + 11 #» u. #» v + 4 #» v 2 = 6 2 + 11 7 + 4 3 = 101 (2 #» u #» v ).( #» u 4 #» v ) = 47 AB.( AR AP) = AB. AR AB. AP = a 2 3 a cos π 3 a a 3 cos 0 = 0 donc AB. PR = 0, donc le triangle APR est rectangle en P. De même pour BQP et CRQ avec les 2 autres produits scalaires. Les 3 triangles rectangles sont isométriques, donc PQR est équilatéral. 3 AC 2 = AB + BC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 AB. BC = AB 2 + BC 2 2 BA. BC donc AC = 19 = AB 2 + BC 2 2BA.BC. cos ÂBC = 9 + 25 2 3 5 cos 60 = 19 4 AB. AC = AB.AC. cos BAC = 1 2 (AB2 + AC 2 BC 2 ) donc 5 3 cos BAC = 1 2 (52 + 3 2 6 2 ) d où cos BAC = 1 15 et BAC 94 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 11 / 32

énoncé fig1 fig2 fig3 1 ABC est un triangle équilatéral de côté 2 et H est le milieu de [BC].(fig1) En utilisant des projections, calculer BA. BC et AB. AH. 2 Soit ABC un triangle. I est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. (fig2) Prouver que AC 2 AB 2 = 2 BC. AI #» = 2 BC. HI #» 3 P et Q sont deux points d un demi-cercle de diamètre [AB]. Les droites (AP) et (BQ) se coupent en M. (fig3) Démontrer que AB 2 = AP. AM + BQ. BM G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 13 / 32

1 BA. BC = BH. BC = BH.BC = 2 par projection sur (BC) AB. AH = AH. AH = AH 2 = AB 2 BH 2 = 3 sur (AH) 2 AC 2 AB 2 = ( AC AB).( AC + AB) = BC.2 AI #» = 2 BC. AI #» puis par projection sur (BC) = 2 BC. HI #» 3 AB 2 = AB.( AM + MB) = AB. AM }{{} + AB. MB par projection sur (AM) = AP. AM + BA. BM }{{} par projection sur (BM) = AP. AM + BQ. BM G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 14 / 32

fig1 énoncé ABCD est un carré direct de centre O tel que AB = 2. On note I le milieu de [AB]. (fig1) 1 Déterminer l ensemble (E) des points M du plan tels que AM. AB = 2 2 Déterminer l ensemble (F) des points M du plan tels que MA 2 MB 2 = 4 3 Déterminer l ensemble (G) des points M du plan tels que MA. MB = 4 4 Déterminer l ensemble (H) des points M du plan tels que MA 2 + MB 2 = 4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 16 / 32

Question 1 Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB) AM. AB = 2 AH. AB = 2 AH AB = 2 et H [AB) AH = 1 et H [AB) H = I donc M (E) son projeté orthogonal sur (AB) est I, donc (E) est la droite (OI). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 17 / 32

Question 2 Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB) MA 2 MB 2 = 4 ( MA MB).( MA + MB) = 4 BA.2 MI = 4 BA. HI #» = 2 BA HI = 2 et H [IB) HI = 1 et H [IB) H = B donc M (F ) son projeté orthogonal sur (AB) est B, donc (F) est la droite (BC). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 18 / 32

Question 3 On peut remarquer que C et D vérifient CA. CB = DA. DB = 4 MA. MB = 4 ( MI + IA).( #» MI + IB) #» = 4 ( MI + IA).( #» MI IA) #» = 4 MI 2 IA 2 = 4 MI 2 = 5 IM = 5 donc (G) est le cercle de centre I et de rayon 5 et il passe par C et D. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 19 / 32

Question 4 On peut remarquer que O,A et B vérifient l équation donc appartiennent à (H). On utilise le théorème de la médiane :MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + AB2 2 MA 2 + MB 2 = 4 2MI 2 + AB2 = 4 2 2MI 2 + 2 = 4 IM 2 = 1 IM = 1 donc (H) est le cercle de centre I et de rayon 1, il passe effectivement par O,A et B. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 20 / 32

énoncé 1 Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 7. Déterminer les mesures arrondies au degré le plus proche des angles de ce triangle. 2 Soit ABC un triangle tel que c = 4, b = 7 et Â = 35. Déterminer la longueur a et les mesures en degrés des angles B et Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 22 / 32

1 De la formule de Al-Kashi, on déduit cos Â = b2 + c 2 a 2 = 52 + 4 2 7 2 2bc 2 5 4 cos B = a2 + c 2 b 2 = 72 + 4 2 5 2 2ac 2 7 4 On en déduit C 34 = 1 5 = 5 7 donc A 102. donc B 44 2 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â, d où a 4, 37 cos B = a2 + c 2 b 2 0, 4, ce qui donne 2ac B 113 On en déduit Ĉ 32 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 23 / 32

énoncé 1 Déterminer les longueurs et les angles du triangle ABC lorsque AB = 5, BAC = 26, ÂBC = 59 2 Montrer qu un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si sin 2 Â = sin 2 B + sin 2 Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 25 / 32

1 Ĉ = 180 59 26 = 95 et de la loi des sinus on déduit a = c sin Â 5 sin 26 c sin B 5 sin 59 sin Ĉ = 2, 2 ; b = sin 95 sin Ĉ = sin 95 4, 3 2 ABC est un triangle rectangle en A a 2 = b 2 + c ( 2 a 2 a sin = B ) 2 ( ) 2 a sin sin Â + Ĉ sin Â a 2 = a 2 sin2 B sin 2 Â + a2 sin2 Ĉ sin 2 Â sin 2 Â = sin 2 B + sin 2 Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 26 / 32

énoncé On considère le triangle ABC où A(-1 ;2), B(0 ;-3) et C(3 ;1). Déterminer une équation de la hauteur (D) issue de A. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 28 / 32

BC(3; 4) est un vecteur normal de la hauteur (D), donc elle admet une équation de la forme 3x + 4y + c = 0 A (D), donc 3 ( 1) + 4 2 + c = 0, donc c = 5. Une autre méthode consiste à dire que M(x, y) (D) AM(x + 1; y 2) BC(3; 4) AM. BC = 0 3(x + 1) + 4(y 2) = 0 3x + 4y 5 = 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 29 / 32

énoncé 1 Déterminer une équation du cercle (C) de centre Ω(3; 2) et de rayon 3 2 L équation x 2 + y 2 4x 2y + 1 = 0 est-elle une équation de cercle? Si oui, donner son centre et son rayon 3 Déterminer l équation du cercle de diamètre [AB] avec A(2 ;1) et B(0 ;-1). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 31 / 32

1 (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 3 2 ou x 2 + y 2 6x + 4y + 4 = 0 2 On a les équivalences suivantes 3 x 2 + y 2 4x 2y + 1 = 0 x 2 4x + y 2 2y + 1 = 0 (x 2) 2 4 + (y 1) 2 = 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 = 4 L ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l équation est donc un cercle de centre A(2 ;1) et de rayon 2. M(x; y) (C) MA(2 x; 1 y) MB( x; 1 y) MA. MB = 0 (2 x)( x) + (1 y)( 1 y) = 0 x 2 + y 2 2x 1 = 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 32 / 32