Exercices du chapitre VI : Déterminants des matrices carrées

Exercices du chapitre VI : Déterminants des matrices carrées N o 1 Soit A une matrice carrée (22). (a) Montrer que le déterminant de A est nul si seulement si les deux lignes de A sont proportionnelles. (b) Même question pour les colonnes. (c) Comparer le déterminant de A avec 1) le déterminant de A 2) le déterminant de la matrice obtenue en échangeant les deux lignes de A 3) le déterminant de la matrice obtenue en échangeant les deux colonnes de A 4) le déterminant de la matrice obtenue en échangeant les deux lignes les deux colonnes de A 5) le déterminant de t A 6) le déterminant de Ā (dans les complexes). ( ) a b (a) Soit A =. Dire que d A = 0 signifie que ad bc = 0. Si a 0 on a d = bc/a donc ( ) a b A = c bc a L 2 = c a L 1. Si a = 0 alors bc = 0. Il y a plusieurs cas possibles : b = 0 alors ( ) 0 0 A = L 1 = 0L 2 c = 0 d = 0 alors c = 0 d 0 alors A = ( ) 0 b 0 0 L 2 = 0L 1. A = ( ) 0 b 0 d L 1 = b d L 2. 1

Dans tous les cas les deux lignes sont proportionnelles. Réciproquement si les deux lignes sont proportionnelles ou bien L 2 = λl 1 donc c = λa d = λb alors d A = ad bc = λab λab = 0 ou bien L 1 = λl 2 donc a = λc b = λd alors Le déterminant de A est nul dans les deux cas. (b) Même méthode. d A = ad bc = λcd λcd = 0. (c) On vérifie facilement les résultats suivantes : d( A) = a b c d = d A. a b = cb ad = d A. b a d c = bc ad = d A. d c b a = da cb = d A. d( t A) = a c b d = d A. a b d(a) = = ad bc = ad bc = d A. c d N o 2 On note SL(2Z) l ensemble des matrices (22) à coefficients entiers relatifs dont le déterminant vaut 1. (a) Montrer que si A B appartiennent à SL(2Z) alors il en est de même de AB de A 1. ( ) a b (b) Vérifier que si A = appartient à SL(2Z) les nombres a b sont premiers entre eux de même que a c b d c d. (c) Trouver toutes les matrices de SL(2Z) qui ont un coefficient nul. En déduire que SL(2Z) n est pas un ensemble fini. ( ) 2 1 (d) Chercher toutes les matrices A de SL(2Z) de la forme A =. (e) Montrer qu il y a encore d autres matrices dans SL(2Z) 2

(a) Si A B sont à coefficients entiers alors les coefficients de AB sont des sommes produits de coefficients de A B donc entiers également. De plus d A = 1 d B = 1 alors d(ab) = d A d B = 1. Donc AB appartient à SL(2Z). Si A appartient à SL(2Z) son déterminant est non nul donc A est inversible dans M(2R) A 1 = 1 ( ) ( ) d b d b =. d A c a c a Donc A 1 a des coefficients entiers. De plus d(a 1 ) = 1 d A = 1. (b) On a la relation ad bc = 1. Si λ divise a c a = λa c = λc où λ a c sont entiers. Donc λa d λbc = λ(a d bc ) = 1. Il en résulte que λ divise 1. Les seuls divisieurs communs à a c sont donc 1 1. Cela veut dire que a c sont premiers entre eux. Démonstration analogue pour b d c d. (c) Si ad bc = 1 si a ou d est nul alors bc = 1 avec b c entiers. Donc il n y a que les possibilités (bc) = (1 1) (bc) = ( 11). Si b ou c est nul cte fois ad = 1 avec a d entiers. Donc il n y a que les possibilités (ad) = (11) (ad) = ( 1 1). Les matrices possibles sont donc ( ) 0 1 1 d ( ) 0 1 1 d ( a ) 1 1 0 ( ) a 1 1 0 ( ) 1 b 0 1 ( ) 1 b 0 1 ( ) 1 0 c 1 ( ) 1 0 c 1 elles conviennent toutes. Comme a b sont des entiers quelconques il y en a donc une infinité. ( ) 2 1 (d) Si A = on a donc 2d c = 1 d où A = ( 2 ) 1 2d 1 d Toutes ses matrices sont dans SL(2Z) aucun coefficient de A n est nul.. N o 3 S il y a exactement deux coefficients nuls dans une matrice (33) combien reste-t-il de termes dans la formule donnant le déterminant? Si les deux coefficients figurent dans une même ligne ou une même colonne de la matrice il reste deux termes dans la somme. 3

Si les deux coefficients figurent dans deux lignes différentes deux colonnes différentes il reste trois termes dans la somme. N o 4 (a) Si tous les coefficients d une ligne (ou d une colonne) d une matrice (33) sont nuls vérifier que d A = 0. (b) Existe-t-il des matrices A ave A = 0 aucun coefficient nul? (a) Il suffit de regarder la formule pour voir que tous les termes de la somme sont nuls. (b) Il est facile de voir qu une matrice ayant deux lignes proportionnelles a un déterminant nul. Par exemple 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0 1 2 1 2 4 2 1 3 6 = 0. N o 5 Vérifier (directement sur la formule) que dans M(3; R) (a) Si T (ij) λ = I + λe (ij) (i j) alors d T (ij) λ = 1. (b) Si D µ (i) = I + (µ 1)E (ii) alors d D µ (i) = µ. (c) Si S (ij) = I E (ii) E (jj) + E (ij) + E (ji) alors d S (ij) = 1. Vérifications immédiates. N o 6 Soit A B deux matrices (33) qui ne diffèrent que par leur première ligne. Vérifier que d(a + B) = 4(d A + d B). a 11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 Soient A = a 21 a 22 a 23 B = a 21 a 22 a 23. On a donc a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 A + B = 2a 21 2a 22 2a 23. 2a 31 2a 32 2a 33 En appliquant la formule donnant d(a + B) on obtient 4

d A = (a 11 + b 11 )2a 22 2a 33 + (a 12 + b 12 )2a 23 2a 31 + (a 13 + b 13 )2a 21 2a 32 (a 11 + b 11 )2a 23 2a 32 (a 13 + b 13 )2a 22 2a 31 (a 12 + b 12 )2a 21 2a 33. On peut alors mtre 4 en facteur développer ce qui reste en regroupant les termes contenant un b ij. On obtient : d A = 4((a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 ) +(b 11 a 22 a 33 + b 12 a 23 a 31 + b 13 a 21 a 32 b 11 a 23 a 32 b 13 a 22 a 31 b 12 a 21 a 33 )) = 4(d A + d B). N o 7 (a) Calculer à pour une matrice (22) rrouver la formule de l inverse. (b) Ecrire explicitement à pour une matrice (33) quelconque. En déduire une formule explicite de l inverse. (c) (Pour ceux qui trouveraient le (b) précédent trop long). Donner la formule explicite de l inverse d une matrice (33) triangulaire supérieure inversible. ( ) ( ) a b d c (a) Si A = on a à = on rrouve donc b a A 1 = 1 t à = d A a 11 a 12 a 13 (b) Si A = a 21 a 22 a 23 on obtient a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a 33 à = a 12 a 13 a 32 a 33 a 12 a 13 a 22 a 23 donc 1 ad bc a 21 a 23 a 31 a 33 a 11 a 13 a 31 a 33 a 11 a 13 a 21 a 23 ( ) d b. c a a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 21 a 22 a 22 a 33 a 23 a 32 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) a 21 a 32 a 22 a 31 à = (a 12 a 33 a 13 a 32 ) a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 32 a 12 a 31 ). a 12 a 23 a 13 a 22 (a 11 a 23 a 13 a 21 ) a 11 a 22 a 12 a 21 On en déduit A 1 = 1 t à = 1 a 22 a 33 a 23 a 32 a 13 a 32 a 12 a 33 a 12 a 23 a 13 a 22 a 23 a 31 a 21 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 21 a 11 a 23. d A d A a 21 a 32 a 22 a 31 a 12 a 31 a 11 a 32 a 11 a 22 a 12 a 21 5

(c) Lorsque A est triangulaire supérieure c est-à-dire si a 21 = a 31 = a 32 = 0 on obtient A 1 = 1 a t 1 22 a 33 a 12 a 33 a 12 a 23 a 13 a 22 à = 0 a 11 a 33 a 11 a 23. d A a 11 a 22 a 33 0 0 a 11 a 22 N o 8 Vérifier que si k l on a aussi ( 1) j a kj d(a(lj)) = 0 j=1 ( 1) i a ik d(a(il)) = 0. On a à = (ã ij) avec ã ij = ( 1) i+j d(a(ij)). Donc t à = (b ij ) avec b ij = ã ji = ( 1) i+j d(a(ji)). Si l on pose t ÃA = (c ij ) on a en particulier c lk = b li a ik = ( 1) i+l a ik d(a(il)). Mais on a t ÃA = (d A)I donc c lk = 0 si l k. Alors en simplifiant par ( 1) l ( 1) i a ik d(a(il)) = 0. L autre formule s obtient en effectuant cte fois le produit A t Ã. Si l on pose t ÃA = (d ij ) on a en particulier d kl = a kj b jl = ( 1) j+l a kj d(a(lj)). j=1 Mais on a A t à = (d A)I don kl = 0 si l k. Alors en simplifiant par ( 1) l ( 1) j a kj d(a(lj)) = 0. j=1 6

On note ε(γ) la signature de la permutation γ appartenant à S n. (a) Montrer que ε(id) = 1 (b) Calculer explicitement ε pour n = 2. (c) Soit γ la permutation de {123} définie par γ(1) = 2 γ(2) = 3 γ(3) = 1. Montrer que γ peut s écrire comme la composée de deux transpositions bien choisies. En déduire ε(γ). (d) Calculer γ γ pour le γ du (c) calculer ε(γ γ). En déduire explicitement ε pour n = 3. (e) Soit σ une permutation de {12... n} telle que σ(n) = n. On note σ la permutation de {12... n 1} telle que pour tout j = 1 2... n 1 on ait σ(j) = σ(j). Montrer que ε(σ) = ε( σ). (f) Ecrire les 24 permutations de {1234} calculer leur signature. (On pourra se servir de (e) en le généralisant éventuellement). (a) En écrivant Id Id = Id en appliquant la propriété 1 de la signature on a d où ε(id) = +1. ε(id) = ε(id Id) = ε(id)ε(id) (b) S 2 est formé de deux permutations : Id = (12) τ = (21). La première est l identité la seconde une transposition. Donc ε(id) = +1 ε(τ) = 1. (c) Soit les transpositions σ 1 = (213) σ 2 = (321). Cela signifie que Alors On a donc bien σ 2 σ 1 = γ donc ε(γ) = 1. (d) On a Donc γ γ = (312) ε(γ γ) = ε(γ) 2 = +1. σ 1 (1) = 2 σ 1 (2) = 1 σ 1 (3) = 3 σ 2 (1) = 3 σ 2 (2) = 2 σ 2 (3) = 1. σ 2 σ 1 (1) = σ 2 (2) = 2 σ 2 σ 1 (2) = σ 2 (1) = 3 σ 2 σ 1 (3) = σ 2 (3) = 1 γ γ(1) = γ(2) = 3 γ γ(2) = γ(3) = 1 γ γ(3) = γ(1) = 2 L ensemble S 3 est constitué des 3! = 6 permutations suivantes Id = (123) γ = (231) γ γ = (312) dont la signature vaut +1 des trois transpositions échangeant deux des éléments τ 1 = (132) τ 2 = (321) τ 3 = (213) 7

dont la signature vaut 1. (e) On peut associer à toute transposition τ appartenant à S n 1 une transposition τ appartenant à S n en posant { τ(i) si 1 i n 1 τ(i) = n si i = n Alors si σ se décompose comme produit de p transpositions de S n 1 sous la forme on a également σ = τ 1 τ p σ = τ 1 τ p puisque n est invariant dans tous le calcul. Donc σ se décompose également comme produit de p transpositions. Il en résulte que (f) Voici la liste des 24 éléments de S 24 : ε(σ) = ε( σ) = ( 1) p. (A) l application identique (1234) de signature +1 (B) 6 transpositions de signature 1 : (2134) (3214) (4231) (1324) (1432) (1243). (C) 3 doubles transpositions de signature +1 : (2143) (4321) (3412). (D) 8 permutations ayant un seul point fixe. On peut alors appliquer (e) en considérant la permutation appartenant à S 3 obtenue en enlevant le point fixe. On obtient une permutation du type γ ou γ γ de la question (c) elles sont de signature +1 : (231 4 ) (312 4 ) (24 3 1) (41 3 2) (4 2 13) (3 2 41) ( 1 423) ( 1 342). (E) 6 permutations n ayant aucun point fixe. on peut voir qu elles s écrivent toutes comme produit de 3 transpositions sont de signature 1. (3142) (2341) (4123) (4312) (3421) (2413). Montrons la méthode avec la première σ = (3142). On rem 1 à sa place en permutant 1 3 avec la permutation τ 1 = (3214). On a alors τ 1 σ = (1342). On rem 2 à sa place en permutant 2 3 avec la permutation τ 2 = (1324). On a alors τ 2 τ 1 σ = (1243). On rem 3 sa place en permutant 3 4 avec la permutation τ 1 = (1243). On a alors τ 3 τ 2 τ 1 σ = (1234) = Id. 8

Donc (τ 3 τ 2 τ 1 ) ( 1) = σ ou encore puisque pour une transposition on a τ ( 1) = τ σ = τ ( 1) 1 τ ( 1) 2 τ ( 1) 3 = τ 1 τ 2 τ 3. (On a utilisé également la formule (f g) ( 1) = g ( 1) f ( 1) ). 9