13 Mesure de l vitesse de l lumière Responsle : J.Roussel Ojectif Mesurer l vitesse de l lumière dns di érents milieux à l ide d un dispositif opto-électronique qui tient sur une pillsse. Ce TP ser l occsion de s initier u clcul des incertitudes. Prérequis Lire «L pproche expérimentle». Mîtriser les notions d indice de réfrction et de déphsge. 13.1 Aspects théoriques 13.1.1 Un peu d histoire... On doit à Römer (1676) l première mesure de l vitesse de l lumière grâce à l nlyse des données de Cssini sur les éclipses des stellites de Jupiter. Il otint lors environ 215 000 km/s. Ce résultt stronomique fut confirmé en 1728 pr Brdley qui utilis l influence de l vitesse de l Terre sur son orite utour du Soleil. Il otint lors environ 280 000 km/s. En 1849 Fizeu otint environ 315 000 km/s en utilisnt un système mécnique de miroirs et une roue dentée en rottion (l vitesse de l roue étit justée pour permettre le pssge du ryon lumineux à l ller, puis u retour près une réflexion sur un miroir). Ensuite, Foucult reprit le même genre d expérience (l roue dentée fut remplcée pr un miroir en rottion) et s mesure l plus précise, en 1862, s pproch de l vleur ctuelle, soit environ 300 000 km/s. Plus trd, Michelson montr ussi que l vitesse de l lumière, dns le vide, ne dépend plus de l longueur d onde. Le fit que l lumière puisse se propger dns le vide longtemps perturé les physiciens. En e et, toutes les ondes connues vient esoin d un milieu mtériel pour se propger. C est insi qu ils supposèrent l existence d un milieu spécil qui devit utoriser l propgtion de l lumière : l éther, dont les Grecs vient déjà prlé dns leur cosmologie. C est lors que Michelson et Morley tentèrent de mettre en évidence expérimentlement un mouvement terrestre pr rpport à l éther (le «vent d éther» devrit chnger reltivement à l Terre, en 6 mois d intervlle, à cuse du mouvement de l Terre utour du Soleil). Mis les résultts de leurs expériences ne permirent jmis de détecter ce vent d éther. Peu près, Einstein v s inspirer de ces «expériences négtives» 83
13 Mesure de l vitesse de l lumière pour postuler l constnce de l vitesse de l lumière dns le vide, quel que soit le référentiel d oservtion : c est le postult de l Reltivité Restreinte (1905) qui déoucher sur l fmeuse reltion E = mc 2. 13.1.2 Principe de l mesure opto-électronique de c F f/1000 f Diode émettrice Lentille Multiplieur Oscillteur 50,1 MHz x=l/2 Multiplieur 50,05 MHz Lentille Diode réceptrice Figure 13.1: Principe de l ppreil Un diode LED émet une lumière rouge dont l intensité est modulée à l fréquence f mod = 50.1 MHz. L lumière près voir prcourue une distnce L est reçue pr une photodiode dont l réponse est proportionnelle à l intensité. L photodiode reçoit donc un signl déphsé (à cuse du retrd due à l vitesse de propgtion finie de l lumière) qui permet de remonter à l vitesse de propgtion de l lumière. Pour permettre l visulistion du signl à l ide d un oscilloscope clssique on mélnge le signl reçu vec un signl stle de fréquence f ref =50.05 MHz (cf. fig. 13.1). Ainsi on otient un signl en sortie du mélngeur qui possède deux composntes : une composnte hute fréquence qui ser ignorée pr l oscilloscope (cr en dehors de s nde pssnte) et un signl sse fréquence ( 50 khz) qui ser visulisé à l oscilloscope. Le point clé est que l opértion du mélnge conserve l informtion sur le déphsge ; voyons comment. L diode émettrice est limentée pr un signl électrique qui permet de moduler l intensité de l lumière émise : s e (t) =A + B cos(2fif mod t) L diode réceptrice produit le signl électrique : s r (t) = s e (t L c )= A + B cos(2fif modt 2fif modl ) c où <1 tient compte des pertes pendnt le trjet et où c est l vitesse de l lumière. Le terme L /c représente le retrd dû à l propgtion de l lumière. Le signl reçu est donc en retrd de phse vec un déphsge : 84
13.1 Aspects théoriques = 2fif modl c (13.1) Evidemment si l lumière trverse N milieux di érents pour lesquels l vitesse de propgtion est c i on ÿ L i =2fif mod (13.2) c i où L i est l distnce prcourue pr l lumière dns chque milieu. Le signl reçu est mélngé, c est-à-dire multiplié pr un signl hrmonique de référence de fréquence f ref =50.05 Mhz. À l sortie du mélngeur, on otient : A + B cos(2fif mod t ) æ A cos(2fif ref t)+ B cos(2fif ref t). cos(2fif mod t ) cos(2fif ref t) c est-à-dire : A cos(2fif ref t)+ 2 B [cos (2fi(f mod + f ref )t + )+cos(2fi(f mod f ref )t + )] Or, l nde pssnte de l oscilloscope étnt [0, 20 MHz], toutes les fréquences dépssnt 20 MHz sont éliminées. Ainsi, l composnte de fréquence f mod + f ref 100 MHz disprît et celle de fréquence f mod f ref 50 khz est «vue» pr l oscilloscope. Finlement, le signl sur l voie de l oscilloscope s écrit lors que sur l voie on s = B 2 [cos(2fi(f mod f ref )t + )] s = B 2 [cos(2fi(f mod f ref )t)] On voit donc que l informtion sur l phse est conservée et que le signl récupéré pr l oscilloscope oscille à une fréquence f = f mod f ref 50 khz, inférieure à l fréquence de coupure de l oscilloscope (20 MHz). i 13.1.3 Visulistion en mode Lorsque l on injecte le signl s sur l voie et le signl s sur l voie d un oscilloscope, et que l on commute l oscilloscope en mode, on otient une coure prmétrique d éqution I (t) = cos(êt) vec Ê =2fi(f (t) = cos(êt + ) mod f ref ) Il s git de l éqution prmétrique d une ellipse circonscrite dns un rectngle et dont l excentricité e vrie vec (cf. figure 13.2). Cette représenttion permet de repérer isément l sitution ou = kfi. 85
13 Mesure de l vitesse de l lumière =0 = fi/4 = fi/2 =3fi/4 = fi =5fi/4 =3fi/2 =7fi/4 Figure 13.2: Deux signux sinusoïdux déphsés de en mode. 13.2 Mnipultion 13.2.1 Mode opértoire Commencez l sénce de TP en procédnt insi : 1. Allumez l limenttion PHWE et lissez «chu er» pendnt environ 15 minutes. 2. Brnchez les sorties de l limenttion à l oscilloscope. Visulisez à l oscilloscope, en mode lyge, les signux et. 3. Plcez le miroir à environ 1 m de l source lumineuse. 4. Vous chercherez à recueillir le mximum de lumière sur le récepteur pour otenir sur l voie, un signl le plus importnt possile. Pour cel, une première lentille sert à collimter le fisceu sur le centre du miroir et une seconde permet de focliser l lumière u centre de l diode réceptrice. Des vis situées derrière les miroirs permettent d ner le réglge. Avnt de continuer, fites venir l enseignnt pour contrôler les réglges. 13.2.2 Mesure de l vitesse de l lumière dns l ir On fer l mesure de c pr deux méthodes di érentes. Première méthode : 1. Plcez les miroirs à l origine de l grdution de l règle et nnulez le déphsge entre les fisceux à l ide du outon PHASE. 86
13.2 Mnipultion 2. Commutez l oscilloscope en mode. Oservez l évolution du trcé u fur et à mesure que vous éloignez les miroirs. Cherchez l position x 0 pour lquelle =180. 3. De l mesure de x 0 et de son incertitude de mesure, on déduir l vleur de c ir insi que son incertitude c ir Deuxième méthode 1. Plcez vous en mode lyge. Lncez l mesure du déphsge (commndes sur l oscilloscope : MEAS Û more Û more Û Ï). 2. Fire le zéro puis mesurez l position des miroirs pour lquelle le déphsge vut =90. E ectuez qutre fois cette mesure (échnger les rôles). 3. À prtir d une nlyse sttistique déterminez une estimtion de l vrie vleur de c insi que son incertitude à 95% à l ide de l méthode de Student. 13.2.3 Mesure d indice de réfrction On cherche à mesurer l indice de réfrction n d un milieu. On introduit ce milieu sur le trjet de l lumière et l on note m l distnce prcourue pr l lumière dns le milieu (on noter que suivnt l disposition du milieu, le fisceu peut psser deux fois dns le milieu). L méthode est l suivnte : 1. Introduisez le milieu sur le prcours de l lumière et mesurez m. 2. Disposez les miroirs imméditement près le milieu et relevez l vleur x 1 de cette position. D près l formule (13.2), si l on note c m l vitesse de l lumière dns le milieu, on : A m 1 =2fif mod + 2x B 1 m c m c ir 3. «Annulez» le déphsge (pssez en mode pour plus de précision). On donc 1 = kfi. 4. Retirez le mtériu étudié et reculez les miroirs fin de rétlir le même déphsge 2 = 1. Notez cette nouvelle position x 2. 5. De l mesure de x 2 et x 1 insi que le leur incertitude de mesure, on déduir l vleur de l indice n du milieu insi que son incertitude n. Mtériel : un oscilloscope numérique, un fréquencemètre, un générteur PHWE. un ril grdué, un miroir et deux lentilles, un loc de plexigls et un tue rempli d eu. 87